基于優(yōu)化的GRNN和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的磁滯曲線擬合對比分析*

何漢林，孟愛華*，祝甲明，宋紅曉

（1.杭州電子科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.杭州浙大精益機(jī)電技術(shù)工程有限公司，浙江 杭州 310000）

0 引 言

由于GMM具有輸出力大、機(jī)電耦合系數(shù)大、能量密度高、響應(yīng)速度快和應(yīng)用頻率寬等優(yōu)點，使得在精密驅(qū)動技術(shù)中，GMM的應(yīng)用非常廣泛。但是，由于磁性材料的磁滯非線性，使得由GMM制成的超磁致伸縮執(zhí)行器（GMA）的輸入和輸出存在著一定的滯后，給GMA的精確控制帶來了一定困難。因此，怎樣去擬合磁滯環(huán)已成為各國學(xué)者研究的熱點。目前，國際上通用的磁滯模型主要有3種：一種是基于數(shù)學(xué)的唯像模型，典型代表為Preisach模型；一種是基于材料內(nèi)部機(jī)理的物理模型，典型代表為J-A模型；還有一種是基于自由能和統(tǒng)計學(xué)分布理論的自由能磁滯模型。其中，運(yùn)用preisach模型時，需要測出大量的一階折返曲線，但是折返曲線的測量非常繁瑣，對實驗器材的精度要求也比較高，工作量龐大；運(yùn)用J-A模型來反映GMM磁滯特性時，需要辨識和調(diào)整大量的物理參數(shù)；自由能磁滯模型兼顧了Preisach模型和J-A模型的部分優(yōu)點，但是該模型的運(yùn)算量很大，而且沒有考慮渦流損失的影響[1]。除此之外，最近幾年新興起來的還有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中最常用的為誤差逆向傳播的前饋BP網(wǎng)絡(luò)，理論證明，BP網(wǎng)絡(luò)可以以任何給定的精度去擬合強(qiáng)非線性的連續(xù)函數(shù)或者映射關(guān)系，不過BP算法的誤差曲面上存在高頻分量，而且存在局部極小問題[2-6]。而徑向基網(wǎng)絡(luò)無論是在逼近能力、分類能力還是在學(xué)習(xí)速度等方面均優(yōu)于BP網(wǎng)絡(luò)。李貴存等[7]用混合徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)去擬合磁滯曲線，有效克服了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在擬合磁滯回線各方面的缺點，效果比較理想。不過該方法程序復(fù)雜，而且徑向基函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)采用默認(rèn)值，并不是最佳值。

在此，筆者提出一種基于徑向基網(wǎng)絡(luò)的變化形式—廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRNN）去擬合磁滯非線性，并對傳統(tǒng)的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，利用交叉驗證方法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得訓(xùn)練后的樣本值能夠更好地預(yù)測輸出；同時，采用循環(huán)算法找出最佳的徑向基函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)，以構(gòu)建最佳的GRNN網(wǎng)絡(luò)，并與BP網(wǎng)絡(luò)擬合進(jìn)行對比分析。

1 GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性逼近

1.1 GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論基礎(chǔ)

GRNN的理論基礎(chǔ)主要是非線性回歸，計算非獨立輸出變量Y相對于獨立的輸入變量X的非線性回歸，主要是得出概率最大的y。設(shè)f(x,y)為隨機(jī)變量x和隨機(jī)變量y的聯(lián)合概率密度函數(shù)，X為x的觀測值，則條件均值為[8]：

式中：X—輸入，Y—輸出，—Y的預(yù)測輸出。

式中：n—樣本容量；Xi，Yi—隨機(jī)變量x和y的樣本觀測值；p—隨機(jī)變量x的維數(shù)；σ—光滑因子。

如果用估算密度函數(shù)去代替f(X,y)，代入式（2）中并交換積分次序，則上式變?yōu)椋?/p>

樣本Xi與X之間Euclid距離平方的指數(shù)即為相應(yīng)的觀測值Yi的權(quán)重因子，估計值Y∧(X)為所有的Yi的加權(quán)平均。當(dāng)光滑因子σ比較大的時候，估計值Y∧(X)近似為所有樣本值的均值；當(dāng)σ趨向于0時，Y∧(X)近似為訓(xùn)練樣本，這時，如果被預(yù)測點包含在訓(xùn)練樣本中，則預(yù)測值會和樣本中的值非常接近，如果被預(yù)測點不包含在訓(xùn)練樣本中，則預(yù)測誤差可能會比較大。只有當(dāng)σ取值適中時，所有的訓(xùn)練樣本才都被考慮進(jìn)去。

當(dāng)用GRNN網(wǎng)絡(luò)擬合磁場強(qiáng)度和GMM應(yīng)變曲線時，以磁場強(qiáng)度作為自變量，則GMM的應(yīng)變ε關(guān)于磁場強(qiáng)度H的預(yù)測輸出為：

利用該公式，根據(jù)輸入磁場強(qiáng)度樣本H，便能得到GMM應(yīng)變ε的預(yù)期輸出。

1.2 基于GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的磁滯曲線擬合

GRNN為3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，第2層為徑向基隱層，輸出層為一個特殊的線形層。其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 GRNN網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

其中：

式中：P—輸入，W—權(quán)重，b1—閾值，R—輸入向量元素的數(shù)目，Q—輸入目標(biāo)樣本數(shù)目。

在GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，閾值b1=0.832 6/SPREAD，第1層神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò)輸入即為加權(quán)輸入與相應(yīng)閾值的乘積，然后通過式（5）計算就可以得到第1層神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò)輸出。從上面計算閾值的公式中，可以看出徑向基函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)SPREAD值對網(wǎng)絡(luò)的閾值有很大影響，而閾值對網(wǎng)絡(luò)的性能又有很大影響。通常情況下GRNN網(wǎng)絡(luò)中SPREAD值的選用原則為使得第1層輸入向量與神經(jīng)元權(quán)值向量之間的距離為0.5，該距離可以通過Mtalab中dist函數(shù)計算得到，默認(rèn)值為1.0。不過1.0只是一個經(jīng)驗值，在該SPREAD值下，網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差未必最小。為了提高網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度，設(shè)置合理的SPREAD值是關(guān)鍵。同時，由于所取的訓(xùn)練數(shù)據(jù)較少，為了擴(kuò)大樣本容量，筆者采用交叉驗證方法來訓(xùn)練GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并用循環(huán)方法找出最佳的SPREAD值和輸入、輸出，在該條件下構(gòu)建最佳GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。為了便于觀察神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果，本研究將網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的曲線與J-A模型仿真曲線進(jìn)行了對比。對比所用的J-A模型曲線來自于Calkins和Smith所建[9-11]，該模型的工作條件為：偏置磁場為0 kA/m，頻率為1 Hz，負(fù)載等效剛度系數(shù)Kl為5.67×105N/m。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只能逼近任意單值映射函數(shù)，而磁滯曲線是非線性多值映射關(guān)系，本研究中將磁滯曲線分為外加磁場強(qiáng)度增加階段和磁場強(qiáng)度減小階段兩部分，分別用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去逼近，再把兩部分合在一起。為了便于分析BP網(wǎng)絡(luò)和GRNN網(wǎng)絡(luò)的擬合效果，筆者分別用BP網(wǎng)絡(luò)和GRNN網(wǎng)絡(luò)去擬合磁滯曲線。

實驗方案設(shè)計如下：從Calkins實驗曲線上磁場強(qiáng)度增加的那一部分隨機(jī)的取得47組數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，隨機(jī)的取得46組數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測數(shù)據(jù)。從實驗曲線上磁場強(qiáng)度減小的那一部分隨機(jī)的取得47組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，再隨機(jī)地取47組數(shù)據(jù)作為預(yù)測數(shù)據(jù)。采用Matlab中crossvalind函數(shù)來交叉驗證訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，SPREAD最佳值從0.1～2之間循環(huán)求解，可得最佳SPREAD值為0.1。

程序工作流程圖如圖2所示。

圖2 程序工作流程圖

在此擴(kuò)展系數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測如圖3～圖6所示。

圖3 磁場強(qiáng)度增加階段GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出

圖4 磁場強(qiáng)度增加階段GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差

圖5 磁場強(qiáng)度減小階段GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出

圖6 磁場強(qiáng)度減小階段GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差

從圖3～6中可以看出，相對于J-A模型理論曲線來說，GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出曲線和實驗的實際輸出曲線還是比較接近的，磁場強(qiáng)度增加階段的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差最大為-1.38×10-5，下降階段的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差最大為-2.39×10-5，這個精度還是比較高的，在實際工程應(yīng)用中，可以將GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出用作GMM的期望輸出。

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性逼近

2.1 BP網(wǎng)絡(luò)算法理論基礎(chǔ)

假設(shè)一個含有隱含層的3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入層節(jié)點為xi，隱層節(jié)點為yj，輸出節(jié)點為zl，θ為閾值函數(shù)，f為輸入和輸出之間的傳遞函數(shù)，輸入節(jié)點與隱層節(jié)點間的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值為wj i，隱層節(jié)點與輸出節(jié)點間的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值為vl j，輸出節(jié)點的期望值為tl，則模型的計算公式為：

其中：

輸出節(jié)點的輸出為：

其中：

輸出節(jié)點的誤差為：

假設(shè)輸入為磁場強(qiáng)度H，輸出為GMM應(yīng)變ε，則式（7）可變?yōu)椋?/p>

其中：

式（11）變?yōu)椋?/p>

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)磁滯曲線擬合

在該部分，筆者同樣將磁滯曲線分為磁場強(qiáng)度增加階段和磁場強(qiáng)度減小階段兩部分，網(wǎng)絡(luò)所用訓(xùn)練數(shù)據(jù)、測試數(shù)據(jù)與1.2節(jié)相同，網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點個數(shù)為5，輸出層節(jié)點個數(shù)為1，網(wǎng)絡(luò)的輸出如圖7～圖10所示。

圖7 磁場強(qiáng)度增加階段BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出

圖8 磁場強(qiáng)度增加階段BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差

圖9 磁場強(qiáng)度減小階段BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出

圖10 磁場強(qiáng)度減小階段BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差

從圖7～10中可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出和實驗實際輸出相比，還是存在一定誤差的，磁場強(qiáng)度增加階段的最大網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差為-7.18×10-5，磁場強(qiáng)度減小階段網(wǎng)絡(luò)的最大預(yù)測誤差為-5.83×10-5，預(yù)測精度比GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)略差。不過和J-A模型仿真曲線相比，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出還是更接近于實驗曲線，因此，在精度要求不是非常高的場合，可以用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出來代替GMM的期望輸出。

3 GRNN和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的對比分析

為了便于觀察最佳擴(kuò)展系數(shù)下的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果，本研究對GRNN和BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測對比分析，結(jié)果如圖11所示。

圖11 GRNN和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測對比分析

從圖11中可以看出，總體上來講GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果還是令人滿意的，和J-A模型理論曲線相比，兩種網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測都更接近于試驗曲線。不過在磁場強(qiáng)度比較大的部分，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測還存在較大誤差。

為了更好地區(qū)別BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和優(yōu)化后的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)間的擬合能力，這里再給出另一張Calkins試驗曲線的擬合圖，如圖12、圖13所示。

從圖12、圖13中可以看出，優(yōu)化后的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力明顯好于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

圖12 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出

圖13 GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出

4 結(jié)束語

本研究用優(yōu)化的廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GRNN和前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)BP分別對GMM的磁滯曲線進(jìn)行了非線性擬合，并對兩種擬合方法進(jìn)行了對比，從對比中可以看出，兩種網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測都取得了令人滿意的效果。另外，采用循環(huán)算法求解SPREAD值的GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精度要略高些，不管是在加磁階段，還是在退磁階段，GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差都要低于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該研究可以為GMM的廣泛應(yīng)用提供很好的指導(dǎo)。

不過，GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的光滑性能（內(nèi)退和外插能力）略差，因此，筆者將在未來的研究中，繼續(xù)探索怎樣更進(jìn)一步優(yōu)化和改進(jìn)GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

（References）：

[1] 盧全國.基于GMM的微致動研究及應(yīng)用[D].武漢：武漢理工大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，2007.

[2] 董長虹.Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2007.

[3] CINCOTTI S，MARCHESI M，SERRI A.A neural network model of parametric non-linear hysteretic inductors[J].IEEE Transactions on Magnetics，1998，34（2）：3040-3043.

[4] VECCHIO P D，SALVINI A.Neural network and fourrier descriptor macromodelin-g dynamic hysteresis[J].IEEE IEEE Transactionson Magnetics，2000，36 （4） ：1246-1249.

[5] MINCHEV S V.Neural networks for modeling of dynamic systems with hysteresis[C]//First International IEEE Sympo?sium"Inteligent Systems"，2002：42-47.

[6] MAKAVEEV D，DUPRE L，DE W M，et al.Dynamic hyster?esis modeling using feedforward neural network[C]//In 15th Solft Magnetic Confenence Abstract，Bilbao，2003：256-258.

[7] 李貴存，劉萬順，宮德鋒，等.用于磁化曲線擬合的高精度混合型徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[J].電網(wǎng)技術(shù)，2001，25（12）：18-21.

[8] 史 峰，王小川，郁 磊，等.MTALAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)30個案例分析[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010.

[9] CALKINS F T，SMITH R C.Energy-based hysteresis mod?el for magnetostrictive transducers[J].IEEE Transactions on Magnetics，2000，36（2）：429-439.

[10] CLARK A E.Magnetostrictive Rare Earth-Fe2Compounds，in Ferromagnetic Materials[M].E.P.Wohlfarth，Norh-Hol?land，Amsterdam，1980.

[11] JILES D C.Theory of the magnetomechanical effect[J].Journal of physics D:Applied physics，1999，32（15）：1537-1546.