五軸數(shù)控加工非線(xiàn)性誤差控制策略及影響因素的研究

崔小順 魏建峰 魏紅港 楊 程

(①天水星火機(jī)床有限責(zé)任公司，甘肅天水 741024;②酒泉鋼鐵(集團(tuán))有限責(zé)任公司，甘肅嘉峪關(guān) 735100;③東北大學(xué)，遼寧沈陽(yáng) 110004;④西安理工大學(xué)，陜西西安 710048)

后置處理技術(shù)是數(shù)控加工編程理論中關(guān)鍵技術(shù)之一，它是連接CAD/CAM系統(tǒng)與機(jī)械制造的紐帶，后置處理直接影響到自動(dòng)編程軟件的使用效果和工件的加工質(zhì)量以及機(jī)床的可靠運(yùn)行?，F(xiàn)代集成化的CAD/CAM系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)從設(shè)計(jì)到制造過(guò)程的高質(zhì)、高效化。但是現(xiàn)在企業(yè)普遍采用的CAD/CAM系統(tǒng)的后置處理軟件尚沒(méi)有通過(guò)合適的算法對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床的加工產(chǎn)生的非線(xiàn)性誤差進(jìn)行控制，這必然會(huì)對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床的加工精度產(chǎn)生影響。

目前的CNC在控制多軸聯(lián)動(dòng)時(shí)一般只具有線(xiàn)性插補(bǔ)功能，非線(xiàn)性連續(xù)軌跡只能以一系列微小線(xiàn)性段來(lái)離散逼近，再由數(shù)控機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸做五軸線(xiàn)性插補(bǔ)來(lái)實(shí)現(xiàn)加工曲面的近似包絡(luò)成型。但是在多軸加工時(shí)由于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的影響，機(jī)床各軸線(xiàn)性插補(bǔ)合成運(yùn)動(dòng)會(huì)使實(shí)際刀位偏離編程直線(xiàn)。這樣在加工曲面的過(guò)程中，刀具切觸點(diǎn)的軌跡并不是預(yù)先離散的直線(xiàn)段，而是連接此直線(xiàn)段的一段三維曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)與兩切觸點(diǎn)之間的直線(xiàn)段之間的偏差就是非線(xiàn)性誤差［1－2］。

1 非線(xiàn)性誤差建模

五軸聯(lián)動(dòng)加工時(shí)刀具中心點(diǎn)和刀軸方向都是不斷變化的，加工過(guò)程中由于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所造成的非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)和數(shù)控系統(tǒng)線(xiàn)性插補(bǔ)方式之間的不一致性，導(dǎo)致了五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工非線(xiàn)性誤差的產(chǎn)生。非線(xiàn)性誤差描述的是五軸數(shù)控加工時(shí)刀具理論插補(bǔ)軌跡與實(shí)際插補(bǔ)軌跡之間的偏差。非線(xiàn)性誤差是在相鄰刀位點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性插補(bǔ)的過(guò)程中產(chǎn)生的，研究它就必須在相鄰程序段內(nèi)進(jìn)行，而不應(yīng)該籠統(tǒng)地在整個(gè)刀具路徑上進(jìn)行［3］。

1.1 五軸線(xiàn)性插補(bǔ)模型建立

圖1所示為A－C雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)軌跡示意圖，(Oc1，V1)和(Oc2，V2)為相鄰刀位數(shù)據(jù)，由刀位點(diǎn)坐標(biāo)值Oc(xc，yc，zc)和刀軸矢量V(i，j，k)組成。X、Y、Z軸為機(jī)床平動(dòng)軸，A、C軸為機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸。(Oc1，V1)對(duì)應(yīng)于機(jī)床各軸的運(yùn)動(dòng)位置為(X1，Y1，Z1，A1，C1)，(Oc2，V2)對(duì)應(yīng)的機(jī)床的各軸位置為(X2，Y2，Z2，A2，C2)。機(jī)床從位置(X1，Y1，Z1，A1，C1)到位置(X2，Y2，Z2，A2，C2)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是由線(xiàn)性插補(bǔ)完成的，因此以事件t為參數(shù)可建立起如下插補(bǔ)軌跡方程:

從位置(X1，Y1，Z1，A1，C1)到位置(X2，Y2，Z2，A2，C2)過(guò)程中，五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床經(jīng)插補(bǔ)器計(jì)算后，使刀尖點(diǎn)沿各軸的實(shí)際刀尖點(diǎn)軌跡Q(t)運(yùn)動(dòng)。這樣Q(t)就與相鄰刀位點(diǎn)之間的理想刀尖點(diǎn)軌跡L(t)發(fā)生偏離，其最大偏離量εmax就可以近似地作為非線(xiàn)性誤差的估計(jì)值，可見(jiàn)，要求解εmax就先要求解Q(t)。

1.2 實(shí)際刀尖點(diǎn)軌跡求解

因?yàn)橐蠼鈱?shí)際刀尖點(diǎn)軌跡Q(t)用到了機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)變化模型，所以在此首先對(duì)該原理進(jìn)行研究［4］。

建立A－C雙轉(zhuǎn)臺(tái)機(jī)床各坐標(biāo)系之間的關(guān)系如圖2所示。其中:OwXwYw Zw為與工件固聯(lián)的加工坐標(biāo)系，機(jī)床運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)X、Y、Z就是以此坐標(biāo)系為參考;OtXtYtZt是與刀具固聯(lián)的坐標(biāo)系，稱(chēng)之為刀具坐標(biāo)系，它在加工坐標(biāo)系的位置rt就是刀位點(diǎn)Oc(xc，yc，zc)。刀具刀尖點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)，刀軸矢量為(i，j，k);OmXmYmZm為與定軸A固聯(lián)的坐標(biāo)系，其原點(diǎn)為兩個(gè)回轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，其坐標(biāo)方向與機(jī)床坐標(biāo)系一致，稱(chēng)之為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，它的坐標(biāo)原點(diǎn)Om在加工坐標(biāo)系中的位置rm(mx，my，mz)，其中參數(shù)mx、my、mz與機(jī)床的轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)和尺寸有關(guān)。

由機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈進(jìn)行坐標(biāo)變換得:

式(2)和(3)中，T和R分別為平移和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的變換矩陣，解式(2)和(3)得到機(jī)床運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)為:

式(4)就是機(jī)床正向運(yùn)動(dòng)學(xué)變換模型，該模型描述的是前置刀位數(shù)據(jù)點(diǎn)和機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)之間的關(guān)系。本文采用的是基于正向和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)變換模型對(duì)實(shí)際刀尖點(diǎn)軌跡Q(t)進(jìn)行求解，其過(guò)程分為以下3步:

(1)根據(jù)式(4)，采用正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型分別計(jì)算刀位點(diǎn)(Oc1，V1)和(Oc2，V2)對(duì)應(yīng)的機(jī)床坐標(biāo)系下坐標(biāo)值(X1，Y1，Z1，A1，C1)、(X2，Y2，Z2，A2，C2)。

(2)按照式(1)在機(jī)床的相鄰兩個(gè)位置(X1，Y1，Z1，A1，C1)和(X2，Y2，Z2，A2，C2)建立插補(bǔ)軌跡方程(X(t)，Y(t)，Z(t)，A(t)，C(t))。

(3)采用逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型求解(X(t)，Y(t)，Z(t)，A(t)，C(t))對(duì)應(yīng)于工件坐標(biāo)系中的刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)值(Oc(t)，V(t))，即:

其中M(A(t))，C(t)=T'(－rm)R'(－Ai)R'(－Ci)T'(rm)

式(5)中Oc(t)就是實(shí)際刀尖點(diǎn)軌跡Q(t)，V(t)為Q(t)的刀軸矢量變化。

1.3 計(jì)算非線(xiàn)性誤差

記理想插補(bǔ)軌跡L(t)的方向矢量為α，實(shí)際插補(bǔ)軌跡Q(t)上任意一點(diǎn)到L(t)的距離為ε(t)，則:

假設(shè)當(dāng)t=ts時(shí)，ε 取得最大值 εmax，則 εmax為理想插補(bǔ)軌跡和實(shí)際插補(bǔ)軌跡之間的最大距離，該距離能夠可靠地估計(jì)非線(xiàn)性誤差。

2 非線(xiàn)性誤差的控制策略及評(píng)價(jià)

2.1 最大非線(xiàn)性誤差產(chǎn)生位置的預(yù)測(cè)

在五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工中，由于旋轉(zhuǎn)臺(tái)和刀具擺動(dòng)的影響使得計(jì)算非線(xiàn)性誤差時(shí)很難精確地估計(jì)刀具與工件的接觸位置。而刀位文件中只有刀心位置和刀軸矢量信息，缺乏實(shí)際切削點(diǎn)等相關(guān)信息的描述，因此難以估計(jì)最大非線(xiàn)性誤差的精確位置。文獻(xiàn)［6］雖然對(duì)最大非線(xiàn)性誤差產(chǎn)生位置進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但只是近似的推導(dǎo)。

本文擬采用工程驗(yàn)證的方法對(duì)最大非線(xiàn)性誤差產(chǎn)生的位置進(jìn)行預(yù)測(cè)，取某段連續(xù)的航空葉輪流道清根加工程序相鄰程序段，按照式(7)進(jìn)行Matlab仿真，圖3為仿真出的最大非線(xiàn)性誤差產(chǎn)生位置，圖4為任意取的相鄰程序段刀位點(diǎn)非線(xiàn)性誤差的分布，可見(jiàn)最大非線(xiàn)性誤差產(chǎn)生在大約在相鄰刀位點(diǎn)的中點(diǎn)附近，即t=0.5處，與文獻(xiàn)［6］結(jié)論相同。

2.2 非線(xiàn)性誤差的控制策略

目前控制非線(xiàn)性誤差的方法主要有切觸點(diǎn)偏置法、線(xiàn)性化法和自適應(yīng)線(xiàn)性化法3種，本文采用自適應(yīng)線(xiàn)性化法。

已經(jīng)證明最大非線(xiàn)性誤差產(chǎn)生在相鄰刀位點(diǎn)的重點(diǎn)附近，，故在當(dāng)最大非線(xiàn)性誤差大于許用值時(shí)就在兩刀位點(diǎn) (Oc1，V1)和(Oc2，V2)之間插入新的刀位點(diǎn)(Oci，Vi)，如圖 5 所示，其中:

之后計(jì)算新的刀位點(diǎn)(Oci，Vi)對(duì)應(yīng)于機(jī)床各軸的位置(Xi，Yi，Zi，Ai，Ci)，再檢驗(yàn)(Oc1，V1)和(Oci，Vi)之間及(Oci，Vi)和(Oc2，V2)之間的非線(xiàn)性誤差，然后判斷是否大于許用值，如果仍然大于許用值則按上述方法繼續(xù)插入刀位點(diǎn)，再進(jìn)行計(jì)算，直到小于許用值為止。

2.3 非線(xiàn)性誤差的控制策略的評(píng)價(jià)

把非線(xiàn)性誤差簡(jiǎn)化模型和誤差的控制策略應(yīng)用到五坐標(biāo)雙轉(zhuǎn)臺(tái)加工葉輪流道清根試驗(yàn)中，通過(guò)對(duì)比非線(xiàn)性誤差控制前后兩組實(shí)驗(yàn)誤差的分布值來(lái)評(píng)價(jià)控制策略的效果。

在沒(méi)有進(jìn)行誤差控制的刀位文件中采樣一段由50個(gè)連續(xù)程序段Ni(1≦i≦50))組成的加工曲線(xiàn)，每相鄰兩個(gè)程序段為一個(gè)采樣段，共形成49個(gè)采樣段。利用MATLAB在程序段內(nèi)進(jìn)行非線(xiàn)性誤差分析并生成最大非線(xiàn)性誤差分布圖，如圖6所示，其橫坐標(biāo)表示采樣段，縱坐標(biāo)表示最大非線(xiàn)性誤差。不難發(fā)現(xiàn)未經(jīng)非線(xiàn)誤差控制的εmax的平均值較大約為1.5 μm。

將許用誤差取為1.5 μm，采用本文提出的非線(xiàn)性誤差控制策略，當(dāng)檢測(cè)到某段程序最大非線(xiàn)性誤差大于許用誤差時(shí)就插入刀位點(diǎn)。從圖6可見(jiàn)第1－3、5－10、31－32、48－49采樣段內(nèi)最大非線(xiàn)性誤差大于許用誤差，故要在這13個(gè)采樣段內(nèi)插入新的刀位點(diǎn)。經(jīng)非線(xiàn)性誤差控制后的最大非線(xiàn)性誤差分布如圖7，可見(jiàn)最大非線(xiàn)性誤差小于1.5 μm，非線(xiàn)性誤差得到有效的控制，采樣段由原來(lái)的49個(gè)增加到63個(gè)，這也就是在誤差不符合條件的采樣段內(nèi)進(jìn)行刀位的合理密化。

3 非線(xiàn)性誤差的影響因素

為了更有效地控制非線(xiàn)性誤差，需要對(duì)五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工非線(xiàn)性誤差的影響因素進(jìn)行分析。

3.1 刀具半徑和轉(zhuǎn)角變化量

以五坐標(biāo)端銑加工為例分析刀具半徑和轉(zhuǎn)角變化量對(duì)非線(xiàn)性誤差的影響。如圖8所示，設(shè)D1、D2分別為刀具兩個(gè)刀觸點(diǎn)，O1和O2為相應(yīng)的刀具中心。因?yàn)槲遢S加工時(shí)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸是獨(dú)立的，故可將當(dāng)前刀位分解為平行于yoz平面和xoy平面的兩個(gè)分量，則A軸的轉(zhuǎn)動(dòng)反映在yoz平面，C軸的轉(zhuǎn)動(dòng)反映在xoy平面，因此可以分別求出在兩個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)刀軸轉(zhuǎn)動(dòng)所引起的非線(xiàn)性誤差，然后再將他們合成［4］。

則刀心點(diǎn)連線(xiàn)的直線(xiàn)方程為:

刀觸點(diǎn)連線(xiàn)的直線(xiàn)方程為:

則非線(xiàn)性誤差的分布函數(shù)為:

2.1節(jié)中已經(jīng)得出最大非線(xiàn)性誤差的產(chǎn)生位置在相鄰刀位點(diǎn)中點(diǎn)附近，即當(dāng)y=yO2+yO1/2，θ=θ1+θ2/2刀觸點(diǎn)軌跡與理論直線(xiàn)軌跡偏差值最大。最大非線(xiàn)性誤差為:

同理可求得C軸引起的非線(xiàn)性誤差εCmax。由于A(yíng)軸和C軸正交，并且εAmax和εCmax分別產(chǎn)生在兩個(gè)分量中點(diǎn)附近，結(jié)合上式，可近似地認(rèn)為:

由式(14)可見(jiàn)相同條件下，最大非線(xiàn)性誤差隨著刀具半徑和轉(zhuǎn)角變化量的增大而增大。

3.2 機(jī)床的結(jié)構(gòu)

在非線(xiàn)性誤差求解時(shí)用到了正向和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，該模型是基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換建立的，而坐標(biāo)變換又和機(jī)床的結(jié)構(gòu)尤其是轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心Om在加工坐標(biāo)系的位置rm(mx，my，mz)有很大關(guān)系。不同的數(shù)控機(jī)床rm(mx，my，mz)是不同的，為了研究rm和非線(xiàn)性誤差的關(guān)系，進(jìn)行以下幾步工作:

(1)任取刀位源文件中相鄰兩個(gè)刀位點(diǎn)為:

GOTO/－ 3.3108， － 66.9176，70.6195，0.2057720，－0.7120434，0.6713062

GOTO/－ 2.7118， － 66.0299，71.2919，0.1905765，－0.7346359，0.6511457

(2)取Om在加工坐標(biāo)系的位置rm(0，0，mz)，利用式(4)進(jìn)行坐標(biāo)變換得含有未知量mz的數(shù)控代碼:N0100 X －21.75882 Y9.80256+ .74118*mz

Z94.37428 － .32869*mzA47.83204 C16.11865 N0105 X －19.20532 Y12.93306+ .75895*mz

Z94.41254 － .34885*mzA49.37196 C14.54288

(3)按式(1)～(7)建立起誤差模型ε(mz);

(4)求最大非線(xiàn)性誤差，已經(jīng)證明在程序段中點(diǎn)處取得最大非線(xiàn)性誤差，故取t=0.5，由此得出僅含變量mz的最大非線(xiàn)性誤差模型εmax(mz)，其仿真圖像見(jiàn)圖9，其橫坐標(biāo)表示mz，縱坐標(biāo)表示最大非線(xiàn)性誤差?？梢?jiàn)，隨著機(jī)床轉(zhuǎn)臺(tái)參數(shù)mz的增大，同一程序段內(nèi)最大非線(xiàn)性誤差也相應(yīng)地增大。

以上是基于正向和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型推導(dǎo)出函數(shù)εmax(mz)的變化規(guī)律的。另外還可以針對(duì)相同的刀位源文件經(jīng)后置處理生成的五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工程序分別在轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心為rm(0，0，98)和rm(0，0，200)機(jī)床上加工時(shí)進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果見(jiàn)圖10。顯然相同情況下在rm(0，0，200)機(jī)床上加工產(chǎn)生的最大非線(xiàn)性誤差大于在rm(0，0，98)機(jī)床上產(chǎn)生的。

綜上所述，五軸數(shù)控機(jī)床的轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)及尺寸參數(shù)對(duì)非線(xiàn)性誤差影響很大，所以選擇合理的機(jī)床結(jié)構(gòu)及尺寸參數(shù)也是減小非線(xiàn)性誤差的一條途徑。

3.3 走刀步長(zhǎng)

本文提出的非線(xiàn)性誤差的控制策略的實(shí)質(zhì)是進(jìn)行合理的刀位密化，刀位密化本身就是減小走刀步長(zhǎng)，所以走刀步長(zhǎng)也是影響非線(xiàn)性誤差的因素之一。減小非線(xiàn)性誤差的一個(gè)有效途徑就是在保證加工效率的前提下，編程時(shí)合理地減小走刀步長(zhǎng)。

3.4 其他因素

加工曲面的局部幾何形狀及刀具的形狀也對(duì)非線(xiàn)性誤差有影響［7］，由于篇幅關(guān)系這里不再論述。

4 結(jié)語(yǔ)

五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工時(shí)，數(shù)控系統(tǒng)的線(xiàn)性插補(bǔ)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的非線(xiàn)性導(dǎo)致了多軸機(jī)床特有的非線(xiàn)性誤差的產(chǎn)生。本文基于正向和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立起了非線(xiàn)性誤差分布模型，并采用工程實(shí)驗(yàn)的方法分析了最大非線(xiàn)性誤差的產(chǎn)生位置，提出了自適應(yīng)性非線(xiàn)性誤差的控制策略，該策略既可以根據(jù)加工精度的要求將非線(xiàn)性誤差控制在合理的范圍之內(nèi)，又排除了不必要的程序細(xì)化，減小了程序的長(zhǎng)度，彌補(bǔ)了CAD/CAM軟件后置處理過(guò)程中缺少考慮非線(xiàn)性誤差的控制要求，最大限度地發(fā)揮了機(jī)床的加工能力。最后，本文分析了非線(xiàn)性誤差的影響因素，對(duì)實(shí)踐有一定的指導(dǎo)意義。多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工非線(xiàn)性誤差控制策略的的研究是完善數(shù)控編程理論的一個(gè)重要的內(nèi)容，還有很多問(wèn)題有待繼續(xù)研究。

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