帶有領(lǐng)航者的多智能體系統(tǒng)的一致性控制

顧建忠，姚建玲，楊洪勇

（1.魯東大學(xué)a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院；b.信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025；2.上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200240）

帶有領(lǐng)航者的多智能體系統(tǒng)的一致性控制

顧建忠1a，姚建玲2，楊洪勇1b

（1.魯東大學(xué)a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院；b.信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025；2.上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200240）

對(duì)基于動(dòng)態(tài)拓?fù)溆蓄I(lǐng)航者的多移動(dòng)智能體二階系統(tǒng)的一致性進(jìn)行研究。假設(shè)各智能體系統(tǒng)存在時(shí)變輸入時(shí)延，分別針對(duì)有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錇楣潭ê蛣?dòng)態(tài)兩種情形，設(shè)計(jì)基于鄰接信息的分散控制策略。基于李亞普諾夫穩(wěn)定性理論及線性矩陣不等式方法，得到使各個(gè)智能體與領(lǐng)航者達(dá)到一致的充分條件。最后通過仿真驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案的有效性。

多智能體系統(tǒng)；領(lǐng)航者；一致性；時(shí)變時(shí)延；動(dòng)態(tài)拓?fù)?/p>

0 引言

多智能體系統(tǒng)的研究近幾年來已成為人工智能研究的一個(gè)熱點(diǎn)。隨著人們對(duì)智能體技術(shù)研究的逐步加深以及計(jì)算機(jī)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和通信技術(shù)的飛速發(fā)展，該問題的研究領(lǐng)域已延伸至生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、社會(huì)行為學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、系統(tǒng)及控制理論等領(lǐng)域。控制領(lǐng)域在該問題上的研究主要為多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制，主要的控制方法是利用局部信息設(shè)計(jì)每個(gè)智能體的運(yùn)動(dòng)規(guī)則以實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的整體控制。其中討論最多的問題是一致性問題。所謂一致性問題是指多智能體系統(tǒng)中每個(gè)智能體的最終狀態(tài)，包括位移、速度等能夠趨于一致。一致性問題的研究發(fā)展很迅速，無論在理論上還是應(yīng)用上都取得了豐碩的成果。Vicsek等利用局部信息提出一個(gè)自驅(qū)動(dòng)模型描述平面粒子的運(yùn)動(dòng)，Jadbabaie等［1］對(duì)Vicsek模型進(jìn)行線性化，分析拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化情況下的一致性問題?；诖鷶?shù)圖論，Olfati-Saber和 Murry［2-3］討論一階多智能體系統(tǒng)的一致性問題。Hong等［4-5］研究帶有領(lǐng)航者的無向切換網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞囊恢滦詥栴}。Ke等［6］研究領(lǐng)航者具有未知時(shí)變速度的多智能體系統(tǒng)的一致性問題，同時(shí)估計(jì)領(lǐng)航者的速度。在多智能體系統(tǒng)中，時(shí)間延遲和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化是影響多智能體系統(tǒng)一致性的兩個(gè)主要因素，文獻(xiàn)［6］～［10］分別考慮無向和有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋾r(shí)的一致性問題。本文針對(duì)帶有領(lǐng)航者的二階多智能系統(tǒng)，時(shí)變輸入時(shí)延和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化同時(shí)存在，設(shè)計(jì)基于鄰接信息的控制輸入，給出保證各個(gè)智能體跟蹤領(lǐng)航者位置與速度的充分條件。

1 問題描述

設(shè)各智能體的動(dòng)態(tài)方程為

其中，xi（t）∈R，vi（t）∈R，ui（t-τ（t））∈R分別表示智能體i∈I= ｛1，2，…n｝在時(shí)刻t的位置，速度，控制輸入。τ（t）表示時(shí)變的輸入時(shí)延，滿足τ（t）≤d1，及˙τ（t）≤d2＜1。

領(lǐng)航者的動(dòng)態(tài)方程為

本文的控制目標(biāo)：分別針對(duì)固定和動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，設(shè)計(jì)基于鄰接信息的分散控制輸入ui（t）（1，2，…，n），使得各智能體的位置和速度分別跟蹤領(lǐng)航者的位置和速度，即xi（t）→x0（t），（t→ ∞），也就是多智能體系統(tǒng)達(dá)到一致。

引理2［6］對(duì) ?a，b∈Rn，? 正定矩陣φ∈Rn×n，有2aTb≤aTφ-1a+bTφb成立。

引理3［7］若有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋨G中，領(lǐng)航者為全局可達(dá)的，則矩陣L+B的特征值不為0，其中，L表示有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銰的Laplacian矩陣，B表示領(lǐng)航者與各智能體之間的鄰接矩陣。

2 主要結(jié)果

2.1 固定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞囊恢滦苑治?/h3>

對(duì)于固定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的多智能體系統(tǒng)（1）-（2），設(shè)計(jì)控制輸入

研究誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（5）的穩(wěn)定性，從而得到多智能體系統(tǒng)（1）-（2）的一致性結(jié)論。

則系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)位置與速度的一致性。

證明：選取Lyapunov-Krasovskii泛函V=V1+V2+V3，其中

其中，P＞0，Q＞0，R＞0為2n×2n的待定矩陣，則

由引理2知

將式（5）代入式（12），得

由引理2知

將式（14）代入式（12），得

綜合式（8），（11），（15），得

其中，由引理1可知，式（18）等價(jià)于存在時(shí)延上界d1及正定矩陣P，Q，R使得

其中，N=F+G，定理1得證。通過應(yīng)用Matlab的LMI工具箱可求得滿足要求的d1，P，Q，R，，保證當(dāng)τ（t）＜d1時(shí)，多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)所有狀態(tài)的一致性。

假設(shè)多智能體系統(tǒng)是由一個(gè)領(lǐng)航者（標(biāo)號(hào)為0）和4個(gè)智能體（標(biāo)號(hào)為1～4）組成。

設(shè)各智能體間每條邊的權(quán)重為0.6，智能體與領(lǐng)航者間每條邊的權(quán)重為1，則系統(tǒng)有向圖~G的Laplacian矩陣L及各智能體與領(lǐng)航者之間的鄰接矩陣B分別為

圖1 固定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋾r(shí)的有向鄰接圖Fig.1 The directed adjacent graph with fixed topology

取d2=0.065通過MatLab的LMI工具箱可求得時(shí)延上界為d1=0.020 7及P，Q，R的可行解為

取τ（t）=0.02｜sin（t）｜，得到關(guān)于領(lǐng)航者及各智能體的狀態(tài)變化曲線（見圖2），從圖2可以看出，各智能體與領(lǐng)航者的位置與速度均達(dá)到一致。

圖2 固定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋾r(shí)的各個(gè)多智能體與leader的狀態(tài)誤差圖Fig.2 The error trajectories between the leader and each agent in fixed topology

2.2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞囊恢滦苑治?/h3>

當(dāng)考慮多智能體系統(tǒng)中的領(lǐng)航者及各智能體不斷發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涫菚r(shí)變的。假設(shè)存在一個(gè)有界的不重疊的連續(xù)的無限時(shí)間間隔序列［ti，ti+1），i=0，1，…，開始于t0=0。定義ˉG=｛G1，G2，…，GN｝包含所有可能拓?fù)涞挠邢驁D集，N表示所有可能圖的個(gè)數(shù)，其中也包含各智能體與領(lǐng)航者間所有可能的信息傳遞網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹６x分段常量切換信號(hào)σ：［0，+∞）→β=｛1，2，…，N｝，由于不同時(shí)刻各智能體間的連接狀態(tài)不同，所以系統(tǒng)的信息傳遞拓?fù)涫菚r(shí)變的，因此系統(tǒng)拓?fù)鋱DG的Laplacian矩陣Lσ為時(shí)變的，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓趖i處切換，i=0，1，…，但在任何時(shí)間間隔［ti，ti+1）內(nèi)為時(shí)不變的。

當(dāng)考慮動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，系統(tǒng)的控制輸入為

此時(shí)系統(tǒng)的誤差動(dòng)態(tài)方程為

定理2 考慮動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，若?duì)于任意網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銰i∈ˉG，其領(lǐng)航者為全局可達(dá)的，則系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件為對(duì)任意給定的0＜d2＜1，存在適當(dāng)d1＞0及正定矩陣P，Q，R使得

該定理的證明方法與固定拓?fù)鋾r(shí)相同，其中Nσ=F+Gσ，且由于此時(shí)Lσ為時(shí)變的，上述線性矩陣不等式對(duì)于所有可能的拓?fù)淝闆r均成立。

下面給出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋾r(shí)的仿真結(jié)果。圖3給出多智能體系統(tǒng)的信息傳遞圖，其中包括4個(gè)智能體（標(biāo)號(hào)i=1，2，3，4）和一個(gè)領(lǐng)航者（標(biāo)號(hào)0）?？紤]系統(tǒng)每隔0.1s在圖3所示的信息傳遞圖之間發(fā)生切換的情況，假設(shè)切換由Ga開始，切換順序見圖4。

圖3 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋾r(shí)的3個(gè)有向鄰接圖Fig.3 Three directed adjacent graphs with switching topology

圖4 系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞那袚Q順序圖Fig.4 Finite machince with three states denoting the states of a network with switching topology

設(shè)智能體間每條邊的權(quán)重為0.6，智能體與領(lǐng)航者間每條邊的權(quán)重為1，則此時(shí)系統(tǒng)的Laplacian矩陣La，Lb，Lc及領(lǐng)航者與智能體間的信息傳遞矩陣Ba，Bb，Bc分別為

取d2=0.05通過MatLab的LMI工具箱可求得時(shí)延上界為d1=0.003 8及P，Q，R的可行解為

圖5為取τ（t）=0.003｜sin（t）｜時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線，從圖5可以看出，各智能體與領(lǐng)航者的狀態(tài)均達(dá)到一致。

圖5 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋾r(shí)各個(gè)多智能體與Leader的狀態(tài)誤差圖Fig.5 The error trajectories between the leader and each agent with switching topology

3 結(jié)論

本文針對(duì)控制輸入中存在時(shí)變時(shí)滯的多智能二階系統(tǒng)，研究其在固定和動(dòng)態(tài)兩種網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎赂欘I(lǐng)航者的位置與速度。利用線性矩陣不等式方法，可以證明對(duì)于適當(dāng)?shù)臅r(shí)滯上界，基于鄰接信息的控制策略可以保證各個(gè)智能體與領(lǐng)航者實(shí)現(xiàn)位置和速度的一致性。此外，文中分別對(duì)固定和動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥M(jìn)行仿真，以驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案的可行性。

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Consensus Control of Multi-Agent Systems with a Leader

GU Jian-zhong1a，YAO Jian-ling2，YANG Hong-yong1b
（1a.School of Mathematics and Statistics Science；b.School of Information Science and Engineering，Ludong University，Yantai 264025，China；2.Department of Mathematics，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240）

This paper is concerned with the leader-following consensus problem of second-order multi-agent systems.Under the assumption that the topology graph is static and dynamic，a decentralized control law based on the neighbor information is proposed for every agent with time-varying input delays.The consensus analysis is performed based on a proposed Lyapunov-Krasovskii functional，and sufficient conditions are obtained in terms of Linear Matrix Inequalities（LMI）.Finally，two simulations are presented to illustrate the theoretical results derived in the paper.

multi-agent systems；leader；consensus analysis；time-varying delay；dynamic topology

TP13

A

1672-3813（2013）03-0067-08

2012-12-04

國(guó)家自然科學(xué)基金（61273152，61170161，61174085）；山東省自然科學(xué)基金（ZR2011FM017）

顧建忠（1977-），女，山東蓬萊人，碩士，講師，主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)控制與分析、多智能體系統(tǒng)的一致性分析。

（責(zé)任編輯 耿金花）