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    基于Adams積分的GLONASS衛(wèi)星位置解算

    2013-09-19 10:18:14饒才杰白志強
    無線電工程 2013年1期
    關鍵詞:龍格庫塔運算量

    呂 達,饒才杰,劉 巖,白志強

    (中國航天科工信息技術研究院,北京100070)

    0 引言

    組合GPS/GLONASS增加了觀測衛(wèi)星的個數(shù),提高了衛(wèi)星的可用性,改善了衛(wèi)星定位的幾何結構,通過融合可以提高定位精度和可用性,解決GPS網(wǎng)絡RTK定位中困難地區(qū)的定位問題,具有重要應用價值[1,2]。因此,研究 GLONASS 系統(tǒng)定位尤其是組合定位有重要實用價值。如何根據(jù)GLONASS廣播星歷進行衛(wèi)星位置計算是組合定位的重要一環(huán)。GLONASS廣播導航電文沒有給出開普勒軌道參數(shù),對于一個給定的時刻,不能通過最新的導航電文參考時刻的開普勒軌道參數(shù)直接計算衛(wèi)星位置。GLONASS導航電文給出的是PZ-90坐標系下參考時刻衛(wèi)星的運動狀態(tài)向量,包括參考時刻衛(wèi)星的位置、速度和日月攝動加速度等,每30 min更新一次,這決定了對于某一時刻的衛(wèi)星位置,需要以上述的衛(wèi)星運動狀態(tài)向量為初值,采用受力模型通過積分得到[3]。

    大量的國外文獻對GPS衛(wèi)星位置的計算方法進行了闡述,但對GLONASS衛(wèi)星位置計算方法的研究較少。目前GLONASS衛(wèi)星軌道數(shù)值積分方法主要有龍格—庫塔法(Runge-Kutta),其中以四階龍格—庫塔法最為常用(簡稱R-K法)。文獻[4]等推導了GLONASS衛(wèi)星在地固坐標系中的運動方程,并簡要介紹了利用龍格—庫塔法進行軌道積分的數(shù)值結果;文獻[5]對龍格—庫塔法進行了分析;文獻[6]利用龍格—庫塔法實現(xiàn)了GLONASS衛(wèi)星軌道求解;文獻[7]完成了定步長龍格—庫塔法的計算程序。但是,龍格—庫塔法在計算某一時刻衛(wèi)星位置和速度時只用到前一步的信息,為了保證定位精度,需要多次重新計算多個點處的函數(shù)值[8],計算量較大。這里采用基于Adams預測校正公式的GLONASS衛(wèi)星軌道積分法來實現(xiàn)GLONASS衛(wèi)星位置解算,該方法通過較多地利用前面幾步的已知信息,在保證較高精度的前提下,運算量降低為龍格—庫塔法的50%,同時穩(wěn)定性更好。實驗結果表明,新方法是一種求解GLONASS衛(wèi)星位置的有效方法。

    1 衛(wèi)星的運動方程

    GLONASS衛(wèi)星在 PZ-90坐標系下的運動方程為[3]:

    式中,x,y,z分別表示衛(wèi)星在PZ-90坐標系下的坐標;vx,vy,vz分別表示3個方向的衛(wèi)星速度;地球引力常量μ=398 600.44 km3/s2;衛(wèi)星到地球質心的距離r=;地球的長半軸ae=6 378.136 km;地球重力位第二帶諧系數(shù)=0.001 082 63;地球自轉速度 ω =0.000 072 921 15 rad/s;為日月攝動加速度。t時刻式(1)的函數(shù)形式可以表示為:

    2 Adams衛(wèi)星位置計算方法

    GLONASS衛(wèi)星運動方程在 x,y,z三方向的分式均可以抽象成如下微分方程:

    其等價的積分方程為:

    采用插值多項式代P(t)替上式右端的被積函數(shù),從而使其離散化以得到數(shù)值公式:

    則 Adams顯式公式為[8]:

    Adams隱式公式為[8]:

    本文研究應用 Adams線性多步法來進行GLONASS衛(wèi)星位置解算,通過較多地利用前面幾步的已知信息,來構造計算量小、精度高的GLONASS衛(wèi)星位置解算的新算法。Adams性多步公式包括隱式方法和顯式方法,同階的隱式公式比顯式公式精確,而且穩(wěn)定性也好。這里將四步四階顯示公式作為預測公式,將三步四階隱式公式作為校正公式聯(lián)合使用,如式(8)所示:

    截斷誤差分別為:

    用局部截斷誤差進一步修正預測值和校正值,可以得到更精確的預測—校正公式:

    將GLONASS衛(wèi)星的加速度值代入式(8)進行積分,就得到了GLONASS衛(wèi)星的速度,對速度值進一步積分,就可以得到GLONASS衛(wèi)星的位置坐標。采用修正后的預測校正公式(10)可以進一步減小截斷誤差。

    3 Adams積分法與龍格—庫塔法比較

    Adams算法的計算量大約是R-K方法的50%。采用四階龍格—庫塔法進行一步積分運算公式如下:

    使用龍格—庫塔法由yn計算yn+1時,只用到前一步的信息yn,為了提高運算精度,需要重新計算4次函數(shù)值f(x)。采用Adams由yn計算yn+1時,用到前4 步的信息 yn-3、yn-2、yn-1和 yn,只需分別計算1次函數(shù)值f(x)、f(x+1),運算量相當于計算2次函數(shù)值f(x)。由于計算函數(shù)值f(x)(即加速度)是GLONASS軌道積分過程中運算量較大的部分,所以Adams算法運算量大約是龍格—庫塔法的50%。

    使用Adams預測校正公式可以達到龍格—庫塔法相同的精度,使用修正Adams預測校正公式的精度可以比R-K方法高一階,使預測校正公式的截斷誤差達到o(h6)。

    4 實驗結果及分析

    選取2009年8月29日23:45至2009年8月31日16:45每間隔半小時共82個時刻,GLONASS 2號衛(wèi)星的廣播星歷作為實驗數(shù)據(jù)。

    分別使用Adams方法與R-K方法,以2009年8月29日23:45至2009年8月31日15:45每半小時間隔的參考時間向前軌道積分30 min,得到2009年8月30日00:15至2009年8月31日16:15半小時間隔的共81個時刻的,GLONASS 2號衛(wèi)星位置的X、Y、Z坐標,再將計算結果與廣播星歷里給出的衛(wèi)星坐標進行比較,得到二者差值的統(tǒng)計結果如表1所示。

    分別使用Adams方法與R-K方法,以2009年8月29日23:45至2009年8月31日15:15每半小時間隔的參考時間向前軌道積分60 min,得到2009年8月30日00:45至2009年8月31日16:15半小時間隔的共80個時刻的GLONASS 2號衛(wèi)星位置的X、Y、Z坐標,再將計算結果與廣播星歷里給出的衛(wèi)星坐標進行比較,得到二者差值的統(tǒng)計結果如表2所示。

    表1 30 min軌道積分結果 (單位:m)

    表2 60 min軌道積分結果 (單位:m)

    對試驗數(shù)據(jù)分析如下:

    ①向前積分30 min,選取不同步長對2種算法的誤差影響不大,2種算法誤差都比較小,但Adams算法比R-K算法誤差的均值要小。向前積分60 min,Adams算法優(yōu)勢更加明顯,如以200為步長積分時,R-K算法距離誤差均值為 8.971 7,而Adams法為 8.689 3。

    ②隨著積分時間延長,2種算法的誤差隨之增大,但Adams算法的均值誤差小于R-K算法,且隨著積分時間越長越明顯,說明Adams算法穩(wěn)定性[8]優(yōu)于R-K算法。

    ③采用R-K方法進行一步積分,需要計算4次三維方向的加速度;采用Adams進行一次運算,只需要計算2次;由于軌道積分運算的代價主要取決于計算加速度的次數(shù),所以Adams算法的運算量約為R-K算法的50%。

    5 結束語

    采用了Adams預測校正公式進行GLONASS衛(wèi)星位置解算,并采用GLONASS的廣播星歷對新算法和R-K算法的積分結果和運算效率進行分析,證明了所提方法是一種有效的GLONASS衛(wèi)星位置解算方法。與四階R-K算法相比,新算法精度高、穩(wěn)定性好,而且運算量降低了50%。采用基于Adams預測校正公式的GLONASS衛(wèi)星軌道積分法進行GLONASS位置解算,對確保多系統(tǒng)兼容GNSS接收機的精度、實時性等方面有重要意義。

    [1]Bruyninx Carine.Comparing GPS – only with GPS+GLONASS Positioning in a Regional Permanent GNSS Network[J].GPS Solutions,2007,11(2):97-106.

    [2]Alexei E Zinoviev.Using GLONASS in Combined GNSS Receivers:Current Status[C]∥ION GNSS 18th International Technical Meeting of the Satellite Division.Long Beach,CA,USA,2005:1 046-1 057.

    [3]ICD-GLONASS.GLONASSInterface Control Document Version 5.1,ICD 2008E[M].Moscow:Coordination Scientific Information Center,2008.

    [4]葛茂榮,過靜珺,葛勝杰.GLONASS衛(wèi)星坐標的計算方法[J].測繪通報,1999(2):2-4.

    [5]楊 劍,王澤民,孟 泱,等.GLONASS衛(wèi)星軌道積分算法分析[J].武漢大學學報:信息科學版,2006,31(7):613-615.

    [6]李建文.GLONASS衛(wèi)星導航系統(tǒng)及GPS/GLONASS組合應用研究[D].鄭州:信息工程大學,2001:25-29.

    [7]葛 奎,王解先.GLONASS衛(wèi)星位置計算與程序實現(xiàn)[J].測繪與空間地理信息,2009,32(2):137-140.

    [8]丁麗娟,程杞元.數(shù)值計算方法[M].北京理工大學出版社,2008:241-246.

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