濾除衰減直流分量的改進傅氏算法探討

高子林，曹龍漢，姜 坤

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州 510006;2.重慶郵電大學(xué)，重慶 400065)

0 引言

電力系統(tǒng)微機保護裝置通過獲取一次設(shè)備的電壓、電流及功率等實時信息及時響應(yīng)運行過程中狀態(tài)的變化，迅速準(zhǔn)確地做出保護反應(yīng)，消除或降低故障引起的嚴(yán)重后果。當(dāng)電力系統(tǒng)發(fā)生故障時，其暫態(tài)信號中除了含有基波分量以外，還含有諧波分量和具有不確定幅值和衰減時間常數(shù)的衰減直流分量，造成電流測量誤差顯著增大，超過5%～10%，使短路保護和過流保護功能的控制精度受到較大影響［1］。

傳統(tǒng)的交流采樣方法主要是全波傅氏算法和半波傅氏算法。在系統(tǒng)發(fā)生故障時，故障暫態(tài)過程中系統(tǒng)頻率可能會發(fā)生偏移，且信息含有諧波分量和衰減直流分量。由于衰減直流分量是典型的非周期分量，其頻譜為連續(xù)譜，從而與基頻分量頻譜混淆，在計算信號的基頻分量時產(chǎn)生較大的誤差［10］。

已有大量文獻(xiàn)對傅氏算法進行改進，以消除衰減直流分量的影響。其中基于全波傅氏算法的有:文獻(xiàn) ［2］通過增加兩個采樣點，計算并消去直流衰減分量值;文獻(xiàn) ［3］僅增加一個采樣點，通過兩次非遞歸消去直流衰減分量的影響;文獻(xiàn) ［4］不需要增加采樣點且在未知衰減時間常數(shù)的情況下就可全完濾除衰減直流分量，但是每基頻周期的采樣點數(shù)必須為4的正整數(shù)倍;文獻(xiàn) ［5］通過分析衰減直流分量在傅里葉快速算法結(jié)果的變化規(guī)律，對計算結(jié)果進行修正，從而消除衰減直流分量;文獻(xiàn) ［6］通過傅里葉算法及其改進算法對故障波形進行濾波處理，但是該算法只能消除直流分量和整次諧波分量，沒有考慮非整次諧波的影響?；诎氩ǜ凳纤惴ǖ挠?文獻(xiàn) ［7］基于信號中偶次諧波得到衰減直流分量傅氏變換下實虛部的關(guān)系，通過建立方程組能濾除衰減直流分量和特定次偶次諧波;文獻(xiàn) ［8］利用半波傅氏算法計算基波實部，用Mann－Morrison算法計算基波虛部。該算法的數(shù)據(jù)窗為半周波加一個采樣點，算法易于實現(xiàn)，適用于繼電保護實時動作;文獻(xiàn) ［9］利用窄帶濾波算法對低頻和高次諧波有良好的抑制作用，將基于窄帶通濾波與半波傅里葉算法相結(jié)合，其濾波效果明顯優(yōu)于半波傅里葉算法。

本文在前人的基礎(chǔ)上，旨在通過提出一種新的濾除衰減直流分量的方法，改進傅里葉變換。通過算例仿真，驗證了本方法的準(zhǔn)確性。

1 全波傅氏算法的基本原理

在電力系統(tǒng)發(fā)生故障時，故障暫態(tài)信號包含:基波分量、諧波分量和具有不確定幅值和衰減率的衰減直流分量，故障信號模型表示如式 (1):

式中:an=Ansinφn;bn=Ancosφn;A為衰減直流分量的初始幅值;τ為直流衰減分量的時間常數(shù)。

對于n次諧波的傅里葉變換如式 (2)、(3):

式中:T為基頻分量的周期。經(jīng)采樣后，連續(xù)量變?yōu)殡x散量，積分變?yōu)榍箅x散和:

式中:N為一個周期T中的采樣數(shù);k為從故障開始時的采樣點序號。離散情況下有:

可求得n次諧波的幅值和初相角為

若采樣信號中不含衰減直流分量，則求得的幅值和相角都是真實值，以上即為推導(dǎo)過程。但是實際中采樣信號存在衰減直流分量，利用全波傅氏算法進行分析計算，則會產(chǎn)生較大的誤差，具體分析如式 (9)、(10):

式中:a和b為信號中基波和各次諧波分量通過全波傅氏算法得到的實部分量和虛部分量，即理想值;δa和δb為衰減直流分量通過全波傅氏算法得到的實際值與理想值之間的偏差，即誤差值。為了提高全波傅氏算法在信號含衰減直流分量的情況下仍能具有良好的計算精度，就必須對全波傅氏算法進行改進，即消除δa和δb的影響。

2 全波傅氏算法的改進

由上面的推導(dǎo)可以看出，傅氏算法的基礎(chǔ)是假定輸入信號是周期函數(shù)，可以分解為整倍數(shù)頻率的分量之和，其中包括恒定的直流分量。但是實際電力系統(tǒng)中，輸入的非周期分量包含的是衰減直流分量。當(dāng)截取一個數(shù)據(jù)窗的寬度，利用衰減直流分量作為輸入信號，對其進行頻譜分析，得到的是連續(xù)的，包含基頻分量的頻譜。如果進一步做周期延拓，其也可分解為傅氏級數(shù)，同樣包含有基頻、倍頻以及直流分量。目前，微機保護中的電氣信號檢測算法大多也是針對周期信號設(shè)計的，它們會因衰減非周期分量的存在而產(chǎn)生相當(dāng)大的誤差。

2.1 衰減直流分量產(chǎn)生的原因與時間常數(shù)的求解

2.1.1 衰減直流分量產(chǎn)生的原因

電力系統(tǒng)中衰減直流分量的產(chǎn)生的原因在于，系統(tǒng)中存在電磁慣性的電抗與電容。假設(shè)不考慮電容且系統(tǒng)在t=0 s出現(xiàn)短路故障為對稱短路，則任意一相的電流瞬時值應(yīng)該滿足微分方程式(11):

這是一個一階常系數(shù)、線性非齊次常微分方程，其解的形式為

2.1.2 時間常數(shù)的求解

故障信號的模型為

式中:I0e－t/τ為衰減直流;基波及各次諧波信號，對系統(tǒng)I(t)同步采樣，每周期采樣點數(shù)為N，采樣周期即為基波周期，20 ms。將式(13)離散化后可得:

根據(jù)三角函數(shù)的正交性，則有:

引入N+1這個采樣點，則同理可知:

2.2 算法的改進原理

目前針對減小衰減直流分量的方法主要包括兩種，一種是研究不受非周期分量影響或影響較小的算法，比如最小二乘法以及小波變換法等;第二種是對算法進行校正。本文利用對交流采樣序列值進行修正，以求剔除其中所含的非周期分量，原理如下:

一個工頻周波內(nèi)采樣N+1個點，采樣序列為i(0)，i(1)，i(2)…i(N － 1)，i(N)…，則下面等式成立:

考慮ia(t)的周期性，所以

所以

這樣，消除了衰減直流分量的新的采樣值為

2.3 改進算法濾波步驟

濾波步驟簡述如下:

Step 1:根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)窗數(shù)據(jù)利用全傅里葉變換得到an與bn;

Step 2:利用式 (14)計算出時間常數(shù)τ;

Step 3:利用式 (15)求出直流分量;

Step 4:根據(jù)式 (16)得到濾除直流分量后的an與bn。

3 算例分析與驗證

為了驗證本算法對衰減直流分量的有效性，設(shè)暫態(tài)電流信號為

假設(shè)時間常數(shù) τ為50 ms，w=100 π，采樣頻率T=12點/周，則故障后的電流暫態(tài)波形如圖1所示，對于既不知時間常數(shù)τ，又不知衰減直流分量幅值的實際情況，則按照2.3所示的步驟進行計算。

利用式 (15)以及 (16)，濾除直流分量，得到波形如圖 (2)。

圖1 故障后的電流暫態(tài)波形Fig.1 Transient waveforms of fault current

圖2 濾除直流分量后的暫態(tài)電流波形Fig.2 Transient waveforms of fault current after filtering out the DC component

從圖2的仿真結(jié)果來看，將其與圖1對比，本文算法能很好的過濾掉衰減直流分量，雖也有誤差，但是相對很小。誤差來源e－t/τ用泰勒式子展開，只取前兩項的值。通過提高采樣頻率T能夠減少這種誤差，但是相對也會增大時間消耗。

取不同的時間常數(shù)τ，然后仿真出不同時間常數(shù)下的各周期分量的仿真值，結(jié)果如表1。

表1 不同時間常數(shù)下的仿真結(jié)果Tab.1 Simulation results under different time constants

4 結(jié)論

本文提出的對交流采樣序列值進行修正的改進傅氏算法，保留了全波傅氏算法的濾波功能，又增加了對衰減直流分量的過濾作用，能有效抑制非周期直流衰減分量的影響。該方法與以往濾除非周期分量的其它方法相比，其特點為不針對某一特定算法，而對所有算法均適用。在微機保護中，采用本方法對采樣值進行修正，可顯著減小非周期分量對計算的影響，并且實現(xiàn)簡單，計算量較小。通過仿真計算證實了本文方法的可行性和有效性。

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