基于LMIs的連續(xù)Markovian跳變系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計

王瑾，董澤

（華北電力大學(xué)控制科學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，河北保定071002）

隨著工業(yè)科技的不斷發(fā)展，人們對工程系統(tǒng)性能的要求愈加嚴(yán)格.然而工業(yè)環(huán)境的不斷變化、子系統(tǒng)之間愈加復(fù)雜的聯(lián)結(jié)方式、工作范圍的不同與零件故障等變化，導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)均發(fā)生了跳躍性變化.因此人們不得不采用一種特殊的隨機(jī)系統(tǒng)——Markovian跳躍系統(tǒng)，準(zhǔn)確地描述出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨著時間變化的規(guī)律，從而使系統(tǒng)的性能不受上述各種因素的影響.Markovian跳躍系統(tǒng)的構(gòu)成可以分為2部分：系統(tǒng)的模式與系統(tǒng)的狀態(tài)［1］.根據(jù)系統(tǒng)概率分布，在馬爾可夫鏈的每個部分都可以從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一個狀態(tài)，或者保持在當(dāng)前狀態(tài).與不同狀態(tài)改變相關(guān)的概率稱為過渡概率，狀態(tài)的更改稱為過渡［2］.

連續(xù)Markovian跳躍系統(tǒng)的奠基性研究始于Krasovskii和Lidskii的工作，隨著該類系統(tǒng)隨機(jī)鎮(zhèn)定性問題的解決，Markovian跳躍系統(tǒng)的理論研究拉開了帷幕.連續(xù)Markovian跳躍系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式在文獻(xiàn)［3］中給出如下：

這里，系統(tǒng)模式間切換由r（t）決定，且r（t）是在有限集合F＝｛1，…，N｝內(nèi)取值的馬爾科夫過程.其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

Markovian跳躍系統(tǒng)因為可以描述許多實(shí)際的系統(tǒng)而受到廣泛關(guān)注.據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)資料顯示，該研究的成果已經(jīng)在核電廠控制系統(tǒng)、無線伺服控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、飛行器控制系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)和制造系統(tǒng)等工程領(lǐng)域得到應(yīng)用［4］.

1 LMIs理論基礎(chǔ)

1.1 LMIs的基本形式

由文獻(xiàn)［3］可知，LMIs（線性矩陣不等式）通常具有如下的形式：

式（1）中，x∈Rm為需要求解的變量，并且矩陣，i＝0.1，…，m為對稱的而且已知.由上式可以得到F（x）為正定矩陣，換句話說就是對于非零數(shù)u∈Rn，存在不等式uTF（x）u＞0，所以，上式實(shí)際上是n個有關(guān)x的不等式，因此，F(xiàn)（x）的主子式均需大于零.并且需要指出，式中所得解集是凸的.

由不等式的一般結(jié)構(gòu)形式可以知道，不等式的構(gòu)成即是不等式的最基本的問題，其他所存在的任何問題都是在這個基本形式上添加與修改的，控制器的設(shè)計同樣是根據(jù)不等式從而得到的參數(shù).

1.2 線性矩陣不等式的方法

［3］中有2個引理，可以將非線性矩陣不等式條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式條件，如下所示.1）Schur補(bǔ)引理

其中Q，QT，R＝RT，S為適當(dāng)維度的矩陣.

2）范數(shù)有界矩陣消除法

給定對稱矩陣Q，適當(dāng)維度矩陣D，E和F（t），若

對所有滿足FT（t）F（t）≤I的矩陣F（t）成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在1個標(biāo)量ε＞0，使得

2 Markovian跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件及分析

2.1 問題描述

對于馬爾科夫系統(tǒng)的一個給定的概率空間（ΩFP），其中Ω是采樣空間，F(xiàn)是采樣空間的σ‐算子，P是F上的概率測度.由文獻(xiàn)［4］可知，在這個空間中，設(shè)定連續(xù)的馬爾科夫跳躍系統(tǒng)對象為

其中x（t）∈Rn是狀態(tài)向量，r（t）＝i，表示系統(tǒng)在t時刻所在的位置狀態(tài)，取值在集合L＝（1，2，…，N）中.

馬爾科夫跳變系統(tǒng)中，表示系統(tǒng)跳變過程的量：轉(zhuǎn)移概率矩陣為

2.2 穩(wěn)定性分析

2.2.1 Lyapunov穩(wěn)定法

馬爾科夫跳躍系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷采用李雅普諾夫穩(wěn)定法，由文獻(xiàn)［5］可以知道，穩(wěn)定性的實(shí)質(zhì)問題是考察系統(tǒng)由初始狀態(tài)擾動所引起的受擾運(yùn)動是否可以趨近或者返回到原平衡狀態(tài).

系統(tǒng)＝f［x，t］，平衡狀態(tài)是Xe＝0，此時滿足f（xe）＝0.如果有一個標(biāo)量函數(shù)V（x），滿足V（x）對所有x都有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，同時也滿足V（x）正定，則

1）如果V（x）沿狀態(tài)軌跡的方向計算時間導(dǎo)數(shù)（x）＝dV（x）／dt是半負(fù)定的，則平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；

2）如果（x）是負(fù)定的，或雖然（x）是半負(fù)定的，但是對任何初始狀態(tài)不恒是零，則平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.當(dāng)‖x‖→∞的時候，V（x）→∞，系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的；

3）如果（x）是正定的，則平衡狀態(tài)下不穩(wěn)定.

V（x）通常選成二次型，判斷二次型V（x）＝的正定性可以用Sylvester準(zhǔn)則去確定，也就是正定的充要條件是P的所有主子行列式都是正的；如果P的所有主子行列式都是非負(fù)，是正半定；若－V（x）是正定，則V（x）就是負(fù)定；若－V（x）是正半定，則V（x）就是負(fù)半定.

李氏穩(wěn)定第2法是去設(shè)定一個能量方程，去驗證馬爾科夫過程的能量為逐漸衰減的，就可以找到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件.

2.2.2 穩(wěn)定性證明

定理1 由文獻(xiàn)［6］可知，已知系統(tǒng)（3），若存在正定矩陣P，滿足下列LMIs：

那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

設(shè)定能量方程為

其中矩陣P為正定矩陣，若要求穩(wěn)定，則要求能量方程是逐漸衰減的［7］，即＜0，

其中￡是隨機(jī)過程的弱微分算子.

將對象代入（t）＝A（trt）x（t），得到

要使式（6）＜0，可知其為二次型形式，可寫成矩陣形式

式（7）為系統(tǒng)的LMI形式，由此可知，使￡V1＜0，即

由式（8）可知，在此條件下，能量方程是逐漸衰減的，因此，式（8）即為馬爾科夫跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定條件.

3 Markovian跳躍系統(tǒng)的控制器設(shè)計

Markovian跳躍系統(tǒng)是一個隨機(jī)性較強(qiáng)的系統(tǒng)，在控制系統(tǒng)的應(yīng)用中，為了防止發(fā)生數(shù)據(jù)丟失、錯發(fā)，要設(shè)計控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定.

3.1 問題描述

對于給定的概率空間（Ω，F(xiàn)，P），其中Ω是采樣空間，F(xiàn)是采樣空間的σ－算子，且P是F上的概率測度.在此概率空間中，考慮如下的連續(xù)時滯Markovian跳變系統(tǒng)［10］：

其中x（t）∈Rn是狀態(tài)向量，u（t）∈RP是控制輸入，｛rt｝是右連續(xù)的且在有限集合L＝｛1，2，…，N｝取值的連續(xù)時間.

根據(jù)系統(tǒng)的性質(zhì)，采用如下的模式依賴狀態(tài)反饋控制器：

其中，Ki，i∈L是待求的模式依賴狀態(tài)反饋控制增益.

將（10）式代入到馬爾科夫跳變系統(tǒng)（9）中，得到如

的閉環(huán)系統(tǒng).

3.2 Markovian跳變系統(tǒng)穩(wěn)定性控制原理

設(shè)計控制器的前提就是保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此，設(shè)計原理就是在馬爾科夫跳變系統(tǒng)穩(wěn)定條件下得到控制器.由文獻(xiàn)［11－12］可知以下定理及引理.

定理2

Ⅰ.對于系統(tǒng)（9），當(dāng)u（t）＝0時，稱連續(xù)時間廣義Markov系統(tǒng)是正則的，若

Ⅱ.當(dāng)u（t）＝0時，稱連續(xù)時間廣義Markov跳變系統(tǒng)是無脈沖的，若?i∈S，

Ⅲ.當(dāng)u（t）＝0時，稱連續(xù)時間廣義Markov跳變系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的，若對于任意初始狀態(tài)x0∈Rn和r0∈S，存在標(biāo)量M（x0，r0）＞0，使下式成立：

其中E表示數(shù)學(xué)期望.

引理1 系統(tǒng)（9）是隨機(jī)穩(wěn)定的充要條件為：存在矩陣，使得下列LMIs成立

3.3 Markovian跳變系統(tǒng)控制器設(shè)計

由系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定條件，設(shè)能量方程為［13］

其中矩陣P為正定矩陣，若要求穩(wěn)定，則要求能量方程是逐漸衰減的，即

其中是隨機(jī)過程的弱微分算子.

對能量方程弱微分，得

將系統(tǒng)對象（t）＝A（t，rt）x（t）＋B（t，rt）Kix（t）代入，得到

將上式化為二次型

由二次型可知，要想滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，要使二次型為小于零的，即式（15）

由式（15）可知，（15）即為系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，由此條件，可以得到Ki（t），得到控制器對象.可知（15）為Lyapunov矩陣形式，以Ai，Bi，Pi，Ki代替各矩陣變量，將其寫為

以分別左乘和右乘（16），得到

由此可知，可利用Schur補(bǔ)引理，得到下列矩陣不等式：

其中，＊代表矩陣的對陣部分.令，得到

其中，令Yi＝KiXi，得到

由以上矩陣不等式可知，要想得到控制器表達(dá)式，要利用LMIs解得（19）關(guān)于Xi，Yi的解，其中，控制器的表達(dá)形式為

使用Matlab進(jìn)行求解，可編寫程序得到結(jié)果.

3.4 數(shù)值算例

經(jīng)過Matlab仿真得到

因為，可得到K1＝［1.002 1.448］；K2＝［0.832 1 2.089 5］，Result：best value of t：－0.796 547，t的值在負(fù)半平面，說明系統(tǒng)控制穩(wěn)定，所以設(shè)計的控制器可以實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的控制.

4 結(jié)束語

本文針對連續(xù)Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，通過Lyapunov定理得到了穩(wěn)定性條件，在對系統(tǒng)增加了隨機(jī)環(huán)節(jié)后，基于Lyapunov定理，利用LMIs方法設(shè)計實(shí)現(xiàn)了控制器，通過數(shù)值算例仿真驗證，對于隨機(jī)性較強(qiáng)的Markovian跳變系統(tǒng)，該控制器可以實(shí)現(xiàn)較好的控制穩(wěn)定效果，可以有效應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)的控制.

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