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      一種基于非線性系統(tǒng)的直接加權(quán)優(yōu)化辨識(shí)算法

      2013-10-11 06:23:58姚杰朱永紅
      關(guān)鍵詞:個(gè)子等式線性

      姚杰,朱永紅

      (景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院 機(jī)械電子工程學(xué)院,江西 景德鎮(zhèn)333403)

      系統(tǒng)辨識(shí)只是利用數(shù)學(xué)的方法,從輸入、輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)序列中提煉出對(duì)象的數(shù)學(xué)模型,為控制器的設(shè)計(jì)作充分的模型準(zhǔn)備基礎(chǔ).根據(jù)系統(tǒng)對(duì)象模型的類(lèi)別,可將系統(tǒng)辨識(shí)的理論研究分為線性系統(tǒng)辨識(shí)和非線性系統(tǒng)辨識(shí).線性系統(tǒng)辨識(shí)的研究較為成熟,已有現(xiàn)成的理論分析基礎(chǔ)和系統(tǒng)辨識(shí)仿真軟件可直接調(diào)用[1-10];而非線性系統(tǒng)的辨識(shí)研究也正日益開(kāi)展.文獻(xiàn)[7]對(duì)多種特殊的非線性系統(tǒng)展開(kāi)研究,如Wiener系統(tǒng)、Hammerstein系統(tǒng)和二者之間的任意組合形式,提出了諸如最小概率法、互方差輔助變量法、盲極大似然法等多種辨識(shí)方法.文獻(xiàn)[10]分析了正交基函數(shù)的構(gòu)造方法,即當(dāng)采用所構(gòu)造的正交基函數(shù)形式來(lái)表示原非線性系統(tǒng)時(shí),有限脈沖響應(yīng)模型、Laruerre模型和雙參數(shù)Kautz模型都可以作為該正交基函數(shù)模型結(jié)構(gòu)的特例.文獻(xiàn)[3]中提出了一種新的非線性系統(tǒng)辨識(shí)方法——直接加權(quán)優(yōu)化法.文獻(xiàn)[4]將直接加權(quán)優(yōu)化辨識(shí)方法的基本思想應(yīng)用于對(duì)分段仿射系統(tǒng)中各個(gè)權(quán)重值的辨識(shí) .文獻(xiàn)[5]分析了直接加權(quán)優(yōu)化辨識(shí)法對(duì)某參數(shù)的攝動(dòng)所帶來(lái)的影響 .本文在文獻(xiàn)[3]的思想基礎(chǔ)之上,進(jìn)行直接加權(quán)優(yōu)化辨識(shí)方法的研究.

      1 問(wèn)題描述

      給定觀測(cè)數(shù)據(jù){φ(t),y(t),其非線性系統(tǒng)可描述為

      式(1)中:f0(φ(t))稱(chēng)為未知待辨識(shí)估計(jì)的非線性系統(tǒng)函數(shù),φ(t)為回歸矢量 .通常情況下,φ(t)有兩種形式分別對(duì)應(yīng)于非線性有限脈沖響應(yīng)形式和外部輸入下的非線性自回歸形式,即

      其中:e(t)為零均值的獨(dú)立同分布的隨機(jī)白噪聲,對(duì)應(yīng)的方差值記為σ2e.

      設(shè)非線性系統(tǒng)f0(φ(t))的一個(gè)逼近線性仿射函數(shù)形式為

      將式(2)與文獻(xiàn)[3]中對(duì)應(yīng)的式子相對(duì)比,可知式(2)增加了N個(gè)關(guān)于輸入觀測(cè)數(shù)據(jù)序列{u(t)的線性項(xiàng),從而增加了N個(gè)待求解的未知權(quán)重值.由此可見(jiàn),文獻(xiàn)[3]中的線性仿射函數(shù)形式是本文中的特例,其中特殊之處在于本文中所有的全取為零值.

      因此,文中以下內(nèi)容的目的就在于如何確定出由這2N+1個(gè)未知權(quán)重值構(gòu)成的參數(shù)矢量θ.即

      2 直接加權(quán)優(yōu)化辨識(shí)

      為了能夠在任意指定點(diǎn)φ*(t)處都得到良好的逼近程度,用(φ*(t))來(lái)近似地逼近原非線性系統(tǒng)f0(φ(t)),逼近的準(zhǔn)確度依賴(lài)于權(quán)重值和的選取 .則建立衡量逼近性能的目標(biāo)函數(shù)為

      將式(2)代入到式(4)中,可得

      將式(1)代入式(5)中,可得展開(kāi)后的目標(biāo)函數(shù)為

      式(6)中的數(shù)學(xué)期望運(yùn)算過(guò)程利用了噪聲e(t)為獨(dú)立同分布的白噪聲假設(shè)條件,并且白噪聲e(t)與輸入、輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)序列{u(t),y(t)均為不相關(guān).引入符號(hào)表示(t)=φ(t)-φ*(t)后,在式(6)中進(jìn)行增加和減去相同的兩項(xiàng),等式不變,可得

      式(7)中得到的平方項(xiàng)即為通常的平方偏差,后一項(xiàng)為由未建模引起的方差誤差項(xiàng).從式(7)可看出:偏差項(xiàng)將會(huì)變得任意大,除非增加關(guān)于權(quán)重值的兩個(gè)約束條件在上述兩個(gè)施加的約束條件下,式(7)的目標(biāo)函數(shù)可以簡(jiǎn)化為

      利用泰勒級(jí)數(shù)公式,將非線性系統(tǒng)f0(φ(t))在f0(φ*)處展開(kāi)得

      假設(shè)非線性函數(shù)f0滿(mǎn)足Lipschitz條件,即

      式(10)中:L為一常數(shù) .聯(lián)合以上三式可得到式(10)均方誤差期望的一個(gè)上界值為

      直接加權(quán)優(yōu)化辨識(shí)算法中的最小化均方誤差期望值W(φ*,f0,wN),可轉(zhuǎn)化為最小化式(11)右邊的上界值,即得到的最優(yōu)化問(wèn)題為

      3 最優(yōu)Karush-Kuhn-Tucker充要條件

      為了從式(12)所示的帶有約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題中求解出未知權(quán)重值組成的未知參數(shù)矢量θ,引入松弛變量st,wt,使得|bt|≤st,t=1,2,…,N;|at|≤wt,t=0,1,…,N.將引入的兩松弛變量st,wt應(yīng)用于最優(yōu)化問(wèn)題式(12)中,可得最優(yōu)化問(wèn)題為

      要想得到最優(yōu)化問(wèn)題式(13)的最優(yōu)解(a0,a1,…,aN;b1,…,bN;st|N1,wt|),根據(jù)最優(yōu) Karush-Kuhn-Tucker充要條件可知,對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為

      利用Karush-Kuhn-Tucker最優(yōu)性充要條件,可得在最優(yōu)處存在成立的等式,即

      在最優(yōu)解除包含有隱含的最優(yōu)等式,|bt|=st,t=1,2,…,N;|at|=wt,t=0,1,…,N,故由第1個(gè)子式可知=.在第9個(gè)子式中,若at>0,則wt+at=|at|+at=2at>0,要使第9個(gè)子式成立必須有,從而由第1個(gè)子式有,==0.在第2個(gè)子式中,若at<0,則wt-at=|at|-at=-2at>0.同理要使得第8個(gè)子式成立,需要使得=0.從而由第1個(gè)子式有==0.當(dāng)at=0時(shí)即所有的輸入觀測(cè)數(shù)據(jù)序列前的未知權(quán)重值都為0,在線性仿射函數(shù)形式中僅剩下輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)序列項(xiàng),從而簡(jiǎn)化為文獻(xiàn)[3]中的特殊形式.

      式(16)中:第4個(gè)和第5個(gè)子式所代表的等式關(guān)系已全部隱含在所構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)之中 .將第3個(gè)子式代入第2個(gè)子式中可得

      當(dāng)bt>0時(shí),由式(16)的第7個(gè)子式可得|bt|+bt=2bt>0.從而要使第7個(gè)子式成立,需要有γ-t=0.將=0代入到式(16)的第1個(gè)子式,可得

      再代入到式(17)即有

      同理考慮當(dāng)bt<0時(shí),有

      將式(18)代入式(16)的第3個(gè)子式,可得

      若在實(shí)數(shù)域中,必然有等式

      成立 .由此可解得

      但這并不是此處所期望得到的結(jié)果.為此擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域中,考慮到

      的|u(t)|表示的是輸入激勵(lì)信號(hào)的振幅值,當(dāng)選擇恒定振幅值的輸入激勵(lì)信號(hào)時(shí),有|u(t)|=k(k為一正常數(shù)).因此,式(19)可改寫(xiě)為

      滿(mǎn)足以上等式的未知權(quán)重值的選取方法有無(wú)窮多種,如

      4 未知權(quán)重值的迭代求解

      設(shè)上式左邊4N×4N維的矩陣記為A,右邊0表示4N×1維的零矢量,則不等式約束條件可簡(jiǎn)記為Aη≥0.同理,可將兩等式約束條件簡(jiǎn)記為矩陣乘積的形式

      設(shè)上式左邊2×4N維矩陣記為B,右邊0表示2×1的零矢量,則等式約束條件可記為Bη=0.

      下面對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行整理 .很明顯目標(biāo)函數(shù)的第2項(xiàng)可改寫(xiě)為

      而目標(biāo)函數(shù)中第1項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的式子可改寫(xiě)成

      將式(24)平方后可得

      由此可構(gòu)成最優(yōu)化問(wèn)題為

      很明顯,式(26)所表示的最優(yōu)化問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于優(yōu)化變量η的二次函數(shù),不等式約束和等式約束均為關(guān)于優(yōu)化變量η的線性函數(shù).即式(26)為一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題,可采用內(nèi)點(diǎn)法迭代地求解.定義式(26)的拉格朗日函數(shù)為

      對(duì)式(27)關(guān)于η求偏導(dǎo),可得

      為了消去Aη≥0不等式約束中的不等號(hào),引入一個(gè)松弛變量z≥0,對(duì)以上各式進(jìn)行改寫(xiě)為

      設(shè)由式(29)構(gòu)成的矩陣記為

      其中:Z=diag(z1,…,z4N);Λ=diag(m1,…,m4N);ε∈[0,1];e=[1,1,…,1]T.

      約束最小化可通過(guò)迭代地更新矢量η來(lái)獲得,該最小化包含在于尋找拉格朗日函數(shù)的平穩(wěn)點(diǎn).在最小化過(guò)程中,新的迭代值η是通過(guò)在此時(shí)估計(jì)值的基礎(chǔ)之上增加一項(xiàng)Δη.利用約束高斯-牛頓法時(shí),Δη應(yīng)為等式

      的解 .則第k+1次迭代更新值可取為

      其中:搜索方向的步長(zhǎng)應(yīng)滿(mǎn)足不等式(zk+1,mk+1)>0成立,搜索方向由式(31)來(lái)求取.

      5 結(jié)論

      對(duì)于非線性系統(tǒng)的直接加權(quán)優(yōu)化辨識(shí)算法,通過(guò)在原線性仿射函數(shù)形式中,增加若干項(xiàng)關(guān)于輸入觀測(cè)數(shù)據(jù)序列的線性項(xiàng)來(lái)增強(qiáng)逼近非線性,減少逼近的時(shí)間.對(duì)于增加若干線性項(xiàng)后展開(kāi)式中的未知權(quán)重值的選取,分別從理論和實(shí)用上推導(dǎo)出這些未知權(quán)重值的選取過(guò)程.

      理論上的推導(dǎo)分析,可明確增加的未知權(quán)重值在整個(gè)逼近非線性系統(tǒng)的目的中起著輔助作用;實(shí)用上的推導(dǎo)分析,則展示了如何將某些復(fù)雜的最優(yōu)化問(wèn)題經(jīng)過(guò)整理變換成常見(jiàn)的最優(yōu)化問(wèn)題,從而可利用最為基礎(chǔ)的優(yōu)化方法來(lái)求解.

      由于文中利用輸入觀測(cè)數(shù)據(jù)序列,而此輸入觀測(cè)數(shù)據(jù)需要人為事先選定以滿(mǎn)足持續(xù)激勵(lì)非線性系統(tǒng),故對(duì)該非線性系統(tǒng)的選擇持續(xù)激勵(lì)的輸入信號(hào)是目前需要深入研究的內(nèi)容.

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