兩種過程質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)的西格瑪水平轉(zhuǎn)換

江 華

（中國航空工業(yè)空氣動(dòng)力研究院，遼寧 沈陽 110034）

在六西格瑪管理中，很重要的一個(gè)內(nèi)容是通過質(zhì)量數(shù)據(jù)的計(jì)算分析結(jié)果，判定目前的過程、產(chǎn)品或服務(wù)的質(zhì)量水平。評(píng)價(jià)質(zhì)量水平涉及到的幾個(gè)重要評(píng)價(jià)指標(biāo)有：過程能力指數(shù)、百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)（DPMO）和西格瑪水平（Z）等。過程能力指數(shù)是反映過程加工質(zhì)量滿足產(chǎn)品技術(shù)要求程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)；百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)也常用來綜合度量過程質(zhì)量；西格瑪水平同樣是描述過程質(zhì)量滿足規(guī)定要求能力的評(píng)價(jià)指標(biāo)。作為過程質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)，過程能力指數(shù)與西格瑪水平、百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)（DPMO）與西格瑪水平之間有著怎樣的定量關(guān)系，過程能力指數(shù)、百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)又如何轉(zhuǎn)換為西格瑪水平，本文致力于這方面的研究。

1 西格瑪水平（Z）

“西格瑪”源于統(tǒng)計(jì)學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)差σ的概念。標(biāo)準(zhǔn)差σ表示數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的分散程度，對(duì)于連續(xù)的可計(jì)量的質(zhì)量特性，用σ來衡量其總體上對(duì)目標(biāo)值的偏離程度。“西格瑪水平”（即σ水平）則是將過程輸出的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差與顧客要求的目標(biāo)值、規(guī)格限聯(lián)系起來并進(jìn)行比較。其中目標(biāo)值是顧客要求的理想值；規(guī)格限是顧客允許的質(zhì)量特性的波動(dòng)范圍。

1.1 過程無偏移的西格瑪水平Z0

假定過程輸出質(zhì)量特性服從正態(tài)分布，并且過程輸出質(zhì)量特性的分布中心與目標(biāo)值重合，即過程輸出無偏移，西格瑪水平Z0是指規(guī)格限與2σ的比值：

例如：某袋裝綿白糖的平均重量是1 000ɡ，行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定TL=982ɡ，TU=1 018ɡ，假定過程無偏移，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差σ=6ɡ時(shí)，西格瑪水平為：

西格瑪水平Z0=6時(shí)就是六西格瑪管理追求的6σ質(zhì)量目標(biāo)，這時(shí)正態(tài)分布從-6σ到+6σ均在規(guī)范下限到規(guī)范上限范圍內(nèi)，過程輸出的絕大多數(shù)都集中在顧客要求的目標(biāo)值附近，過程滿足顧客要求的能力很高。實(shí)現(xiàn)6σ質(zhì)量目標(biāo)需要持續(xù)改進(jìn)過程質(zhì)量，不斷減小標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2 生產(chǎn)中心漂移的西格瑪水平

實(shí)際上，過程輸出質(zhì)量特性的分布中心與目標(biāo)值完全重合的可能性很小，這種產(chǎn)品質(zhì)量特性分布的均值μ與公差中心M不重合的現(xiàn)象稱為生產(chǎn)中心的漂移。產(chǎn)品質(zhì)量的變異由系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差疊加而成。

經(jīng)驗(yàn)表明，在當(dāng)前的科技水平下，生產(chǎn)過程穩(wěn)定時(shí)中心漂移量能保持在1.5σ之內(nèi)，漂移量過大時(shí)表明過程出現(xiàn)了異常變異，通過實(shí)施過程控制可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)而重新調(diào)整到1.5σ之內(nèi)，考慮到1.5σ的偏移，西格瑪水平修正為：

例如：某送餐公司為某學(xué)校送午餐，學(xué)校希望在中午12:00送到，但實(shí)際總有誤差，因而提出送餐時(shí)間限定在11:55分至12:05分之間，即TL為11:55分，TU為12:05分。過去一個(gè)星期來，該送餐公司將午餐送達(dá)的時(shí)間為：11:50，11:55，12:00，12:05，12:10。

這里，將送達(dá)時(shí)間按相對(duì)于目標(biāo)值12:00的差值進(jìn)行變換，記錄為-10，-5，0，5，10，則平均送餐時(shí)間：假設(shè)本例的送餐時(shí)間服從正態(tài)分布，則樣本標(biāo)準(zhǔn)差s為：

即該公司準(zhǔn)時(shí)送餐的西格瑪水平為2.13。

2 過程能力指數(shù)到西格瑪水平的轉(zhuǎn)換

2.1 過程能力指數(shù)

過程能力指數(shù)（Process Capability Index, Cp）反映了過程加工質(zhì)量滿足產(chǎn)品技術(shù)要求的程度，對(duì)于雙側(cè)公差情況，其計(jì)算公式為：

T為技術(shù)公差的幅度，即所允許的規(guī)格限，它反映了對(duì)產(chǎn)品的技術(shù)要求，而σ反映了過程加工質(zhì)量的一致性。

當(dāng)存在生產(chǎn)中心漂移時(shí)（如圖1所示），修正后的過程能力指數(shù)為：

記分布中心μ對(duì)于公差中心M的偏移為ε=|M–μ|，則μ對(duì)于M的相對(duì)偏移（偏移度）K為：

例如：某種規(guī)格的軸，其直徑要求為18±0.15 mm。長期檢驗(yàn)結(jié)果表明，其直徑服從X～N（18.06，0.042），則該規(guī)格軸生產(chǎn)的過程能力指數(shù)為：

圖1 產(chǎn)品質(zhì)量分布的均值μ與公差中心M不重合的情況

采用控制手段，通過質(zhì)量改進(jìn)將生產(chǎn)中心漂移量控制為0.045 mm，標(biāo)準(zhǔn)差降為0.03，即當(dāng)其直徑服從X～N（18.045，0.032）時(shí)，則該規(guī)格軸生產(chǎn)的過程能力指數(shù)為：

2.2 過程能力指數(shù)到西格瑪水平的轉(zhuǎn)換

如上例中當(dāng)某種規(guī)格軸直徑服從X～N（18.06，0.042）分布，直徑要求為18±0.15mm時(shí)，其過程能力指數(shù)為0.75，由已知可見存在生產(chǎn)中心漂移，且漂移量為ε=1.5σ，采用過程能力指數(shù)與西格瑪水平轉(zhuǎn)換公式，則該規(guī)格軸生產(chǎn)的西格瑪水平為：

質(zhì)量改進(jìn)后，當(dāng)該規(guī)格軸直徑服從X～N（18.045，0.032）分布，直徑要求不發(fā)生改變時(shí)，其過程能力指數(shù)為1.17，由已知得漂移量ε仍為1.5σ，則該規(guī)格軸生產(chǎn)的西格瑪水平為：

可見西格瑪水平的高低受到過程能力指數(shù)的影響，間接表現(xiàn)為受到與過程能力指數(shù)相關(guān)的生產(chǎn)中心漂移量和正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差的影響。在上下規(guī)格限一定、且穩(wěn)定的生產(chǎn)過程分布中心與容差中心偏移量為1.5σ的情況下，正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差越小（這時(shí)所允許的偏移量也?。?，過程能力指數(shù)越高，西格瑪水平越高。因此，要提高西格瑪水平就要提高技術(shù)能力（表現(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)差σ的減?。┖图夹g(shù)管理能力（表現(xiàn)為減少偏移量）。

3 DPMO與西格瑪水平的關(guān)系

3.1 用西格瑪水平計(jì)算百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)（DPMO）

與不同西格瑪水平對(duì)應(yīng)是不同的不合格品率，下面我們來計(jì)算3σ水平下的不合格品率。由西格瑪水平定義公式可計(jì)算3σ水平下T為6倍的標(biāo)準(zhǔn)差。

3.1.1 當(dāng)質(zhì)量特性X分布不存在偏移

設(shè)質(zhì)量特性X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），可知上規(guī)格限TU為μ+3σ，下規(guī)格限TL為μ–3σ，則產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為：

其中PL為X低于下規(guī)格限的概率，PU為X高于上規(guī)格限的概率，即：

3.1.2 當(dāng)質(zhì)量特性X分布存在偏移

設(shè)分布中心左偏移1.5σ，可知上規(guī)格限TU為μ+4.5σ，下規(guī)格限TL為μ–1.5σ，則產(chǎn)品特性X的不合格品率為P=PL+PU=Φ(–1.5)+[1–Φ(4.5)]=[1–Φ(1.5)]+[1–Φ(4.5)]=2–Φ(1.5)–Φ(4.5)，通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)表，得3σ水平對(duì)應(yīng)的不合格品率為0.066 81，則每一百萬個(gè)產(chǎn)品該質(zhì)量特性的不合格數(shù)，即缺陷數(shù)為0.066 81×106=66 810。

可見，在3σ質(zhì)量水平時(shí)，如果生產(chǎn)中心無漂移，DPMO=2700；如果生產(chǎn)中心有1.5σ漂移，DPMO=66 810。在過程穩(wěn)定狀態(tài)下，1.5σ是漂移量的上限，所以在3σ質(zhì)量水平時(shí)實(shí)際的缺陷率是在0.27%～6.681%之間。在6σ質(zhì)量水平時(shí)，如果生產(chǎn)中心無漂移，DPMO=0.002，幾乎是零缺陷；如果生產(chǎn)中心有1.5σ漂移，DPMO=3.4。實(shí)際上，由于過程在長期運(yùn)行中總會(huì)受到來自人、機(jī)、料、法、測、環(huán)（即5M1E）方面的影響，其輸出質(zhì)量特性的分布中心常常會(huì)向左或向右移動(dòng)1.5σ，因此，通常所說的六西格瑪質(zhì)量水平對(duì)應(yīng)的是3.4ppm缺陷率。

通過對(duì)不同西格瑪水平的計(jì)算，我們可以求出在任何西格瑪水平下的不合格品率，當(dāng)用ppm單位表示不合格品率時(shí)，即可以求出每百萬產(chǎn)品質(zhì)量特性的缺陷數(shù)DPMO。

3.2 百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)DPMO到西格瑪水平的轉(zhuǎn)換

在3.1中我們反復(fù)提到的每一百萬個(gè)某質(zhì)量特性的缺陷數(shù)即為百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)（DPMO），它是六西格瑪管理中常用的度量指標(biāo)，其計(jì)算公式為：

如果我們統(tǒng)計(jì)了過程輸出的缺陷數(shù)和缺陷機(jī)會(huì)數(shù)，利用上面公式就可以計(jì)算出百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)DPMO。例：某物料清單上有4個(gè)需要填表之處，均可能會(huì)發(fā)生填寫錯(cuò)誤，即該物料清單有4個(gè)缺陷機(jī)會(huì)。

在六西格瑪管理中常常將DPMO折算為西格瑪水平。DPMO對(duì)應(yīng)于過程輸出質(zhì)量特性超出規(guī)格限的比率，可以通過對(duì)圖2所示的正態(tài)分布中規(guī)格限外的部分求積分而獲得。此時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的分位數(shù)點(diǎn)Z，就是過程的西格瑪水平。六西格瑪管理中常用的西格瑪水平值與DPMO換算的對(duì)應(yīng)表見表1。

圖2 缺陷率與過程輸出西格瑪水平的對(duì)應(yīng)關(guān)系

表1 西格瑪水平值與DPMO對(duì)應(yīng)表（考慮±1.5σ偏移時(shí)）

在應(yīng)用中當(dāng)我們求得了某質(zhì)量特性的DPMO后，可通過查西格瑪水平值與DPMO對(duì)應(yīng)表獲得該質(zhì)量過程的西格瑪水平，如上例中，查表可得該填寫物料清單過程的西格瑪水平為3.5（考慮到±1.5σ偏移）。通過給出西格瑪水平值與DPMO二者之間的定量對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決了計(jì)算特性過程只能用合格率/不合格率來反映的問題。

4 結(jié)束語

建立過程能力指數(shù)與西格瑪水平、百萬機(jī)會(huì)缺陷數(shù)DPMO與西格瑪水平的定量對(duì)應(yīng)關(guān)系，在已知或通過計(jì)算得出其中一種評(píng)價(jià)指標(biāo)的數(shù)值時(shí)，能很方便地通過換算獲得生產(chǎn)過程質(zhì)量特性的西格瑪水平，便于各過程質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)的同一平臺(tái)比較，為質(zhì)量管理工作者帶來了方便，也為企業(yè)間的過程質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)互信提供了基礎(chǔ)。

[1] 全國質(zhì)量專業(yè)技術(shù)人員職業(yè)資格考試辦公室．質(zhì)量專業(yè)理論與實(shí)務(wù)[M].北京：中國人事出版社，2011.

[2] 陶靖軒．六西格瑪管理中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2005（1）.

[3] 李平，張根保．西格瑪水平與過程能力指數(shù)關(guān)系模型探討[J]，現(xiàn)代制造工程，2007（2）.