基于最大似然頻率精細(xì)估計(jì)的載波捕獲算法

王 樂 ,王竹剛,熊蔚明

(1.中國科學(xué)院 空間科學(xué)與應(yīng)用研究中心,北京 100190;2.中國科學(xué)院 研究生院,北京100190)

1 引 言

由于深空通信距離遠(yuǎn),信號到達(dá)接收端時已十分微弱,對通信系統(tǒng)的捕獲是一個巨大的挑戰(zhàn),且深空通信的信號具有多普勒動態(tài)范圍大、變化率高等特點(diǎn),更是增大了捕獲的難度。隨著數(shù)字中頻接收機(jī)硬件處理能力的提高,星上設(shè)備可以主動捕獲載波。目前主動捕獲方式有兩種:一種通過鎖頻環(huán),將頻率牽引至鎖相環(huán)的捕獲帶寬內(nèi);另一種是通過FFT估計(jì)頻率,并導(dǎo)入鎖相環(huán)完成捕獲。在深空環(huán)境下,信噪比較低,FFT本身是頻率的最大似然估計(jì)的離散實(shí)現(xiàn)形式[1],具有最佳的抗噪性能。文獻(xiàn)[2]中,NASA利用FFT加上自適應(yīng)濾波,已經(jīng)應(yīng)用于實(shí)際的火星任務(wù)中。

FFT存在頻率估計(jì)值離散、截?cái)囝l譜泄露等問題,影響了估計(jì)的精度,使得頻率的精細(xì)估計(jì)成為了頻率估計(jì)算法研究的重要領(lǐng)域。文獻(xiàn)[3-4]對目前較為常見的基于FFT頻率精細(xì)估計(jì)算法進(jìn)行了介紹和比較。根據(jù)精確估計(jì)所利用的信息,筆者將這些算法可分為兩大類:一類是利用FFT輸出的幅度信息,另一類是利用FFT輸出的實(shí)部信息。Rife-Jane方法[5]利用幅度最大譜線以及其兩邊的譜線估計(jì)頻率,該方法的特點(diǎn)是插值算法簡單,易于實(shí)現(xiàn),但在有噪聲情況下由于兩邊譜線的錯誤,將會使得噪聲頻率插值方向相反,引起較大的頻率估計(jì)誤差。Grandke方法[6]在Rife-Jane方法基礎(chǔ)上增加Hanning窗,使主瓣變寬,主瓣出現(xiàn)多條譜線,使得位于最大值兩側(cè)的譜線更易區(qū)分,更好地克服了插值方向錯誤的問題,極大地提高了估計(jì)精度。Voglewede方法的基本思想是利用FFT輸出的峰值以及相鄰的兩個頻點(diǎn)的幅值,擬合出一條二次曲線逼近原插值函數(shù),然后通過求二次函數(shù)即拋物線的最大值求解精確頻率。文獻(xiàn)[7]給出了Vogelede方法的原理,并以方形窗函數(shù)和升余弦的帶限信號作為驗(yàn)證。由于算法本身是通過曲線的二次曲線擬合,估計(jì)誤差較大,在有噪聲的情況下估計(jì)精度不高。三線幅度法[8]利用FFT最大輸出譜線兩邊的譜線幅度進(jìn)行頻偏估計(jì),具有較高的抗噪性能,在無噪情況下對頻偏達(dá)到無偏的擬合效果,算法結(jié)構(gòu)簡單,實(shí)現(xiàn)簡便。需要注意的是,當(dāng)無頻偏時,即FFT的粗估計(jì)輸出恰好為實(shí)際估計(jì)頻率時,兩條邊頻的值較小,受噪聲影響較大,導(dǎo)致估計(jì)性能下降。以上幾種方法均屬于第一類。Quinn方法是利用FFT輸出的次大頻點(diǎn)和最大頻點(diǎn)復(fù)數(shù)值之比進(jìn)行頻率插值的方法[9]。Jacobsen方法和Voglewede方法結(jié)構(gòu)上相似,都是搜索幅度最大值和相鄰的兩個頻點(diǎn)。Jacobsen方法利用的是3個頻點(diǎn)復(fù)輸出的實(shí)部進(jìn)行頻偏的插值估計(jì)。文獻(xiàn)[10]通過對FFT的輸出表達(dá)式做泰勒級數(shù)展開,給出了Jacobsen方法的理論依據(jù),并對原方法進(jìn)行了誤差校正。Jacobsen對原方法也進(jìn)行了深入的研究,通過仿真分析了不同窗函數(shù)下的Jacobsen方法的性能表現(xiàn),歸納出了各種窗函數(shù)下對估計(jì)算法的系數(shù)修正,進(jìn)一步提高了估計(jì)的精度。Quinn方法和Jacobsen方法均屬于第二類,第二類方法抗噪性能都要優(yōu)于第一類。

本文在現(xiàn)有的FFT載波捕獲基礎(chǔ)上,通過FFT峰值輸出的瞬時相位表達(dá)式,推導(dǎo)了頻率精確估計(jì)的最大似然算法,并提出了可行的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。在突發(fā)數(shù)據(jù)通信模式下,精確的頻率估計(jì)結(jié)果可以直接用于后續(xù)解調(diào)電路,以達(dá)到快速捕獲的目的[8]。

2 FFT頻偏δ的最大似然估計(jì)

對于正弦波信號s(n)=Acos(wn+φ),其頻率w和φ的估計(jì)是非線性估計(jì)?？紤]在加性白噪聲信道中,兩個參數(shù)的最大似然估計(jì)分別為[1]

其中:

由上式可以看出,相位的最大似然估計(jì)值恰好是離散傅里葉變換的相位值。

對于殘留載波信號和數(shù)據(jù)輔助下的抑制載波信號,其捕獲的對象都可以等效為單音信號,其解析表達(dá)式為

式中,A為信號幅度,wd為載波多普勒頻偏,φ為初始相位,q(n)為復(fù)加性高斯白噪聲序列。不考慮噪聲項(xiàng),對采樣到的2N的信號做N點(diǎn)FFT,得到兩組結(jié)果X1(k)和 X2(k),其表達(dá)式為

其中,

由式(2)可得

所以

利用FFT對實(shí)際頻率估計(jì)是帶有估計(jì)誤差 δ,所以

其中,k0是最大譜線的頻點(diǎn)。

代回式(9)得

可得

從算法的表達(dá)式可以看出,FFT輸出的最大譜線的相位包含 δ的信息。根據(jù)最大似然估計(jì)泛函不變性,若 θ是θ的最大似然估計(jì),那么 α=g(θ)的最大似然估計(jì)是=g( θ)[11]。由此可得,式(11)是δ的最大似然估計(jì)。

FFT輸出實(shí)部和虛部的概率分布均滿足高斯分布,兩者的和差及比值仍屬于對稱分布。FFT的幅度值由于進(jìn)行了平方運(yùn)算,其平方的分布是非中心的χ2分布,屬于非對稱分布。在低信噪比下,一次FFT的輸出結(jié)果往往不能直接作為頻率估計(jì)的結(jié)果,而是要進(jìn)行一定量的非相關(guān)累積。對于對稱分布,多次累積的結(jié)果不會改變其期望,而且隨著累積次數(shù)的增加其方差呈平方次衰減。對于非對稱分布,期望值與多次累積的次數(shù)相關(guān),從而使得累積后的結(jié)果出現(xiàn)偏差,同時方差也無改善。本文算法的估計(jì)量為對稱分布,通過多次累積,能夠進(jìn)一步提高估計(jì)精度。

3 最大似然算法模型

算法主要由兩部分組成,首先是利用有限點(diǎn)數(shù)的FFT對頻率的粗估計(jì),然后是頻率的精細(xì)估計(jì)。整個頻率估計(jì)算法的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 最大似然算法模型Fig.1 Block diagram of the proposed algorithm

經(jīng)過FFT獲得最大頻點(diǎn)值的復(fù)輸出。上采樣主要用于解決當(dāng)實(shí)際的 δ靠近0.5時,在有噪聲時其相位漸變性差的問題。角度解算利用反正切函數(shù)實(shí)現(xiàn),其輸出的波形在無噪聲下是鋸齒波,相位差的輸出在鋸齒波跳變沿處出現(xiàn)沖激,使得估計(jì)值偏離了實(shí)際值,如圖2所示。

圖2 相位及相位差輸出波形Fig.2 Waveforms comparison between phase and phase difference

相位卷繞保證了角度分布在[-π,π],相位卷繞方法如下式所示:

積分清洗使得輸出估計(jì)值平滑,并保證了FFT原有的輸出帶寬。

4 算法性能比較

仿真中采用FFT點(diǎn)數(shù) N為1024,累加數(shù)據(jù)L為16。文獻(xiàn)[3-4]利用仿真證明了性能最優(yōu)的估計(jì)算法Jacobsen算法。在文獻(xiàn)[8]中的三線法也具有較高的精度。下面用本文的方法和Jacobsen方法以及三線法進(jìn)行比較。理論性能下界為[12]

本文算法與三線法、Jacobsen方法的估計(jì)性能比較如圖3所示。

圖3 本文算法與三線法、Jacobsen方法性能比較Fig.3 Performance comparison between three-line algorithm,Jacobsen algorithm and the proposed algorithm

由圖3可以看出,本文算法在性能上有較好的表現(xiàn),在相同的信噪比下,優(yōu)于三線幅度法和Jacobsen方法,接近理論CRB。同時,三線幅度法所利用的邊譜線在頻偏為0時幅值較小,所以受噪聲的影響較大,在各信噪比下,估計(jì)誤差也較大。

在極低信噪比下,算法性能隨著數(shù)據(jù)累加數(shù)的提高變化曲線由圖4所示。

圖4 本文算法隨數(shù)據(jù)長度增加性能變化曲線Fig.4 Performance versus length of data

由圖4可以看出,本文隨著數(shù)據(jù)累加長度的增加,估計(jì)精度有所改善,這也是對結(jié)果進(jìn)行非相關(guān)累加的結(jié)果。在信噪比為-25 dB的情況下,增加非相關(guān)累加長度不能達(dá)到有效抑制噪聲的效果。

利用Matlab中的System Generator工具搭建本算法的硬件仿真模型,其中使用Cordic模塊實(shí)現(xiàn)相角計(jì)算。Cordic算法模塊在實(shí)現(xiàn)arctan函數(shù)的運(yùn)算時,迭代次數(shù)i決定了Cordic算法對arctan函數(shù)的逼近程度,i的值越大,相應(yīng)逼近程度越高。圖5給出了不同迭代次數(shù)下的算法實(shí)現(xiàn)與理論模型下的算法性能比較。

圖5 算法硬件實(shí)現(xiàn)與浮點(diǎn)仿真模型的性能比較Fig.5 Performance comparison between fixed-point implemenation model and float-point model(approximately ideal)

從圖5可以看出,算法在迭代次數(shù) i為8時,性能與浮點(diǎn)精度仿真模型已經(jīng)非常接近。隨著迭代次數(shù)的下降,性能也隨之下降。應(yīng)根據(jù)不同應(yīng)用背景和硬件平臺的狀況,選擇合適的迭代次數(shù)。

5 結(jié)束語

基于FFT的頻率估計(jì)算法是經(jīng)典的估計(jì)課題,在克服FFT截?cái)嗨鸬男孤都半x散估計(jì)值的精細(xì)估計(jì)算法也有諸多的研究方向。本文在查閱了基于FFT頻率精確估計(jì)算法相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,分析了影響估計(jì)性能的兩個設(shè)計(jì)方面。首先,對于頻偏估計(jì)尚未給出最大似然估計(jì)表達(dá)式,即各類算法的設(shè)計(jì)并未以最大似然估計(jì)的求解為出發(fā)點(diǎn);其次,估計(jì)算法的分布為對稱分布時的抗噪性能要優(yōu)于非對稱分布。鑒于以上兩個方面,作者通過相位信息的最大似然估計(jì)表達(dá)式,推導(dǎo)出頻偏估計(jì)值,且估計(jì)結(jié)果為對稱分布。仿真結(jié)果證明,在高信噪比和低信噪比下均有良好的性能。

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