考慮碳排放權(quán)交易的雙寡頭有限理性博弈分析

趙令銳，張驥驤

（南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京 211106）

考慮碳排放權(quán)交易的雙寡頭有限理性博弈分析

趙令銳，張驥驤

（南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京 211106）

對有限理性Cournot模型進(jìn)行改進(jìn)，將其引入到碳排放權(quán)交易市場，建立一個考慮碳排放權(quán)交易的有限理性雙寡頭博弈模型。然后利用非線性動力學(xué)方法討論該模型均衡點的存在性與穩(wěn)定性，并進(jìn)行數(shù)值仿真。研究發(fā)現(xiàn)碳排放權(quán)交易對系統(tǒng)有重要影響：碳排放權(quán)交易價格和二氧化碳產(chǎn)生系數(shù)不僅影響企業(yè)在均衡點的產(chǎn)量，還影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。運用延遲反饋控制法對陷入混沌狀態(tài)的系統(tǒng)進(jìn)行控制，可以使系統(tǒng)重新回到Nash均衡狀態(tài)。

碳排放權(quán)交易；有限理性；Cournot模型；混沌

0 引言

碳排放權(quán)交易是指政府根據(jù)區(qū)域內(nèi)的環(huán)境容量和資源情況確定總的二氧化碳排放量，然后按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，通過免費分配、拍賣、定價出售等方式，把總碳排量以碳排放權(quán)配額的形式分給該區(qū)域內(nèi)的各個企業(yè)，企業(yè)可以在市場上對該配額進(jìn)行交易，但企業(yè)在生產(chǎn)經(jīng)營過程中的碳排放總量不能超過其最終擁有的碳排放權(quán)配額，否則將面臨巨額罰款和制裁，從而達(dá)到對區(qū)域內(nèi)二氧化碳排放的總量控制。通過碳排放權(quán)交易，碳排放邊際成本高的企業(yè)將購買碳排放權(quán)而付出成本，碳排放邊際成本低的企業(yè)將出售碳排放權(quán)而獲得收益。這樣，碳排放權(quán)成為一種調(diào)節(jié)資源配置的商品，能夠刺激企業(yè)提高資源利用效率、采用環(huán)保技術(shù)和設(shè)備等方式減少二氧化碳的排放，最終實現(xiàn)二氧化碳排放的總成本最小化以及保護(hù)環(huán)境和節(jié)約資源。

雖然目前中國作為發(fā)展中國家而沒有強制減排的義務(wù)，但為應(yīng)對全球氣候變化和國際碳排放權(quán)交易對中國帶來的沖擊和影響，以及推動中國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展，中國積極參與減緩氣候變暖行動，在北京、上海等七省市啟動碳排放權(quán)交易試點。國家進(jìn)行碳排放權(quán)交易需要企業(yè)的積極參與，而企業(yè)進(jìn)行碳排放權(quán)交易活動后，其生產(chǎn)、技術(shù)、利潤等等各方面都會受到一定的影響。因此，分析碳排放權(quán)交易對企業(yè)生產(chǎn)決策、效益等的影響，有助于為碳排放權(quán)交易政策的實施提供充分的理論依據(jù)，對碳排放權(quán)交易制度的制定和實施也有較強的指導(dǎo)和借鑒意義。

對碳排放權(quán)的研究，主要集中在碳排放權(quán)的初始分配［1-2］、碳排放權(quán)的交易價格［3］、碳排放權(quán)交易的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)［4］等問題上。在完全競爭市場中，市場均衡時邊際減排成本與碳排放權(quán)的市場均衡價格相等［1］。但是，碳排放權(quán)交易可能嚴(yán)重依賴于行業(yè)的市場結(jié)構(gòu)，完全競爭市場的情況并不適用于寡頭壟斷市場。在寡頭壟斷市場中，企業(yè)很可能通過自己的買賣行為對碳排放權(quán)的交易價格產(chǎn)生較大影響，使之偏離市場均衡價格，這樣市場有效配置資源的功能得不到很好的發(fā)揮。因此，對寡頭壟斷市場中進(jìn)行碳排放權(quán)交易的企業(yè)的博弈行為進(jìn)行分析，具有十分重要的價值。

自1883年Cournot提出了經(jīng)典的產(chǎn)量決策Cournot模型后，許多國內(nèi)外學(xué)者把有限理性、非線性成本等因素引入Cournot模型，運用改進(jìn)后的模型對寡頭壟斷市場進(jìn)行研究。Puu［5］和Agiza等［6］分別將有限理性引入雙寡頭和三寡頭博弈模型，研究發(fā)現(xiàn)了分岔、混沌和奇異吸引子等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象。Elabbasy等［7］研究了非線性成本的有限理性三寡頭博弈模型，并進(jìn)行了混沌控制。達(dá)慶利等［8］針對耐用品寡頭壟斷市場，比較分析了具有相異成本的兩企業(yè)同時博弈的動態(tài)Cournot模型和多目標(biāo)動態(tài)Cournot模型。潘玉榮等［9］定性分析不同理性雙寡頭博弈模型，發(fā)現(xiàn)寡頭為獲取前期競爭優(yōu)勢而不斷加快產(chǎn)量調(diào)整速度將導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。胡榮［10］通過引入“學(xué)習(xí)效應(yīng)”思想研究具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的有限理性Cournot競爭模型，結(jié)果表明學(xué)習(xí)效應(yīng)對動態(tài)Cournot競爭復(fù)雜性有顯著影響。姚洪興等［11］分析了差異化策略的兩組動態(tài)Cournot模型并進(jìn)行仿真，結(jié)果表明同一團(tuán)隊適當(dāng)?shù)睦麧櫡峙浼罢{(diào)整參數(shù)的變化有利于系統(tǒng)穩(wěn)定性，引入時滯使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

本文把有限理性和碳排放權(quán)交易引入到經(jīng)典的Cournot模型中，建立考慮碳排放權(quán)交易的雙寡頭有限理性產(chǎn)量博弈模型，分析該模型均衡點的存在性與穩(wěn)定性，討論產(chǎn)量調(diào)整速度對系統(tǒng)所處狀態(tài)的影響。通過數(shù)值模擬，研究模型的動態(tài)演化過程。最后運用一種有效的混沌控制法對陷入混沌狀態(tài)的系統(tǒng)進(jìn)行控制，使系統(tǒng)重新回到Nash均衡狀態(tài)。

1 模型建立

假設(shè)寡頭壟斷不完全競爭市場上有生產(chǎn)相同產(chǎn)品的兩企業(yè)，且滿足要求：

1）每個企業(yè)的產(chǎn)量決策發(fā)生在離散的時間周期n=0，1，2，…，qi（n）表示企業(yè)i（i=1，2）在n期的產(chǎn)量，第n期內(nèi)市場的總供給量為Q=q1（n）+q2（n）；第n期的價格P 由Q（n）通過逆需求函數(shù)P=a-bQ決定，其中a，b為正的常數(shù)，a為市場上該產(chǎn)品的最高價格。企業(yè)的生產(chǎn)成本為線性函數(shù)，即Ci（qi）=ciqi，其中單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本ci＞0。

2）企業(yè)生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的二氧化碳數(shù)量與其產(chǎn)量qi線性相關(guān)，記為kiqi，其中ki為企業(yè)i的二氧化碳產(chǎn)生系數(shù)，k1，k2為非負(fù)常數(shù)。企業(yè)可以自行減排，企業(yè)i的碳減排量為di，減排成本系數(shù)為βi（βi＞0），則減排成本為βidi。因此，企業(yè)i的總的碳排放量為kiqi-di。

3）企業(yè)免費獲得的初始碳排放權(quán)為y0，則企業(yè)i的碳排放權(quán)交易量為y0-（kiqi-di），交易價格為p。若y0-（kiqi-di）＞0，表示企業(yè)i出售剩余的碳排放權(quán)；若y0-（kiqi-di）＜0，表示企業(yè)i購買不足的碳排放權(quán)，且y0-（kiqi-di）=-（y0-（kjqj-dj））。

因此，企業(yè)i在第n期的利潤函數(shù)分別為

對Πi（q1（n），q2（n））關(guān)于qi（n）求偏導(dǎo)，可得企業(yè)i邊際利潤：

令c′i=ci+pki，即c′i為企業(yè)i單位產(chǎn)品的總變動成本，由單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本ci與單位產(chǎn)品的碳排放成本pki兩部分構(gòu)成，則式（2）可簡化為

由于現(xiàn)實中市場信息的不完全性和企業(yè)自身條件的限制，企業(yè)決策時只能達(dá)到有限理性，不能對未來市場的需求情況進(jìn)行完全預(yù)測，因此假定企業(yè)依據(jù)對邊際利潤的局部估計確定其產(chǎn)量［12］。如果企業(yè)在第n期的邊際利潤為正，則其將會在第n+1期增加產(chǎn)量；反之如果邊際利潤為負(fù)，就會減少產(chǎn)量。因而可得到企業(yè)i在第n+1期的產(chǎn)量為

其中，αi是一個正的參數(shù)，表示企業(yè)i的產(chǎn)量調(diào)整速度。于是把式（3）代入式（4）中，可得雙寡頭有限理性產(chǎn)量博弈模型：

2 模型分析

為研究雙寡頭產(chǎn)量博弈模型（5）的動態(tài)行為，本節(jié)對系統(tǒng)的非負(fù)均衡解進(jìn)行研究。在系統(tǒng)（5）中，令qi（n+1）=qi（n），i=1，2，可得到代數(shù)系統(tǒng)：

解式（6）可以求得4個非負(fù)均衡點為

顯然，E0，E1，E2為有界均衡點（壟斷均衡）；當(dāng)a+c′2＞2c′1，a+c′1＞2c′2時，E3為 Nash均衡點。下面研究這4個均衡點的穩(wěn)定性，首先計算系統(tǒng)（5）的Jacobian矩陣，即

定理1 有界均衡點E0，E1，E2是不穩(wěn)定均衡點（鞍點）。

證明：把E0的值代入式（7）可得到E0的Jacobin矩陣J（E0），然后解矩陣J（E0）可求得有界均衡E0處的兩個特征值分別為

其中，a為市場上該產(chǎn)品的最高價格，c′i為企業(yè)i的單位產(chǎn)品的總變動成本，由單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本與單位產(chǎn)品的碳排放成本兩部分構(gòu)成。在現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)中，產(chǎn)品的市場最高價格肯定會高于總變動成本，否則企業(yè)為獲得利潤是不會選擇生產(chǎn)該產(chǎn)品，即a＞c′i，故有λi＞1，即E0是一個不穩(wěn)定點。E0對應(yīng)的是兩企業(yè)都未進(jìn)入市場，市場還很廣闊，企業(yè)應(yīng)該努力降低單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本和二氧化碳的產(chǎn)生系數(shù)，以便迅速地壟斷該市場。

同樣可求得在有界均衡E1處的兩個特征值分別為

根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，產(chǎn)品的市場最高價格比企業(yè)單位產(chǎn)品的總變動成本要大得多，寡頭企業(yè)間的產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本相差不大，二氧化碳生產(chǎn)系數(shù)相差較小，因而總變動成本相差不大，從而有a-2c′1+c′2＞0，所以λ1＞1，即E1是一個不穩(wěn)定點。E1點所對應(yīng)的是單寡頭壟斷市場，企業(yè)2完全壟斷市場，而企業(yè)1的產(chǎn)量為零。造成這種單寡頭壟斷市場的出現(xiàn)很可能是由于企業(yè)2的單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本遠(yuǎn)低于企業(yè)1，或者企業(yè)1的二氧化碳產(chǎn)生系數(shù)遠(yuǎn)高于企業(yè)2。在利潤的驅(qū)使下企業(yè)1肯定不會滿足于現(xiàn)狀，它會盡量減少生產(chǎn)成本，降低二氧化碳產(chǎn)生系數(shù)，調(diào)整α1從而增加產(chǎn)量進(jìn)入市場。而企業(yè)2將會相應(yīng)地采取應(yīng)對措施阻礙企業(yè)1對市場的占領(lǐng)，保持自己的市場占有率。

由于E1和E2具有對稱結(jié)構(gòu)，故在有界均衡E2處，有著與E1相似的情況。原命題得證。

定理2 當(dāng)α1，α2滿足0＜2α1A+2α2B-α1α2AB＜6，4α1A+4α2B-α1α2AB＜12（其中A=a-2（c1+pk1）+c2+pk2，B=a+c1+pk1-2（c2+pk2）時，Nash均衡點E3是穩(wěn)定的。

證明：在Nash均衡點E3處Jacobin矩陣為

它的特征方程為f（λ）=λ2-trJλ+det J=0，其中trJ和det J分別是矩陣J的跡和行列式：

由于是基于a+c′2＞2c′1，a+c′1＞2c′2的假設(shè)前提，故trJ2-4det J＞0，這表明 Nash均衡E3的特征值為實的。根據(jù)Jury條件［13］，Nash均衡點E3穩(wěn)定的充分必要條件為

把trJ，det J代入式（9），整理得Nash均衡E3穩(wěn)定的充分必要條件為α1，α2應(yīng)滿足條件：

顯然，式（10）定義了一個Nash均衡點E3的穩(wěn)定區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)E3是穩(wěn)定的，但是若α1，α2不滿足式（10）而超出了這個區(qū)域，E3將變得不穩(wěn)定。原命題得征。

由于兩企業(yè)都是有限理性的，兩者的產(chǎn)量博弈不可能立即達(dá)到Nash均衡狀態(tài)，需要進(jìn)行多次重復(fù)博弈才能最終趨于平衡。而一旦某一企業(yè)或者兩企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速度過快，使得α1，α2超出了式（10）所定義的區(qū)域，都將會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生改變。但是α1，α2的不同取值不會改變Nash均衡點的大小，即對E3沒有影響。碳排放權(quán)的交易價格p和二氧化碳的產(chǎn)生系數(shù)ki對系統(tǒng)有重要影響，不僅會影響企業(yè)在均衡點的產(chǎn)量，即對E3有影響，也會影響均衡點的穩(wěn)定性，即若p，ki的取值超出了式（10）所定義的區(qū)域系統(tǒng)將不穩(wěn)定。ki由企業(yè)的生產(chǎn)設(shè)備和技術(shù)等決定，在一定周期內(nèi)不變。p由市場決定，是企業(yè)的不可控因素，一般可通過政府政策、市場調(diào)節(jié)等手段加以調(diào)控。限于篇幅，關(guān)于碳排放權(quán)的交易價格對雙寡頭博弈模型的具體影響，將另文討論。

3 數(shù)值模擬

為了更直觀地分析雙寡頭有限理性產(chǎn)量博弈模型（5）的動態(tài)行為，選取一定的參數(shù)值對該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，描繪系統(tǒng)（5）的動態(tài)演化過程、奇異吸引子等圖。

假定參數(shù)初始取值為a=10，b=3，c1=1，c2=1，p=1，k1=0.1，k2=0.3。

圖1描繪了其他參數(shù)取初始值，α2=0.1時，系統(tǒng)（5）隨企業(yè)1的產(chǎn)量調(diào)整速度α1變化的動態(tài)演化過程，并描繪出系統(tǒng)出現(xiàn)的奇異吸引子。從圖中可以看出，當(dāng)α1＜0.3時，Nash均衡點E3（1.01，0.94）是穩(wěn)定的，但隨著α1的增大，E3將變得不穩(wěn)定；當(dāng)α1＞0.3并逐漸增大時，系統(tǒng)由Nash均衡狀態(tài)逐步進(jìn)入分岔、混沌狀態(tài)。

圖1 雙寡頭有限理性博弈模型（5）的動態(tài)演化及奇異吸引子Fig.1 Dynamic process of duopoly game with bounded rationality and strange attractor of system（5）

圖2 雙寡頭有限理性博弈模型（5）的動態(tài)演化及奇異吸引子Fig.2 Dynamic process of duopoly game with bounded rationality and strange attractor of system（5）

圖2描繪了其他參數(shù)取初始值，α1=0.15時，系統(tǒng)（5）隨企業(yè)2的產(chǎn)量調(diào)整速度α2變化的動態(tài)演化過程，并描繪出系統(tǒng)出現(xiàn)的奇異吸引子。從圖中可以看出，當(dāng)α2＜0.29時，Nash均衡點E3（1.01，0.94）是穩(wěn)定的；但隨著α2的增大，E3將變得不穩(wěn)定；當(dāng)α2＞0.29并逐漸增大時，系統(tǒng)由Nash均衡狀態(tài)逐步進(jìn)入分岔、混沌狀態(tài)。

為進(jìn)一步驗證產(chǎn)量調(diào)整速度變化所引起的混沌現(xiàn)象，分析系統(tǒng)是否對初始值有敏感性依賴。圖3分別描繪了當(dāng)其他參數(shù)取初始值，α1=0.15，α2=0.436（此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)），兩企業(yè)產(chǎn)量的初始值為（q10，q20）和（q10+0.000 001，q20）時，產(chǎn)量q1關(guān)于時期t的變化圖。從圖中可以看出，剛開始企業(yè)1的兩條產(chǎn)量演化曲線幾乎一樣，但在經(jīng)過多次迭代后就開始產(chǎn)生明顯的分離，即初始條件的細(xì)微變動都會極大地影響博弈結(jié)果。

圖3 企業(yè)1產(chǎn)量q1對初始產(chǎn)量的敏感依賴性Fig.3 Sensitive dependence on initial conditions of player l

通過上述模擬分析發(fā)現(xiàn)，雙寡頭有限理性產(chǎn)量競爭，經(jīng)過多次博弈后會出現(xiàn)穩(wěn)定、分岔和混沌3種復(fù)雜的情況。當(dāng)企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速度αi較小時，雙寡頭在多次博弈后最終將會趨向唯一的Nash均衡；但若αi太大，超過某一臨界值，其博弈結(jié)果便具有很大的不確定性，多次博弈后雙寡頭產(chǎn)量競爭將會進(jìn)入分岔或混沌狀態(tài)。一旦陷入混沌的市場中，博弈雙方初始條件的細(xì)微變化都會極大地影響最終結(jié)果，并使企業(yè)對市場的變化情況不能進(jìn)行有效的預(yù)測，這對企業(yè)來說是不利的，其生產(chǎn)決策等受到很大的影響。

4 混沌控制

通過模型分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速度超過臨界值后，系統(tǒng)（5）將失去穩(wěn)定而進(jìn)入復(fù)雜的分岔、混沌狀態(tài)，此時企業(yè)初始條件的細(xì)微調(diào)整都會產(chǎn)生極大的不可預(yù)測性，這是企業(yè)所不愿面對的。因此，對系統(tǒng)（5）進(jìn)行混沌控制以保證其處于穩(wěn)定均衡狀態(tài)是企業(yè)所必須做的。

其中，k為控制因子，則系統(tǒng)（10）在Nash均衡E3處Jacobin矩陣為

根據(jù)特征方程（12）和Jury條件即可求出k的有效取值范圍。

圖4描繪了其他參數(shù)取初始值，α1=0.429，α2=0.1時，雙寡頭有限理性產(chǎn)量博弈模型的混沌控制圖。從圖中可以看出，控制因子k很小時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；隨著k的逐步增大，當(dāng)k＞0.44時，系統(tǒng)（5）便由混沌狀態(tài)經(jīng)過分岔后重新回到了Nash均衡狀態(tài)。圖5描繪了當(dāng)α1=0.429，α2=0.1，k=0.5，企業(yè)初始產(chǎn)量為（0.8，0.5）時，企業(yè)產(chǎn)量由混沌狀態(tài)逐步穩(wěn)定到Nash均衡的時間變化歷程。

圖4 雙寡頭博弈混沌控制Fig.4 Bifurcation diagram of chaos control

圖5 企業(yè)產(chǎn)量變化的時間歷程Fig.5 Stabilization of nash equlibrium

5 結(jié)論

本文把有限理性及碳排放權(quán)交易引入到經(jīng)典的Cournot模型中，建立了考慮碳排放權(quán)交易的雙寡頭有限理性產(chǎn)量博弈模型，對該模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，并且計算出了該模型的穩(wěn)定區(qū)域。分析發(fā)現(xiàn)，若系統(tǒng)參數(shù)超出了穩(wěn)定區(qū)域，該系統(tǒng)則會進(jìn)入分岔、混沌狀態(tài)。當(dāng)企業(yè)進(jìn)行碳排放權(quán)交易后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到影響，其中碳排放權(quán)交易價格和企業(yè)的二氧化碳產(chǎn)生系數(shù)不僅會影響企業(yè)在均衡點的產(chǎn)量，還會影響均衡點的穩(wěn)定性；而碳減排量和減排成本系數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性無影響，只影響到企業(yè)最后的利潤。

此外，還對博弈過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。模擬結(jié)果表明，企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速度的大小可以導(dǎo)致雙方博弈Nash均衡的穩(wěn)定性發(fā)生變化。當(dāng)企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速度較小時，系統(tǒng)最終都會動態(tài)地趨向Nash均衡；但若調(diào)整速度太大，超過某一臨界值，博弈結(jié)果便具有很大的不確定性，多次博弈后雙寡頭產(chǎn)量競爭將會進(jìn)入分岔或混沌狀態(tài)。而一旦陷入混沌的市場中，博弈雙方初始條件的細(xì)微變化都會極大地影響最終結(jié)果，企業(yè)對市場的變化情況不能進(jìn)行有效的預(yù)測。進(jìn)入混沌市場是企業(yè)所不愿面對的情況，此時企業(yè)必須進(jìn)行混沌控制減少市場的不確定性。延遲反饋控制是一種很好的混沌控制法，運用它對陷入混沌狀態(tài)的系統(tǒng)進(jìn)行控制，可以使系統(tǒng)重新回到Nash均衡狀態(tài)。

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Analysis of Duopoly Game with Bounded Rationality and Carbon Emission Trading

ZHAO Ling-rui，ZHANG Ji-xiang
（College of Economics and Management Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China）

Improving the Cournot model with bounded rationality，and then applying it to the carbon emission trading market，a duopoly game with bounded rationality and carbon emission trading was established.By using the theory of nonlinear dynamic systems，the existence and stability of the equilibrium point of this model were discussed and some numerical simulations were made.The research results showed that carbon emission trading played an important role in the system.The price of allowances of carbon emission trading and the carbon emission coefficient not only affected the outputs of each firm in the equilibrium point，but also influenced the stability of system.Nash equilibrium of the model can be maintainable by using delayed feedback control method when the model in chaos state.

carbon emission trading；bounded rationality；Cournot model；chaos

F224；X51

A

1672-3813（2013）03-0012-08

2013-01-13

國家自然科學(xué)基金（71101071）；國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（2012CB955802）；江蘇省教育廳哲學(xué)社會科學(xué)基金（2012SJD630086）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助（NR2010039，NR2013006）

趙令銳（1989-），男，江西吉安人，碩士研究生，主要研究方向為有限理性博弈和企業(yè)決策。

（責(zé)任編輯 李進(jìn)）