基于積分本構(gòu)方程的鹽膏巖蠕變參數(shù)反演

竇金濤 ，陳科貴 ，劉文強 ，馬肅濱 ，鐘劍

（1.中國石油集團測井有限公司，陜西 西安 710077；2.西南石油大學，四川 成都 610500）

0 引言

在四川盆地和塔里木盆地中，存在富含石膏、鹽巖及鹽膏層的流變地層，這類地層在深部高溫和高壓條件下具有蠕變性。尤其在塔里木盆地塔北山前構(gòu)造中，流變地層的蠕變性更為明顯［1-2］。在鉆井過程中，鉆遇鹽膏層時，地層蠕變會引起井徑的持續(xù)減小，造成起下鉆遇阻，且隨時間延長最終導(dǎo)致井壁失穩(wěn)或擠毀套管等井下事故［3-4］。為此，一般根據(jù)當?shù)佧}膏層的蠕變規(guī)律，確定起下鉆時間，以防止井徑的進一步縮小。

蠕變規(guī)律一般是利用鹽膏層巖心，通過室內(nèi)三軸蠕變實驗獲取蠕變參數(shù)后加以確定的。然而，室內(nèi)實驗過程中存在很多困難：首先，難以在室內(nèi)模擬井下的溫度和應(yīng)力狀態(tài)，使得巖心實驗與現(xiàn)場實際存在較大差別；其次，在埋藏深度大、地質(zhì)條件復(fù)雜的情況下，巖心實驗成本高。為此，目前在很多研究中，將巖土工程反演理論應(yīng)用到鉆井工程，利用測井信息反演出鹽膏層的蠕變參數(shù)，再根據(jù)蠕變關(guān)系式確定蠕變規(guī)律［5-9］。本文將積分算子引入黏彈性求解問題中，避開了Laplace變換法求解過程中存在的復(fù)雜問題，同時考慮了井下鹽膏巖所受應(yīng)力隨時間的變化。

1 蠕變模型的辨識

1.1 常用模型

巖石的蠕變模型是以盡可能反映巖石在一定應(yīng)力、溫度下的蠕變現(xiàn)象為前提，利用黏、彈性原件通過一定的串并聯(lián)關(guān)系形成的組合介質(zhì)模型。其中，Maxwell模型、Kelvin 模型和 H-K 模型最常見［5］。 根據(jù)黏彈性流變模型的一維本構(gòu)方程，可寫出算子形式的通用表達式［5］：

式中：σ 為有效應(yīng)力，MPa；P（d），Q（d）為算子函數(shù)；ε 為應(yīng)變量，mm；m為階數(shù)；p，q為含有黏彈性參數(shù)的函數(shù)；d為對時間t的微分算子。

對式（1）進行Laplace變換，并求解微分方程，可得蠕變方程的通式：

式中：J（t）為蠕變?nèi)崃?，mm/MPa，可通過蠕變實驗求得；σ0為初始應(yīng)力，MPa。

1.2 模型辨識

模型辨識即最適合該地區(qū)蠕變模型的選取，這是位移反分析法中首先需要解決的問題［10-11］。目前，已有多種模型辨識方法，可根據(jù)實際需要進行選擇。本文采用的模型辨識方法以相關(guān)系數(shù)為準則函數(shù)，并以其大小進行最佳模型的判斷和選取。具體做法是：

1）將不同時刻的實測井徑值記作向量rm，樣本空間為｛e｝；在得到蠕變參數(shù)后，將正演計算得到的井徑值記作向量rc，樣本空間亦為｛e｝。由此得到一個關(guān)于實測和計算井徑值的二維離散型隨機向量（rm，rc）。

2）用相關(guān)系數(shù)ρmc表示rm與rc之間關(guān)系的緊密程度，其定義式為

2 積分型本構(gòu)方程

在求解黏彈性方程時，Laplace逆變換可能會使求解變得非常復(fù)雜，而采用積分算子解法可以有效解決這一問題［1，12］。

從力學分析看，鉆開地層后，井下原有的應(yīng)力平衡被打破。在地應(yīng)力及鉆井液液柱的綜合作用下，鹽膏巖的蠕變特性使其不斷向井眼方向流動，直到出現(xiàn)新的平衡。在鹽膏層蠕變的過程中，巖層所受的應(yīng)力是不斷變化的，是時間的函數(shù)。根據(jù) Boltzmann疊加原理［1］，可得到應(yīng)力-應(yīng)變-時間關(guān)系式：

式中：τ為應(yīng)力增加Δσ后對應(yīng)的時間，h。

式（4）右邊第2項為遺傳積分，反映任意時刻t時的應(yīng)變，依賴于整個應(yīng)力史σ（t）。這表明彈性材料的應(yīng)變不僅與當時的應(yīng)力有關(guān)，而且與以往的應(yīng)力史有關(guān)。利用積分方法，可將式（4）進一步整理為

對常用蠕變模型進行積分變換，得到積分型本構(gòu)方程（見表1）。這些本構(gòu)方程均可化作以下統(tǒng)一形式：

式中：G為彈性模量，MPa；K（t，τ）為材料本身的性質(zhì)參數(shù)。

式（6）可寫成 Volterra 算子形式［7］：

式中：K*為 Volterra 算子；K（t，τ）為算子K*的核。

表1 常用蠕變模型的積分型本構(gòu)方程

3 蠕變參數(shù)反演方法

3.1 井徑位移的黏彈性解

井眼受力的平面力學模型如圖1所示。由彈性力學知識［13］可知，在鉆井液液柱壓力和地應(yīng)力的共同作用下，井壁上任一點i處的徑向位移為

式中：Ri為徑向位移，mm；ν為泊松比；r為井徑，mm；p 為鉆井液液柱壓力，MPa；σH，σh分別為最大、最小地應(yīng)力，MPa；θi為井周角，°。

圖1 井眼受力的平面力學模型

將鹽膏層地層看作各向同性線黏彈材料，則式（8）中的2個獨立材料常數(shù)分別為G，ν。參照積分算子解法［14］，將式（8）中的 G 轉(zhuǎn)換為，ν取。在線黏彈問題計算中，常采用=ν進行簡化處理，由此可得井壁上任一點i處徑向位移的黏彈性解為

在已知初始地應(yīng)力及井內(nèi)鉆井液液柱壓力的條件下，蠕變參數(shù)的確定是認識井徑變化規(guī)律的關(guān)鍵。對某一給定地層，初始地應(yīng)力及蠕變參數(shù)均為定量，可以人為控制的只有井內(nèi)鉆井液液柱壓力，因此鉆井液密度是影響鹽膏層鉆井的關(guān)鍵因素［15-18］。

3.2 位移反分析法

位移反分析法是利用測井得到的井徑資料，反演地層蠕變參數(shù)［18-19］。待求的蠕變參數(shù)（彈性模量G、黏性系數(shù)η）可表示為

式中：u為彈性參數(shù)個數(shù)；v為黏性參數(shù)個數(shù)；N為待求參數(shù)的總個數(shù)。

通過井徑測井，可得測量點處的位移為

井壁上任一點處的位移R是X的函數(shù)，亦即R=f（x1，x2，…，xN）。 在已知測量點位移 R0的情況下，將其代入R與X的函數(shù)式中，通過反演計算即可得到蠕變參數(shù)X。利用所得的蠕變參數(shù)進行正演計算，即可得到測量點處的位移計算值R，即：

式中：R1，R2，…，Rl為各測量時刻的位移計算值，mm。

根據(jù)得到的位移計算值和實測值，結(jié)合蠕變模型辨識方法［20］，即可得到適合該地區(qū)的蠕變模型和參數(shù)。

4 應(yīng)用實例

已知英買力區(qū)塊YM2-6井初始井徑為242 mm，井深為3 800 m，上覆巖層密度為2.35 g/cm3，井內(nèi)鉆井液密度為1.25 g/cm3，鹽膏層的泊松比為0.3，最大、最小構(gòu)造應(yīng)力系數(shù)分別為0.660，0.005，最大、最小地應(yīng)力分別為86，65 MPa。近似認為該地區(qū)的蠕變應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，利用測井曲線，得到井壁同一點在不同時刻的井徑值（見表2）?？梢钥闯?，該鹽膏層井段在地層鉆開初期的蠕變速率較大，隨著時間的推移，蠕變速率逐漸減小。

表2 不同時刻的井徑測井數(shù)據(jù)

根據(jù)經(jīng)驗，結(jié)合模型辨識理論，可辨識出該區(qū)域鹽膏層蠕變符合H-K模型。利用H-K模型的積分型本構(gòu)方程，得到3 800 m處鹽膏層的蠕變參數(shù)為：Gh=718.62 MPa，Gk=189.83 MPa，ηk=5.987×108MPa·s。

將蠕變參數(shù)代入式（9），即可得到英買力地區(qū)鹽膏層任意深度處井徑隨時間的變化關(guān)系式。由此繪制不同鉆井液密度條件下，該井3 800 m處膏鹽層井徑隨時間的變化曲線（見圖2）。由圖可以看出，隨著鹽膏層井眼內(nèi)鉆井液密度的增大，井徑蠕變量逐漸減小，到達穩(wěn)定的時間也逐漸縮短。然而，密度過大的鉆井液可能會導(dǎo)致鉆速下降、卡鉆和地層破裂等情況，因此，應(yīng)結(jié)合安全密度窗口和現(xiàn)場的實鉆情況，適度提高鉆井液密度，控制井眼蠕變縮徑。

圖2 鉆井液密度ρ對井徑的影響

以YM2-6井的鄰井YM2-2井為例，驗證計算結(jié)果的合理性。YM2-2井在3797m處的鉆頭外徑為241.30 mm，鉆穿該層5.2 h后測得的井徑值為240.79 mm，該井段處的鉆井液密度為1.20 g/cm3，假設(shè)其他參數(shù)與YM2-6井相同，則由反演法計算得出的井徑值為234.89 mm，相對誤差為2.5%，該誤差能夠滿足現(xiàn)場實際應(yīng)用的要求。由此可見，利用反演法可以較好地預(yù)測井下鹽膏層的蠕變規(guī)律。

5 結(jié)論

1）將積分型本構(gòu)方程應(yīng)用到反演法中求解黏彈性問題是可行的，該方法可較準確地預(yù)測井下蠕變地層在地應(yīng)力和鉆井液液柱壓力共同作用下的蠕變規(guī)律。

2）實際應(yīng)用表明，采用巖土力學反演法，可以預(yù)測某一鉆井液密度下，鹽膏層層段處井徑隨時間的變化曲線，對合理選取鉆井液密度、預(yù)防卡鉆及制定鉆井計劃具有一定的指導(dǎo)意義。

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