關(guān)于線性阻尼振子第一積分的研究

丁光濤

1 引言

振動(dòng)是自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域中最常見的運(yùn)動(dòng)形式,是力學(xué)和物理學(xué)中一個(gè)基本的研究領(lǐng)域.經(jīng)過對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的理想化抽象,系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律常常以微分方程來描述,因此,求振動(dòng)微分方程的積分,就是振動(dòng)理論的重要課題.最簡(jiǎn)單的振動(dòng)系統(tǒng)是簡(jiǎn)諧振子,對(duì)多維簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng)的積分問題,特別是與時(shí)間無關(guān)的積分問題仍然受到重視[1-4].近來,我們引入基本積分概念,以及利用基本積分構(gòu)造其他積分的方法,比較好地解決了簡(jiǎn)諧振子的第一積分構(gòu)造問題,證明對(duì)n維簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng)總是存在2n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的第一積分[5].由于在周圍環(huán)境和工程實(shí)際中耗散因素普遍存在,故阻尼振子問題,特別是線性阻尼振子問題不僅在經(jīng)典力學(xué)中長(zhǎng)期受到關(guān)注,而且從20世紀(jì)30年代以來,也成為量子理論的重要研究課題[6-9].

本文研究線性阻尼振子系統(tǒng)的積分問題,利用引入線性阻尼振子的基本積分的概念,去構(gòu)造多種形式的線性阻尼振子第一積分.首先,我們導(dǎo)出一維線性阻尼振子系統(tǒng)的基本積分,并利用它們來構(gòu)造其他第一積分,特別是具有明顯物理意義的積分和不含時(shí)間的積分,并指出線性阻尼振子與簡(jiǎn)諧振子之間的一個(gè)重要的區(qū)別;其次,將這種概念和方法推廣到多維系統(tǒng),重點(diǎn)是構(gòu)造不同類型的二維線性阻尼振子系統(tǒng)的第一積分,提出利用不同自由度的基本積分構(gòu)造其他積分的方法;給出n維情況的一般結(jié)果,證明對(duì)n維線性阻尼振子系統(tǒng)也存在2n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的第一積分;最后,利用變量變換將一維線性阻尼振子的第一積分變換成簡(jiǎn)諧振子的形式,并討論了n維系統(tǒng)的一般情況,即將n維線性阻尼振子問題變換成n維簡(jiǎn)諧振子問題.

2 從線性阻尼振子的基本積分構(gòu)造第一積分

一維線性阻尼振子的運(yùn)動(dòng)微分方程為

方程的兩個(gè)第一積分為

式中

將初始條件代入,即可知道I1和I2分別與初位置和初速度直接相關(guān),它們是兩個(gè)獨(dú)立的積分,我們將這兩個(gè)積分稱為基本積分.由兩個(gè)基本積分可以直接得出方程(1)的解

而且利用它們能夠構(gòu)造其他的積分.例如,

積分I3和I4分別與能量和初位相相關(guān),而I5是不含時(shí)間的積分.應(yīng)當(dāng)指出,積分I5的存在是線性阻尼振子與簡(jiǎn)諧振子之間的一個(gè)重要區(qū)別,在簡(jiǎn)諧振子中不含時(shí)積分是能量積分,而線性阻尼振子能量積分(5)是含時(shí)的耗散的,但是,由于積分(5)和(6)中,都含時(shí)間,因此,利用它們也可以消去時(shí)間,得到了新的不含時(shí)積分(7),原則上這個(gè)積分給出了線性阻尼振子的相軌道.當(dāng)阻尼不存在,即β=0時(shí),該積分與能量積分等價(jià).

3 多維線性阻尼振子的第一積分

3.1 二維對(duì)稱線性阻尼振子

將上述一維情況推廣到二維情況.首先討論二維對(duì)稱線性阻尼振子,其運(yùn)動(dòng)方程為

方程的四個(gè)獨(dú)立的基本積分為

這四個(gè)獨(dú)立的積分的物理意義清楚,利用它們同樣能夠?qū)С龆S線性阻尼振子的解,也能利用它們構(gòu)造二維線性阻尼振子其他的積分.例如,與兩個(gè)分振動(dòng)對(duì)應(yīng)的四個(gè)積分

這些積分的物理意義也很明確,直接利用它們還可以得到其他積分,例如

對(duì)于二維對(duì)稱線性阻尼振子而言,這四個(gè)積分也是重要的積分.值得注意的是I10是與時(shí)間無關(guān)的積分.由于(9)和(10)式中四個(gè)第一積分的任意函數(shù)都是積分,故二維對(duì)稱線性阻尼振子的積分有任意多個(gè),其中大部分是含時(shí)的.但是,在討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí),人們往往更重視尋找與時(shí)間無關(guān)的積分,如(16)式中的積分,這樣的積分代表著相空間中一個(gè)不隨時(shí)間變化的曲面,系統(tǒng)相點(diǎn)在其上運(yùn)動(dòng).對(duì)二維系統(tǒng),如果能夠?qū)С?個(gè)獨(dú)立的與時(shí)間無關(guān)的第一積分,那么就確定了系統(tǒng)的相軌道.對(duì)于二維對(duì)稱線性阻尼振子系統(tǒng)與時(shí)間無關(guān)的積分可以如下方法來構(gòu)造,例如

等等.這些積分中I13,I14是與(7)式中積分同一個(gè)類型的,I15,I16也是這種類型的積分,但是涉及兩個(gè)自由度.這些與時(shí)間無關(guān)的積分中獨(dú)立的只有3個(gè),例如,可選擇I10,I13,I14作為一組獨(dú)立的積分.大多數(shù)積分之間是函數(shù)相關(guān)的,例如

上述結(jié)果表明,導(dǎo)出了全部基本積分就解決了構(gòu)造二維對(duì)稱線性阻尼振子系統(tǒng)第一積分問題,證明了這種系統(tǒng)存在三個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的第一積分.

3.2 二維非對(duì)稱線性阻尼振子

對(duì)于二維非對(duì)稱線性阻尼振子,運(yùn)動(dòng)方程為

對(duì)于每一個(gè)分振動(dòng),(9)和(10)式形式的基本積分,以及(11)—(14)式類型的積分都存在,即

式中

比較容易得到的涉及整個(gè)系統(tǒng)的積分為

等等,其中I1′0,I1′1是不含時(shí)間的積分,當(dāng)然,還可以構(gòu)造其他的涉及和不涉及整個(gè)系統(tǒng)的積分,包括含時(shí)間的和不含時(shí)間的積分,例如,對(duì)每一個(gè)分振動(dòng)都可以導(dǎo)出(7)式類型的與時(shí)間無關(guān)的積分.值得注意的是,導(dǎo)出這些積分與兩個(gè)分振動(dòng)的頻率之比是有理數(shù)還是無理數(shù)無關(guān).對(duì)二維非對(duì)稱的線性阻尼振子三個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)第一積分,可以選擇對(duì)應(yīng)著兩個(gè)自由度的(7)式類型的積分,再從(30)和(31)式中任意選擇一個(gè)積分.綜上所述,我們利用直接構(gòu)造方法證明了不同類型的二維線性阻尼振子總是存在三個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)第一積分.還應(yīng)當(dāng)指出,與一維情況相似,由于線性阻尼振子基本積分中存在兩個(gè)與時(shí)間相關(guān)的因子,故不論是一維情況,還是二維情況,線性阻尼振子比簡(jiǎn)諧振子多一種消去時(shí)間的方法,如積分I7,I13,I15I′11等.

3.3 n維線性阻尼振子

在上述一維二維線性阻尼振子從基本積分構(gòu)造其他積分的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步討論n維系統(tǒng)獨(dú)立的不含時(shí)積分的構(gòu)造問題.設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

系統(tǒng)的2n個(gè)基本積分是

式中

我們利用直接構(gòu)造法證明系統(tǒng)存在2n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的第一積分.首先,對(duì)每一個(gè)自由度都可以構(gòu)造如下的第一積分

顯然,(37)式中n個(gè)不含時(shí)第一積分是獨(dú)立的.其次,利用不同的自由度的基本積分構(gòu)造其余n-1個(gè)不含時(shí)第一積分.為了討論簡(jiǎn)明有序,我們選取第一個(gè)自由度為基準(zhǔn),假設(shè)存在m個(gè)自由度的振動(dòng)的參數(shù)βk和ωk(k=1,···,m)相同,其余的 n-m個(gè)自由度振動(dòng)參數(shù) βj和 ωj(j=m+1,···,n)與第一個(gè)自由度振動(dòng)參數(shù)β1和ω1不同(至少有一個(gè)參數(shù)不同).由前m個(gè)自由度可以構(gòu)造m-1個(gè)不含時(shí)積分

利用后面n-m個(gè)自由度可以構(gòu)造n-m個(gè)不含時(shí)積分

(38)和(39)式中n-1個(gè)積分也是獨(dú)立的,還應(yīng)當(dāng)指出,它們實(shí)際上可以統(tǒng)一地寫成(39)式的形式.(37)—(39)式中2n-1個(gè)積分構(gòu)成了n維線性阻尼振子系統(tǒng)一組獨(dú)立的不含時(shí)的第一積分.當(dāng)然,還可以利用其他函數(shù)形式的不含時(shí)積分構(gòu)成2n-1個(gè)獨(dú)立的積分,例如,根據(jù)情況可以將上述積分中的某些積分代以(17),(18)或(31)式類型的積分.

4 從線性阻尼振子到簡(jiǎn)諧振子的變換

經(jīng)典力學(xué)中簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng)是非常重要的系統(tǒng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律研究得十分深入;量子力學(xué)中情況也類似,簡(jiǎn)諧振子的量子化是一個(gè)完全解決的問題[1,2,4].然而,從數(shù)學(xué)表示上來看,簡(jiǎn)諧振子與線性阻尼振子之間不是絕然分開的,它們之間可以相互變換.利用變量變換方法能夠?qū)⒕€性阻尼振子的微分方程和第一積分變換成為簡(jiǎn)諧振子形式的,這個(gè)變換將利于對(duì)線性阻尼振子問題的研究,根據(jù)前面得到的結(jié)果,我們需要對(duì)基本積分完成這樣的變換.

首先研究一維情況,引入與時(shí)間相關(guān)的變換

方程(1)可以寫成如下等效的簡(jiǎn)諧振子的形式

(2)式中兩個(gè)積分變換成

這正是簡(jiǎn)諧振子的第一積分.顯然,通過變換(40)式的逆變換,(42)式中兩個(gè)積分仍變換為(2)式中的兩個(gè)積分.

上述變換可以直接推廣到多維情況,對(duì)n維線性阻尼振子(32)式,引入變換

則方程(32)和對(duì)應(yīng)的2n個(gè)基本積分都變換成簡(jiǎn)諧振子形式的,即

利用變換(43)式的逆變換從(45)式中2n個(gè)簡(jiǎn)諧振子形式的積分就得到(33)式中2n個(gè)線性阻尼振子的基本積分;由簡(jiǎn)諧振子基本積分構(gòu)成的其他積分也逆變換成為線性阻尼振子的對(duì)應(yīng)積分.然而,必須指出的是,線性阻尼振子的基本積分(33)式可以通過變換(43)式得到簡(jiǎn)諧振子基本積分(45)式,由基本積分構(gòu)成的積分(35)和(36)式也可以直接變換成簡(jiǎn)諧振子的對(duì)應(yīng)積分.但是,(37)式類型的線性阻尼振子積分直接利用變換(43)式得到的結(jié)果,必須經(jīng)過進(jìn)一步變換才能成為簡(jiǎn)諧振子形式的積分.將(43)式代入(37)式得到

上式不能稱為簡(jiǎn)諧振子形式的積分.但是,利用積分(36)式,可以導(dǎo)出

這種積分與簡(jiǎn)諧振子的能量積分等價(jià).這種情況的出現(xiàn),與我們前面指出的由于線性阻尼振子基本積分中存在兩種與時(shí)間相關(guān)的因子,故線性阻尼振子情況比簡(jiǎn)諧振子情況多一種消去時(shí)間的方法相關(guān);這就是說,由于阻尼因素的存在,從物理本質(zhì)上線性阻尼振子與簡(jiǎn)諧振子之間存在著區(qū)別.

5 結(jié)論

1)本文以新的思路對(duì)線性阻尼振子系統(tǒng)第一積分進(jìn)行深入的研究,即導(dǎo)出直接與初始條件相關(guān)的基本積分后,再利用它們構(gòu)造線性阻尼振子的其他第一積分,包括不顯含時(shí)間的第一積分.這種處理方法可以應(yīng)用于一維系統(tǒng)和多維系統(tǒng),包括對(duì)稱和非對(duì)稱系統(tǒng).

2)通過直接構(gòu)造法證明,二維線性阻尼振子系統(tǒng),無論是對(duì)稱的還是非對(duì)稱的,都存在并可以實(shí)際構(gòu)造出三個(gè)不顯含時(shí)間的第一積分;n維線性阻尼振子系統(tǒng)存在2n-1個(gè)獨(dú)立的不顯含時(shí)間的第一積分.

3)通過變量變換,將線性阻尼振子方程和第一積分變換成簡(jiǎn)諧振子形式的,這樣就使得處理線性阻尼振子的問題,包括經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)問題,得到簡(jiǎn)化.研究表明,對(duì)簡(jiǎn)諧振子的第一積分能夠利用變量變換直接變成對(duì)應(yīng)的線性阻尼振子的結(jié)果,但是,有些線性阻尼振子的第一積分利用變量變換導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧振子的結(jié)果時(shí),需要利用其他第一積分.

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