非線性項(xiàng)變號(hào)的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性

王 淑， 賈 梅， 祁衛(wèi)杰

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問(wèn)題的提出

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微分方程在擴(kuò)散和運(yùn)輸理論［1］、高分子材料的解鏈［2］及非牛頓流體力學(xué)［3］等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.隨著應(yīng)用背景的不斷拓寬，進(jìn)一步促進(jìn)了分?jǐn)?shù)階微分方程的理論研究.

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題［4－5］、三點(diǎn)邊值問(wèn)題［6］、多點(diǎn)邊值問(wèn)題［7］及積分邊值問(wèn)題［8－9］正解的存在性研究已取得了很多成果，然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多是在非線性項(xiàng)不變號(hào)情況下研究邊值問(wèn)題正解的存在性.目前，對(duì)于非線性項(xiàng)變號(hào)的整數(shù)階微分方程邊值問(wèn)題正解存在性的研究已很多［10－12］，但對(duì)非線性項(xiàng)變號(hào)的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題正解存在性的研究較少.

本文研究非線性項(xiàng)變號(hào)的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

正解的存在性，其中，Dα為Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，2＜α＜3，λ＞0，f∶［0，1］×R→R是連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù).利用錐拉伸錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了分?jǐn)?shù)階微分邊值問(wèn)題（1）正解的存在性定理，所得結(jié)論突顯了參數(shù)在不同范圍內(nèi)對(duì)正解存在性的影響.

2 預(yù)備知識(shí)

定義1［13］函數(shù)h∶（0，＋∞）→R的α＞0階積分是

其中，右邊是在（0，＋∞）上逐點(diǎn)有定義的.

定義2［13］函數(shù)y∶（0，＋∞）→R的α＞0階Caputo微分為

其中，n＝［α］＋1，［α］代表α的最大整數(shù)部分；右邊是在（0，＋∞）上逐點(diǎn)有定義的.

記I＝［0，1］，E＝C（I）表示［0，1］上的連續(xù)函數(shù)全體，定義

為方便起見，假設(shè)以下條件成立：

（H1）f∈（［0，1］×R，R），對(duì)任意（t，u）∈［0，1］×R，存在M＞0，使得f（t，u）≥－M.

對(duì)任意的y∈C（I），首先考慮邊值問(wèn)題

引理1［8］假設(shè)（H0）成立，則邊值問(wèn)題（2）存在唯一解

其中

引理2 設(shè)（H0）成立，則函數(shù)G（t，s）具有下列性質(zhì)：

a.G（t，s）≥0，（t，s）∈I×I；

b.G（0，s）≤G（t，s）≤G（1，s），（t，s）∈I×I；

c.對(duì)任意的 （t，s）∈I×I，有G（0，s）≥γG（1，s）.

證明 因?yàn)镚（t，s）是關(guān)于t單調(diào)遞增的函數(shù)，a和b顯然成立.

因?yàn)?/p>

所以，G（0，s）≥γG（1，s）.

證畢.

引理3 設(shè)（H0）成立，對(duì)任意t∈I，y（t）≥0，則邊值問(wèn)題（2）的解u滿足且u是單調(diào)遞增的正解.

證明 由引理1和引理2可得，對(duì)任意t∈［0，1］，有

故

由于G（t，s）關(guān)于t是單調(diào)遞增的，所以，u是單調(diào)遞增的.

證畢.

如果y（t）≡1，則邊值問(wèn)題（2）變?yōu)?/p>

引理4 設(shè)（H0）成立，則邊值問(wèn)題（3）存在唯一正解使得對(duì)任意的t∈［0，1］，有 0＜證明由引理1和引理3可 得是邊值問(wèn)題（3）的唯一單調(diào)正解.根據(jù)引理2得

所以，對(duì)任意的t∈ ［0，1］，有

證畢.

令g（t，u）＝f（t，u）＋M，ω（t）＝（t），則當(dāng)（H1）成立時(shí)，對(duì)任意（t，u）∈ ［0，1］× R，有g(shù)（t，u）≥0.

現(xiàn)考慮邊值問(wèn)題

引理5 設(shè)（H0）和（H1）成立，那么，u是邊值問(wèn)題（1）的一個(gè)正解的充分必要條件是＝u＋ω為邊值問(wèn)題（4）的一個(gè)正解，且對(duì)任意的t∈［0，1］，有ˉu（t）≥ω（t）.

證明 如果u是邊值問(wèn)題（1）的一個(gè)正解，那么

則

因?yàn)椋瑄（t）是正解，所以，易證（t）滿足邊界條件，因此是邊值問(wèn)題（4）的一個(gè)正解.

證畢.

引理6（錐拉伸錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理）［14］設(shè)E是Banach空間，K?E，K為E中的一個(gè)錐，且Ω1和Ω2是E中的有界開集，θ∈Ω1??Ω2，A∶K∩（＼Ω1）→K全連續(xù)的，如果滿足下列條件之一：

a.‖Au‖≤‖u‖，u∈K∩?Ω1，‖Au‖≥‖u‖，u∈K∩?Ω2；

b.‖Au‖≥‖u‖，u∈K∩?Ω1，‖Au‖≤‖u‖，u∈K∩?Ω2.

那么，A在K∩（＼Ω1）中必有不動(dòng)點(diǎn).

定義映射A∶K→E，

引理7 設(shè)（H0）和（H1）成立，那么，則映射A∶K→K是全連續(xù)的.

證明 由引理3易得A（K）?K.

對(duì)任意的S?K，且S有界，則存在m0＞0，對(duì)任意的u∈S，有‖u‖≤m0.記

由于G（t，s）在［0，1］×［0，1］上連續(xù)，所以，G（t，s）在［0，1］×［0，1］上一致連續(xù).因此，對(duì)任意的ε＞0，存在t1，t2，s1，s2∈［0，1］，當(dāng)時(shí)，有

則

所以，A（S）是等度連續(xù)的.

對(duì)任意的t∈［0，1］成立，所以，A（S）是一致有界的.

因此，根據(jù)Arzela－Ascoli定理可得A（S）是列緊的，從而A在S上是緊的.

在K中任取一個(gè)收斂數(shù)列｛un｝且有un→u，n→∞，所以，由g的連續(xù)性可得

而對(duì)任意t∈［0，1］，可得

所以

由Lebesgue控制收斂定理可得

因此，A是連續(xù)的，又因A是緊算子，所以，A是全連續(xù)的.

證畢.

3 主要結(jié)果

記

定理1 設(shè)（H0）和（H1）成立，且滿足

則存在常數(shù)λ＊＞0，使得當(dāng)λ∈（0，λ＊）時(shí)，邊值問(wèn)題（1）至少有一正解.

證明 對(duì)任意的r＞0，令

由條件

可得

所以，存在常數(shù)R1＞0，使得

對(duì)任意λ∈（0，λ＊），u∈K∩?Ω1，有u（t）≥，且u（t）－ω（t）滿足

因此，由式（5）可得

所以，對(duì)任意u∈K∩?Ω1，有‖Au‖≤‖u‖.

存在＞R1，使得對(duì)任意的t∈［0，1］，當(dāng)u≥時(shí)，有g(shù)（t，u）≥ξu.令

對(duì)任意u∈K∩?Ω2，有‖u‖＝R2，且對(duì)任意t∈［0，1］，u（t）≥γ‖u‖ ＝γR2≥，所 以，g（t，u（t））≥ξu（t）.

因?yàn)?，?duì)任意t∈［0，1］，

所以

因此

由此可得，對(duì)任意u∈K∩?Ω2，有‖Au‖≥‖u‖.

根據(jù)錐拉伸錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理可知，算子A有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u，所以，u為邊值問(wèn)題（4）的正解，滿足R1≤‖u‖≤R2，且對(duì)任意t∈［0，1］，

由引理5可得，u（t）－ω（t）是邊值問(wèn)題（1）的一個(gè)正解.

證畢.

定理2 設(shè)（H0）和（H1）成立，且滿足

則存在常數(shù)λ＊＞0，使得當(dāng)λ∈（λ＊，＋∞）時(shí)，邊值問(wèn)題（1）至少有一正解.

所以，g（t，u（t）－ω（t））≥η.因此

由此可得，對(duì)任意u∈K∩?Ω1，有‖Au‖≥‖u‖.

因?yàn)?/p>

則對(duì)任意u∈K∩?Ω2，t∈［0，1］，滿足u（t）≥γ‖u‖＝γR2.

因?yàn)?，u（t）－ω（t）≥γR2－λMN≥~R2，所以

那么，對(duì)任意t∈［0，1］，

由此可得，對(duì)任意的u∈K∩?Ω2，有‖Au‖≤‖u‖.

根據(jù)錐拉伸錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理可知，算子A有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u，所以，u為邊值問(wèn)題（4）的解，滿足R1≤‖u‖≤R2，且對(duì)任意的t∈［0，1］，

由引理5可得，u（t）－ω（t）是邊值問(wèn)題（1）的一個(gè)正解.

證畢.

4 應(yīng)用實(shí)例

考慮邊值問(wèn)題

這里a＝b＝2，α＝5／2，對(duì)任意的t∈［0，1］，u∈R，有

從而易得

因?yàn)?/p>

所以，存在常數(shù)R1＞0，使得

經(jīng)計(jì)算得

從而

易證（H0）和（H1）成立.由定理1可得，當(dāng)λ∈時(shí)，邊值問(wèn)題（6）至少存在一個(gè)正解.

［1］同登科，王瑞和，楊河山.管內(nèi)非Newton流體分?jǐn)?shù)階流動(dòng)的精確解［J］.中國(guó)科學(xué)G輯，2005，35（3）：318－326.

［2］Eidelman S D，Kochubel A N.Cauchy problem for fractional diffusion equations［J］.Journal of Differential Equation，2004，199（2）：211－255.

［3］徐明瑜，譚文長(zhǎng).廣義二階流體分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散速度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)及渦旋層的理論分析［J］.中國(guó)科學(xué)A輯，2001，31（7）：626－638.

［4］Bai Z B，Lu H S.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005，311（2）：495－505.

［5］Goodrich C S.Existence of a positive solution to a class of fractional differential equations［J］.Applied Mathematics Letters，2010，23（9）：1050－1055.

［6］Bai Z B.On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem ［J］.Nonlinear Analysis，2010，72（2）：916－924.

［7］Salem H A H.On the fractional order m－point boundary value problem in reflexive Banach spaces and weak topologies［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，224（2）：565－572.

［8］金京福，劉錫平，竇麗霞，等.分?jǐn)?shù)階微分方程積分方程邊值問(wèn)題正解存在性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2011，49（5）：823－828.

［9］Jia M，Liu X P.Three nonnegative solutions for fractional differential equations with integral boundary conditions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2011，62（3）：1405－1412.

［10］Li G S，Liu X P，Jia M.Positive solutions to a type of nonlinear three－point boundary value problem with sign changing nonlinearities［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，57（3）：348－355.

［11］Wu Y Y，Zhao Z Q.Positive solutions for third－order boundary value problems with change of signs［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，218（6）：2744－2749.

［12］Guo Y P，Tian J W.Two positive solutions for second－order quasilinear differential equation boundary value problems with sign changing nonlinearities［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2004，169（2）：345－357.

［13］Podlubny I.Fractional differential equations，mathematics in science and engineering［M］.New York：Academic Press，1999.

［14］郭大鈞，孫經(jīng)先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法［M］.2版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2006.