TC21鈦合金電子束焊接件疲勞斷口定量反推研究

鄭志騰，有移亮，劉新靈，張 崢，路浩天

（1北京航空航天大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191；2北京航空材料研究院，北京 100095；3中航工業(yè) 綜合技術(shù)研究所，北京 100028）

TC21是國(guó)內(nèi)自主研發(fā)的高強(qiáng)高韌綜合力學(xué)性能匹配較好的鈦合金之一，可用于飛機(jī)的機(jī)翼接頭結(jié)構(gòu)件、機(jī)身與起落架連接框、吊掛發(fā)動(dòng)機(jī)接頭等部位，以及對(duì)強(qiáng)度及耐久性要求高的關(guān)鍵承力部件的制作［1－3］。電子束焊接由于能量密度高、焊縫和熱影響區(qū)窄、焊接變形小、工藝參數(shù)容易精確控制以及真空焊接環(huán)境等其他焊接方法難以比擬的優(yōu)勢(shì)而廣泛應(yīng)用于航空、航天及工業(yè)制造中。在焊接結(jié)構(gòu)中，與疲勞相關(guān)的結(jié)構(gòu)失效事故占金屬結(jié)構(gòu)失效事故的70%～80%［4］。斷口分析是判斷失效件失效模式、確定失效機(jī)理、找出失效原因的重要手段［5］。對(duì)鈦合金疲勞斷口的定量反推已有所研究。張衛(wèi)方等［6］對(duì)鈦合金在實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用條件下的構(gòu)件進(jìn)行斷口定量反推，研究疲勞條帶間距反推應(yīng)力在鈦合金應(yīng)用的可行性；王翀等［7］利用Paris公式，分別運(yùn)用自然對(duì)數(shù)法和常用對(duì)數(shù)法對(duì)TA15鈦合金進(jìn)行了壽命反推，結(jié)果表明，在相同的條件下，應(yīng)用常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)法計(jì)算的擴(kuò)展壽命十分接近；李仲等［8］對(duì)TC4鈦合金鍛件緊固孔結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)的原始疲勞質(zhì)量進(jìn)行了研究；Manning和Yang［9］對(duì)多種鈦合金材料的原始疲勞質(zhì)量分布進(jìn)行了研究，提出的結(jié)構(gòu)件耐久性設(shè)計(jì)和分析技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用。但關(guān)于鈦合金電子束焊接件疲勞斷口定量反推的研究還鮮見報(bào)道。

本工作對(duì)TC21鈦合金電子束焊接接頭的組織和疲勞斷口特征進(jìn)行了分析，并對(duì)疲勞斷口進(jìn)行了基于宏觀擴(kuò)展區(qū)面積和微觀疲勞條帶的定量表征，對(duì)疲勞應(yīng)力和焊接結(jié)構(gòu)的原始疲勞質(zhì)量（當(dāng)量裂紋長(zhǎng)度）進(jìn)行了反推研究，旨在為鈦合金電子束焊接結(jié)構(gòu)在工程上的應(yīng)用提供依據(jù)和參考。

1 實(shí)驗(yàn)材料及方法

實(shí)驗(yàn)采用TC21鈦合金鍛制厚板，板材厚度為10mm，其主要成分如表1所示。電子束焊接工藝為加速電壓150kV，聚焦電流2100mA，電子束流90mA，焊接速率為300mm／min。

表1 TC21鈦合金化學(xué)成分（質(zhì)量分?jǐn)?shù)／% ）Table 1 Chemical composition of TC21（mass fraction／%）

沿垂直于焊縫方向截取焊接板材，取其中間部位作為疲勞試樣，將疲勞試樣打磨拋光，試樣規(guī)格如圖1所示。在室溫條件下，用GZ－100C型疲勞機(jī)對(duì)TC21電子束焊接接頭試樣做軸向加載疲勞試驗(yàn)，應(yīng)力比為R＝－1。在FEI QUNATA 400型掃描電子顯微鏡下觀察疲勞斷口。

圖1 疲勞試樣的形狀和尺寸Fig.1 Schematic illustration of the fatigue specimens

2 微觀組織和疲勞斷裂特征

2.1 TC21鈦合金電子束焊接接頭微觀組織

實(shí)驗(yàn)用TC21鈦合金的金相組織見圖2（a），母材的顯微組織為魏氏組織形貌，組織中有粗大的原始α晶粒，α相互相交錯(cuò)，呈編織狀，α相間為β相。真空電子束焊接接頭明顯地分為焊縫區(qū)、熔合區(qū)、熱影響區(qū)以及未受影響的母材。焊縫組織為粗大的β柱狀晶，由焊縫兩側(cè)向焊縫中心生長(zhǎng)，并在焊縫中心破碎，成為新的形核質(zhì)點(diǎn)，長(zhǎng)大成為細(xì)小的β等軸晶。β柱狀晶粒內(nèi)部為快冷形成的細(xì)小馬氏體針，同一晶粒內(nèi)的馬氏體針平行排列，如圖2（b）所示。這是由于電子束焊接過程中冷卻速率很大，β相來不及通過原子擴(kuò)散轉(zhuǎn)變成平衡態(tài)的α相，只能發(fā)生切變相變，生成針狀含過飽和α相穩(wěn)定元素的馬氏體 。

圖2 TC21鈦合金焊接接頭組織 （a）母材組織；（b）焊縫組織Fig.2 Microstructures of TC21joint （a）base metal；（b）welded metal

2.2 TC21鈦合金電子束焊接接頭的疲勞斷裂特征

TC21鈦合金焊接接頭的疲勞斷口一般可分為疲勞源區(qū)、疲勞裂紋擴(kuò)展區(qū)、瞬斷區(qū)三個(gè)區(qū)域。

（1）疲勞源區(qū)：疲勞裂紋一般起源于試樣表面（圖3（a））或內(nèi)部缺陷處，其中缺陷主要為氣孔缺陷，如圖3（b）所示。在有焊接缺陷存在時(shí)，鈦合金焊接接頭的疲勞裂紋基本上都是起源于焊接缺陷，并以缺陷為中心向四周放射狀擴(kuò)展。缺陷處與基體之間彈性模量不匹配造成局部應(yīng)力集中，以及其他形式的殘余應(yīng)力的相互作用在缺陷周圍形成較大的應(yīng)力集中，在外加載荷的作用下，基體發(fā)生滑移，位錯(cuò)纏結(jié)在缺陷周圍，位錯(cuò)塞積造成更大的應(yīng)力集中。缺陷處的脆性較大，在外加載荷和較大應(yīng)力集中作用下，導(dǎo)致缺陷處自身的斷裂，從而形成微裂紋［9］。對(duì)于鈦合金焊接接頭，焊接缺陷不可避免，使得疲勞裂紋多從缺陷處萌生。在疲勞裂紋形成的過程中，裂紋不斷張開、閉合，形成光滑小刻面，見圖4（a）。

圖3 疲勞斷口源區(qū)的SEM像 （a）表面起源；（b）內(nèi)部氣孔起源Fig.3 SEM images of fatigue crack initiation sites （a）surface；（b）internal pore

圖4 疲勞斷口源區(qū)（a）和瞬斷區(qū)（b）高倍SEM像Fig.4 SEM micrographs of fatigue fracture initiation sites（a）and fracture sites（b）

（2）疲勞裂紋擴(kuò)展區(qū)：疲勞裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段形成的特征區(qū)域稱為疲勞擴(kuò)展區(qū)，該區(qū)的宏觀特征為斷面較平坦，與主應(yīng)力相垂直［10］。疲勞裂紋的穩(wěn)定擴(kuò)展按其形成機(jī)理與特征的不同又可分為兩個(gè)階段：即疲勞裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展第一階段與疲勞裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展第二階段。疲勞裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展的第二階段的顯微特征主要是疲勞條帶。

（3）瞬斷區(qū)：瞬斷區(qū)呈剪切唇形貌，隨應(yīng)力水平的增加高差變大。瞬斷區(qū)形貌較粗糙，均呈韌窩狀，見圖4（b）。

3 電子束焊接疲勞斷口的定量反推

3.1 斷口宏觀面積反推疲勞應(yīng)力

疲勞擴(kuò)展區(qū)的大小可以用疲勞擴(kuò)展臨界裂紋長(zhǎng)度ac來表征［12］。疲勞臨界裂紋長(zhǎng)度ac與最大交變應(yīng)力σmax密切相關(guān)，已知：

式中：Y是與裂紋有關(guān)的形狀因子；a是裂紋長(zhǎng)度；Δσ是構(gòu)件承受的應(yīng)力幅值；ΔK是裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

當(dāng)裂紋發(fā)生快速擴(kuò)展時(shí)，ΔK＝KIC（1－R），a＝ac，σmax＝Δσ／（1－R），則可按下式求得零件斷裂時(shí)的最大工作應(yīng)力σmax。

擴(kuò)展區(qū)是疲勞裂紋達(dá)到臨界尺寸發(fā)生快速破斷前所形成的區(qū)域，在應(yīng)力水平較低時(shí)，可以將擴(kuò)展區(qū)近似成為一圓形區(qū)域，則擴(kuò)展區(qū)的面積A與臨界裂紋長(zhǎng)度ac的關(guān)系為A＝π（ac／2）2，代入（2）式可得：

臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子KIC是材料抵抗裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的能力，是材料本身所具有的一種力學(xué)性能指標(biāo)，因此，在材料斷裂韌性一定的情況下，有：

其中P和Q均為常數(shù)。式（4）即為斷口擴(kuò)展區(qū)宏觀面積反推疲勞應(yīng)力的基礎(chǔ)。

用圖形處理軟件image J測(cè)量不同應(yīng)力下典型疲勞斷口的擴(kuò)展區(qū)面積，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。圖5（a）和圖5（b）分別為350MPa和450MPa下焊接接頭典型疲勞斷口的宏觀SEM圖。結(jié)合圖5和表2可以看出：隨著應(yīng)力水平的增加，斷口臨界裂紋長(zhǎng)度ac減小，擴(kuò)展區(qū)的面積A也減小。將得到的應(yīng)力和面積數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖6所示，即可得到lgσmax和lgA的定量關(guān)系：

lgσmax＝－0.9162lgA＋3.6489；相關(guān)系數(shù)r＝0.9134。

表2 不同應(yīng)力下疲勞斷口擴(kuò)展區(qū)面積統(tǒng)計(jì)表Table 2 The area of propagation zone under different stress

圖5 不同應(yīng)力下疲勞斷口宏觀SEM圖（a）350MPa；（b）450MPaFig.5 SEM images of fatigue fracture under different loads（a）350MPa；（b）450MPa

圖6 A與σmax對(duì)數(shù)關(guān)系圖Fig.6 Logarithmic relationship between Aandσmax

用擬合數(shù)據(jù)外的斷口擴(kuò)展區(qū)面積A對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行校核［4］：

（1）350MPa時(shí)，測(cè)得A＝14.56mm2，反推計(jì)算得應(yīng)力

σmax＝10（－0.9162×lg14.56＋3.6489）＝383.01MPa

誤差ε＝［（383.01－350）／350］×100%＝9.43%

（2）400MPa時(shí)，測(cè)得 A＝12.88mm2，反推計(jì)算應(yīng)力

σmax＝10（－0.9162×lg12.88＋3.6489）＝428.54MPa

誤差ε＝［（428.54－400）／400］×100%＝7.14%

（3）450MPa時(shí)，測(cè)得 A＝11.21mm2，反推計(jì)算應(yīng)力

σmax＝10（－0.9162×lg11.12＋3.648）＝486.69MPa

誤差ε＝［（486.69－450）／450］×100%＝8.15%

由計(jì)算結(jié)果可知，在斷裂韌性相同的情況下，可由擴(kuò)展區(qū)面積反推應(yīng)力，且反推計(jì)算所得的應(yīng)力與實(shí)際的疲勞應(yīng)力的相對(duì)誤差在10%以內(nèi)。

3.2 疲勞條帶反推原始疲勞質(zhì)量

3.2.1 疲勞條帶的測(cè)量

將斷口置于掃描電鏡下觀察，測(cè)量不同裂紋長(zhǎng)度和對(duì)應(yīng)的疲勞條帶間距。從斷口源區(qū)開始，尋找疲勞條帶特征（通常情況下，由于源區(qū)的疲勞條帶極細(xì)，并且可能受到摩擦，因此很難觀察到疲勞條帶）；找到第一次觀察疲勞條帶的位置，在一定放大倍數(shù)下（能夠測(cè)量相鄰條帶的間距）拍照記錄；以此類推，測(cè)量出距源區(qū)不同距離ai處的疲勞條帶的間距dai／dN，直到瞬斷區(qū)為止，共取5個(gè)測(cè)量點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)區(qū)域內(nèi)取三處測(cè)量結(jié)果的平均值作為該處疲勞條帶的寬度值。在滿足工程應(yīng)用的前提下，應(yīng)遵循的測(cè)量原則為：①測(cè)量與斷口基本在同一平面上的多個(gè)并排的疲勞條帶，盡量選擇數(shù)量多、分布均勻、輪廓清晰的條帶進(jìn)行測(cè)量；②一般不測(cè)量?jī)A斜于斷口主裂紋方向的疲勞條帶，以防止實(shí)測(cè)結(jié)果偏小；③對(duì)于斜面上的疲勞條帶，可利用掃描電鏡的傾斜功能，將斜面變成平面，再對(duì)其上的疲勞條帶進(jìn)行測(cè)量；④在同一測(cè)量區(qū)內(nèi)疲勞條帶寬度變化不大，應(yīng)測(cè)量多個(gè)并排的疲勞條帶數(shù)據(jù)，取其平均值作為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以便減小多種因素造成的誤差［12，13］。以400MPa 8號(hào)試樣疲勞斷口為例，測(cè)得其5處裂紋長(zhǎng)度和對(duì)應(yīng)的疲勞條帶寬度如表3所示。取點(diǎn)位置以及疲勞條帶形貌見圖7。

圖7 8號(hào)試樣不同裂紋長(zhǎng)度處疲勞條帶高倍SEM圖Fig.7 SEM micrographs of fatigue striation for different crack length of No.8specimen

表3 8號(hào)試樣不同裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的疲勞條帶寬度及總壽命Table 3 The width of fatigue striation and final fatigue life for different crack length of No.8specimen

3.2.2 Paris公式反推焊接件的原始疲勞質(zhì)量

結(jié)構(gòu)件在服役前帶有初始裂紋或缺陷，損傷容限設(shè)計(jì)思想中的初始裂紋，就是指把存在于構(gòu)件中的初始缺陷群等效的歸結(jié)為一個(gè)非實(shí)體的當(dāng)量裂紋長(zhǎng)度，稱之為當(dāng)量初始裂紋a0i，并以此作為表征構(gòu)件質(zhì)量的參量，因此也稱為當(dāng)量初始質(zhì)量。因此，a0i雖是一個(gè)假設(shè)的裂紋長(zhǎng)度，卻又綜合反映了構(gòu)件中的材質(zhì)以及加工制造質(zhì)量，所以又將a0i稱為原始疲勞質(zhì)量。原始疲勞質(zhì)量反推的基礎(chǔ)是Paris公式：

式中C，n是材料常數(shù)，與材料的微觀組織結(jié)構(gòu)、循環(huán)加載的頻率、波形、環(huán)境、溫度和應(yīng)力比R有關(guān)。應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值可表示為ΔK＝，其中A＝y(tǒng)Δσπ1／2＝常數(shù)。

將其代入Paris公式得：

其中，C0＝。令y為裂紋擴(kuò)展深度a的函數(shù)y（a），則有：

令G＝C（Δσ）nπn／2，f（a）＝［y（a）］nan／2，則上式寫成：

設(shè)f（a）＝aB，對(duì)上式兩邊取自然對(duì)數(shù)有：

令ln（da／dN）＝Y(jié)，lnG＝A，lna＝X，則得到線性方程Y＝A＋BX。通過回歸分析可確定式中的A，B兩個(gè)常數(shù)。則原式可以改寫成da／dN＝eA·aB（μm／cycle）。對(duì)上式進(jìn)行積分變化后得疲勞載荷循環(huán)次數(shù)Np的表達(dá)式為：

式中，a0為初始裂紋值，a0的值參考美國(guó)空軍制定的表面裂紋長(zhǎng)度約為0.794mm（1／32in）時(shí)所對(duì)應(yīng)的裂紋深度，考慮到表面裂紋的半橢圓形貌，深度方向?yàn)闄E圓軸方向，取a0＝0.3mm為積分下限；ai為裂紋擴(kuò)展到某一點(diǎn)時(shí)的裂紋深度，為積分上限［4］。

用試件的疲勞總壽命Nf減去擴(kuò)展壽命Np得到萌生壽命Ni，再將每個(gè)裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展壽命Npi和萌生壽命Ni加和，得到每個(gè)裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的總壽命Nfi，計(jì)算后擬合實(shí)測(cè)曲線，然后將曲線反推至?xí)r間為零，即N＝0，曲線與縱坐標(biāo)的交點(diǎn)即為該構(gòu)件的a0i。本工作采用指數(shù)增長(zhǎng)（Exponential Growth）擬合函數(shù)［14］進(jìn)行擬合。

式中：A1是強(qiáng)度；t1是增長(zhǎng)幅度；y0即為試件的原始疲勞質(zhì)量。

對(duì)8號(hào)試樣測(cè)得的ai和dai／dN取對(duì)數(shù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖8所示，得到lna和ln（da／dN）的關(guān)系為：

y＝1.2577x－9.3382；相關(guān)系數(shù)r＝0.9421。

圖8 a與da／dN對(duì)數(shù)關(guān)系圖Fig.8 Logarithmic relationship between aand da／dN

即A＝－9.3382，B＝1.2577。其疲勞總壽命為74000，計(jì)算裂紋擴(kuò)展到五個(gè)測(cè)量點(diǎn)時(shí)的壽命，結(jié)果見表3。然后將計(jì)算結(jié)果擬合，結(jié)果如圖9所示，得到a與N的指數(shù)增長(zhǎng)關(guān)系為：

y＝A1e（x／t1）＋321.80；相關(guān)系數(shù)r＝0.9985。

得到8號(hào)試樣原始疲勞質(zhì)量為321.80μm。

R＝－1時(shí)TC21鈦合金焊接接頭的原始疲勞質(zhì)量擬合結(jié)果如表4所示。

圖9 N與a指數(shù)增長(zhǎng)關(guān)系圖Fig.9 Exponential growth relationship between Nand a

表4 TC21焊接接頭原始疲勞質(zhì)量反推結(jié)果統(tǒng)計(jì)表（R＝－1，Kt＝1）Table 4 The results of estimated initial fatigue quality（IFQ）for TC21Ti alloy welding joint（R＝－1，Kt＝1）

用Matlab軟件對(duì)表4中的原始疲勞質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖10所示。

圖10 原始疲勞質(zhì)量正態(tài)分布圖Fig.10 Normal distribution of IFQ

由上述分析結(jié)果可知，用當(dāng)量初始缺陷尺寸分布所表示的原始疲勞質(zhì)量必須用一個(gè)相關(guān)的斷口形貌測(cè)量結(jié)果的反推來確定，概率分布是研究原始疲勞質(zhì)量十分方便的數(shù)學(xué)工具。

4 結(jié)論

（1）在斷裂韌性相同的情況下，可由擴(kuò)展區(qū)的面積反推鈦合金電子束焊接構(gòu)件承受的應(yīng)力，反推計(jì)算所得的應(yīng)力與實(shí)際的疲勞應(yīng)力的相對(duì)誤差在10%以內(nèi)。

（2）在測(cè)量擴(kuò)展區(qū)不同長(zhǎng)度裂紋處疲勞條帶寬度值的基礎(chǔ)上，可利用Paris公式反推焊接結(jié)構(gòu)的原始疲勞質(zhì)量，原始疲勞質(zhì)量呈正態(tài)分布且分散度較大。

［1］楊慧麗.TC21鈦合金φ350mm棒材顯微組織與性能的關(guān)系［J］.中國(guó)鈦業(yè)，2001，（3）：19－22.YANG Hui－li.The relationship between microstructure and property ofφ350mm rod like TC21titanium［J］.China Titanium Industry，2001，（3）：19－22.

［2］宋穎剛，高玉魁，陸峰，等.TC21鈦合金噴丸強(qiáng)化層微觀組織結(jié)構(gòu)及性能變化［J］.航空材料學(xué)報(bào)，2010，30（2）：40－44.SONG Ying－gang，GAO Yu－kui，LU Feng，et al.Evolution of microstructure and properties of surface layer after shot peening of TC21titanium alloy［J］.Journal of Aeronautical Materials，2010，30（2）：40－44.

［3］姜波，王耀奇，侯紅亮，等.氫對(duì)TC21合金高溫變形行為的影響［J］.材料工程，2011，（5）：70－75.JIANG Bo，WANG Yao－qi，HOU Hong－liang，et al.Effects of hydrogen on hot deformation behavior of TC21alloys［J］.Journal of Materials Engineering2011570－75.

［4］張燚，章文峰，閆海.斷口定量分析在評(píng)估構(gòu)件疲勞壽命中的應(yīng)用［J］.材料工程，2000，（4）：45－48.ZHANG Yi，ZHANG Wen－feng，YAN Hai.Quantitative analysis in evaluating fatigue lives of components［J］.Journal of Materials Engineering，2000，（4）：45－48.

［5］鐘群鵬，田永江.失效分析基礎(chǔ)知識(shí)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1990，121.

［6］張衛(wèi)方，高威，趙愛國(guó)，等.鈦合金斷口反推疲勞應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)與工程應(yīng)用研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2003，（4）：436－437.ZHANG Wei－fang，GAO Wei，ZHAO Ai－guo，et al.Fatigue stress estimation for titanium alloy by fatigue crack striation［J］.Journal of Mechanical Strength，2003，（4）：436－437.

［7］王翀，張崢，劉新靈.TA15鈦合金疲勞壽命反推研究［J］.金屬熱處理，2007，32（增刊1）：437－439.WANG Chong，ZHANG Zheng，LIU Xin－ling.Fatigue life prediction of TA15titanium alloy［J］.Heat Treatmeat of Metals，2007，32（S1）：437－439.

［8］李仲，葛森，陳莉，等.鈦合金的原始疲勞質(zhì)量研究［A］.中國(guó)數(shù)學(xué)力學(xué)物理學(xué)高新技術(shù)交叉研究學(xué)會(huì)第十二屆學(xué)術(shù)年會(huì)論文集［C］.四川峨眉山：2008，242.

［9］MANNING S D，YANG J N.USAF Durability Design Handbook［M］.2nd ed.USA：AFW L－TR－83－3027，1988.

［10］張秉剛，王廷，陳國(guó)慶，等.大厚度TC21鈦合金電子束焊接試驗(yàn)［J］.焊接學(xué)報(bào)，2009，30（11）：6－11.ZHANG Bing－gang，WANG Ting，CHEN Guo－qing，et al.TC21titanium alloy electron beam welding test with big thickness plate［J］.Transactions of the China Welding Institution，2009，30（11）：6－11.

［11］蹇海根，姜鋒，文康，等.不同應(yīng)力下7B04鋁合金的疲勞斷口［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，41（1）：137－143.JIAN Hai－gen，JIANG Feng，WEN Kang，et al.Fatigue fracture of 7B04aluminum alloy under different stresses［J］.Journal of Central South University：Science and Technology，2010，41（1）：137－143.

［12］劉新靈，張崢，陶春虎.疲勞斷口定量分析［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2010.47－49.

［13］趙子華，張崢，吳素君，等.金屬疲勞斷口定量反推研究綜述［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2008，（3）：59－63.ZHAO Zi－h(huán)ua，ZHANG Zheng，WU Su－jun，et al.Survey of quantitative reverse deduction from fatigue fracture surface of metals［J］.Journal of Mechanical Strength，2008，（3）：59－63.

［14］茆詩(shī)松，賀思輝.概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2010.87－88.