任意階自催化反應(yīng)擴散系統(tǒng)的正平衡態(tài)

魯元海

(中山市東區(qū)中學,廣東 中山 528403)

0 引言

本文考慮如下化學系統(tǒng)其中Ω?RN(N≥1)是一個具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.u和v分別表示反應(yīng)物和催化劑的濃度.v為Ω的單位外法向量,Δ為Laplace算子.齊次Neumann邊界條件表示這個系統(tǒng)是封閉的.d1,d2是擴散系數(shù).m為催化劑的階數(shù).a,b,m,d1,d2均為正常數(shù).初值u0(x),v0(x)是不恒為零且在上光滑的函數(shù).

若m取正整數(shù),當m>1時模型(0.1)為高次自催化反應(yīng)模型[1].特別地,當m=2時,模型(0.1)成為低濃度三分子模型[2-3].但在實際化學反應(yīng)模型中m的階數(shù)是由實驗確定的,因此m不一定是正整數(shù)[4].這里考慮一般情形即m>0為任意正數(shù).

系統(tǒng)(0.1)對應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)為

1 穩(wěn)定性分析

設(shè)0=μ0<μ1<μ2<…為算子-Δ在Ω上帶有齊次Neumann邊界條件的特征值,其中Δ為拉普拉斯算子.令Xj是對應(yīng)于μj的特征空間

v=0在?Ω上},{φjll=1,…,m(μj)}是Xj的一個正交基底,其中m(μj)表示特征值μj的重數(shù),且

由拋物型方程標準理論可知(0.1)存在唯一非負全局解(u,v).本節(jié)研究系統(tǒng)(0.1)的常數(shù)正解(u*,v*)的穩(wěn)定性.

定理1.1 若條件mam<(am+b)(am+b+1)和

成立,則系統(tǒng)(0.1)的常數(shù)正解(u*,v*)是一致漸近穩(wěn)定的.

證明 將(0.1)在(u*,v*)處線性化為

這里gi(y1,y2)=O(y12+y22),i=1,2.對每個j(j=0,1,2,…),Xj是算子L的不變子空間.ξj是L在Xj上的一個特征值當且僅當ξj是矩陣Aj的一個特征值,其中

也就是,ξj滿足如下方程

簡單的計算可得

這里detAj和TrAj分別是Aj的行列式和跡.注意到μ0=0,容易得到在定理條件下detAj>0和TrAj<0成立.類似于文獻[5]的分析,存在一個不依賴于j的正數(shù)σ使得算子L的特征值分布于{Reξ<-σ}.所以(u*,v*)是一致漸近穩(wěn)定的,定理得證.

當0

推論1.1 若0

注 由推論1.1,當0

2 先驗估計

本節(jié)主要研究系統(tǒng)(0.2)的任一正解的上下界.先給出如下引理.引理2.1(最大值原理[6)]設(shè)g∈C(XR).

(i)假定w∈C(2Ω)∩C(1)滿足

Δw(x)+g(x,w(x))≥0,x∈Ω;?vw≤0,x∈?Ω.若w(x0)=maxΩw,則g(x0,w(x0))≥0.(ii)假定w∈C(2Ω)∩C(1)滿足

Δw(x)+g(x,w(x))≤0,x∈Ω;?vw≥0,x∈?Ω.若w(x0)=minΩw,則g(x0,w(x0))≤0.定理2.1 系統(tǒng)(0.2)的任意正解(u,v)滿足

證明 假定(u,v)是(0.2)的一個正解.令u(x1)=ma xu,v(x)2=ma xv,u(y)1=mi nu,

Ω

Ω

Ω

v(y2)=mi nv.將引理2.1應(yīng)用到(0.2)的第一個方程,得a-u(x)1v(mx)1-bu(x)1≥0,即

Ω

令φ=d1u+d2v.將(0.2)的兩個方程相加,得

設(shè)x3∈是φ的最大值點.由引理2.1,有a-v(x3)≥0,即v(x3)≤a.又由(2.1),可得

因此

另一方面,由(0.2)的第一個方程和引理2.1,有a-u(y1)vm(y1)-bu(y1)≤0,也就是a≤u(y1)(b+vm(y1)),與式(2.2)聯(lián)立得

下面再由(0.2)的第二個方程和引理2.1,得u(y2)vm(y2)+bu(y2)-v(y2)≤0.由式(2.3)有

由式(2.1)-(2.4),可知定理結(jié)論成立.

由定理2.1容易得到如下推論.

推論2.1 固定a,b,m,D1,D2>0,則存在依賴于a,b,m,D1,D2的兩個正常數(shù)C1,C2,使得當0

3 非常數(shù)正解的不存在性

本節(jié)利用隱函數(shù)定理證明當d2很大時系統(tǒng)(0.2)不存在非常數(shù)正解(參看文獻[7]).首先證明如下結(jié)論.

引理3.1 固定a,b,m和d1.設(shè)(ui,v)i是系統(tǒng)(0.2)對應(yīng)于d2=d2,i的正解,其中當i→∞時,d2,i→∞. 則當i→∞時,(ui,v)i→ (u*,v*)于[C(2)]2中.

證明 由定理2.1、標準的橢圓型方程正則性理論及嵌入定理,存在(ui,v)i的一個子列,仍記為它本身,使得當i→∞時,(ui,v)i→(u,v)于[C2()]2中.因d2,i→∞,故有v≡δ,這里δ是正常數(shù).(u,δ)滿足

定理3.1 固定a,b,m,d1>0,存在依賴于a,b,m,d1和Ω的D>0,當d2>D時系統(tǒng)(0.2)不存在非常數(shù)正解.

設(shè)Φ是F在(0,u*,0,v*)處關(guān)于(u,v~,ξ)的Frechet導(dǎo)數(shù).容易得到

為了能利用隱函數(shù)定理,須驗證Φ既是單射又是滿射.事實上,假定下面將證明,u∧=ξ∧=0,便可知Φ可逆.因為v∧≡0,所以Φ變?yōu)?/p>

v*)是方程在[0,ρ0]XBr0(u*,0,v*)中的唯一解.這里Br0(u*,0,v*)表示在W2v,(2Ω)XW2v,,2(0Ω)XR+中以(u*,0,v*)為中心,以r0為半徑的開球.若有必要可取更小的ρ0,r0,由引理3.1便可得定理3.1的結(jié)論.

4 非常數(shù)正解的存在性

本節(jié)研究(0.2)非常數(shù)正解的存在性.為此,首先給出如下預(yù)備知識.記

及

則有DuG(u*)=A,且(0.2)可寫為

u是(4.1)的一個正解當且僅當F(u):=u-(I-Δ)-1(G(u)+u)=0,這里(I-Δ)-1是I-Δ具其次Neumann邊界條件的逆.直接的計算表明

為了利用度理論得到非常數(shù)正解的存在性,我們首先計算F(u)在u*處的指數(shù).由Leray-Schauder定理[8],可知若0不是(4.2)的特征值,則index(F,u*)=(-1)r,這里r是(4.2)的負特征值的個數(shù).

直接的計算表明,對每個整數(shù)j≥0,Xj在DuF(u*)的作用下是不變空間,ξj是DuF(u*)在Xj上的一個特征值當且僅當它是矩陣(1+μj)-1(μjI-A)的一個特征值.因此DuF(u*)是可逆的當且僅當對任意j≥0,矩陣(1+μj)-1(μjI-A)是非奇異的.記

并且若H(a,b,m,d1,d2,μj)≠0,DuF(u*)在Xj上的負特征值的個數(shù)是奇數(shù)當且僅當H(a,b,m,d1,d2,μj)<0.采用類似于文獻[9]的論述,可證明下面性質(zhì)成立.

命題4.1 假設(shè)對所有整數(shù)j≥0矩陣MjI-A非奇異.m(μj)是特征值μj的代數(shù)重數(shù).則

為了計算index(F(.),u*),應(yīng)考慮H(a,b,m,d1,d2,μ)的符號.顯然有

若

及

成立,則H(a,b,m,d1,d2,μ)=0恰有兩個正解μ1*<μ2*,其中μ1*,μ2*表示如下:

且H(a,b,m,d1,d2,μ)<0當且僅當μ∈(μ1*,μ2*),由式(4.4)及(4.5)可得

即

注 若m>1及(1-m)am+b<0成立.則當d2很小或者d1很大時(4.6)成立.利用文獻[5]中的方法,可得本節(jié)的主要結(jié)論如下:

定理4.1 設(shè)m>1,式(4.6)成立,且存在0≤i

證明 由定理3.1及(4.3),固定充分大的D,使得系統(tǒng)(0.2)當d2=D時沒有非常數(shù)正解且對任意μ≥0都有H(a,b,m,d1,D,μ)>0成立.由推論2.1知,存在依賴于

∧∧a,b,m,d1,d2的M>0,使得對任意d>d2,系統(tǒng)(0.2)具有擴散系數(shù)d1及d時,其任意正解(u,v)在上滿足M-1

求解系統(tǒng)(0.2)等價于尋找Φ(1,.)在Θ上的一個不動點.而且從Θ的定義以及推論2.1可知對所有0≤t≤1,Φ(1,.)的在?Θ上沒有不動點.因Φ(t,.):[0,1]X Θ→[C(1)]2是緊的,度deg(I-Φ(t,.),Θ,0)有定義.所以由拓撲度的同倫不變性可得

由D的選擇可知,H(a,b,m,d1,D,μ)>0,且u*是Φ(0,.)的唯一不動點.由命題4.1得

相反地,假設(shè)(0.2)沒有非常數(shù)正解,再由命題4.1可知

由(4.8)-(4.10)得出矛盾.因此(0.2)至少存在一個非常數(shù)正解,定理得證.

5 結(jié)論

文章研究了一個自催化化學反應(yīng)擴散系統(tǒng)的平衡態(tài)問題,其中催化劑的階數(shù)是任意正實數(shù).下面總結(jié)出擴散系數(shù)及催化劑階數(shù)對模式生成的影響,并希望能展示出化學系統(tǒng)中模式生成的一些有趣現(xiàn)象.首先,由推論1.1,催化劑階數(shù)在模式生成中起著重要的作用.確切地講,當01時,由定理4.1,只要式(4.6)成立,則有可能出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)模式.其次,由定理3.1,當催化劑的擴散系數(shù)d2很大時(其他參數(shù)固定)不可能有空間模式生成;而由定理4.1,當催化劑的擴散系數(shù)d2較小或反應(yīng)物的擴散系數(shù)d1較大時使(4.6)成立,就有可能出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)模式.由此表明,在一個化學系統(tǒng)中,不同的催化劑階數(shù)及不同的擴散率在模式生成中起著不同的作用.

[1]張麗,劉三陽.一類高次自催化耦合反應(yīng)擴散系統(tǒng)的分歧和斑圖[J].應(yīng)用數(shù)學和力學,2007,28(9):1102-1113.

[2]張棣,陳洽融.低濃度三分子反應(yīng)模型[J].科學通報,1982(21):1281-1284.

[3]陳蘭蓀,王東達.一個生物化學反應(yīng)的振動現(xiàn)象[J].數(shù)學物理學報,1985,5(3):261-266.

[4]Kay A L,Needham D J,Leach J A.Travelling waves for a coupled,singular reaction-diffusion system arising from amodeloffractionalorderautocatalysiswith decay:I. Permanentform travelling waves[J].Nonlinearity,2003,16(2):735-770.

[5]Wang M X.Non-constant positive steady-states of the Sel'kov model[J].Journal of Differential Equations,2003,190(2):600-620.

[6]Lou Y,Ni W M.Diffusion vs.cross-diffusion:an elliptic approach[J].Journal of Differential Equations,1999,154:157-190.

[7]Peng R,Wang M X.Positive steady-state solutions of the Noyes-Field model for Belousov-Zhabotinskii reaction[J].Nonlinear Analysis,2004,56(3):451-464.

[8]Nirenberg L.Topics in Nonlinear Functional Analysis[M].American Mathematical Society,Providence,RI:2001.

[9]Pang P Y H,Wang M X.Qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system with diffusion[J].Proceedings of the Royal Society of Edinburgh:Section A Mathematics.2003,133(4):919-942.