MTMD 在鋼箱梁懸索橋高階渦激振動控制中的應(yīng)用＊

黃智文，陳政清

（湖南大學(xué)風(fēng)工程研究中心，湖南 長沙 410082）

引 言

渦激共振是大跨度鋼橋在低風(fēng)速下容易出現(xiàn)的一種風(fēng)致振動現(xiàn)象。它雖然不像顫振一樣會對結(jié)構(gòu)造成災(zāi)難性的破壞，但會影響行車的舒適和安全，頻繁發(fā)生的渦振甚至?xí)饦?gòu)件的疲勞破壞。在大跨度橋梁抗風(fēng)穩(wěn)定性得到保證后，渦激共振問題越來越受到重視。大跨度鋼箱梁懸索橋模態(tài)密集，在常遇風(fēng)速下存在多個模態(tài)發(fā)生渦激振動的可能。以已建成的的跨度1 650m的西堠門大橋為例，在0．5 Hz以下分布有10個豎向振動模態(tài)，按斯托羅哈數(shù)St為0．11估算的起振風(fēng)速都在25m／s以下。

目前，渦激振動控制主要有氣動措施和機械措施兩種手段。氣動措施是通過調(diào)整加勁梁斷面的氣動外形，如增加導(dǎo)流板和風(fēng)嘴，調(diào)整欄桿、檢修道等附屬設(shè)施的外形和位置等，達到抑制渦振的目的。機械措施是指在結(jié)構(gòu)上安裝被動或者主動耗能減振裝置達到振動控制的目的。丹麥Great East Belt Bridge引橋［1］，日本 Trans－Tokyo Bay Bridge［2］，巴西 Rio－Niteroi Bridge［3］，均采用 TMD 作為渦激振動控制的手段，但都以控制低階豎彎渦激振動為目的。文獻［4］研究了斜拉橋一階豎彎渦振控制的TMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，考慮了渦激氣動力的氣動阻尼和氣動剛度效應(yīng)，計算結(jié)果表明渦激力的氣動阻尼和氣動剛度效應(yīng)會影響TMD的最優(yōu)頻率比和阻尼比，TMD能達到的最大減振效果要小于不考慮氣動阻尼和氣動剛度效應(yīng)時TMD的最優(yōu)理論控制效果。注意到氣動阻尼和氣動剛度效應(yīng)實質(zhì)上是對TMD減振效果的一種干擾作用，這一結(jié)論正好說明了傳統(tǒng)TMD設(shè)計缺乏必要的魯棒性。

多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（MTMD），是指質(zhì)量、頻率和阻尼都各自分布在一定范圍的一組TMD。從MTMD控制理論提出，已有眾多學(xué)者研究了MTMD的控制理論和優(yōu)化設(shè)計方法［5～8］，研究表明MTMD比TMD具有更高的減振效率和魯棒性。文獻［9］中把MTMD控制理論應(yīng)用于橋梁抖振控制，但MTMD在渦激振動控制中的應(yīng)用卻鮮見于文獻。

懸索橋加勁梁高階豎彎振型存在多個波峰和波谷，因此更有利于TMD的分散布置，減小單個TMD的質(zhì)量。渦激氣動力的氣動阻尼和氣動剛度效應(yīng)，以及橋梁正常運營時的活載作用都會造成橋梁固有頻率或固有阻尼比的改變，進而導(dǎo)致TMD的減振效率降低。對分散布置的多個TMD按MTMD理論進行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，可以利用MTMD良好的魯棒性使一組TMD的減振效率保持在穩(wěn)定的范圍。鑒于此，本文以一個已建好的大跨度分體鋼箱梁懸索橋為工程背景，討論MTMD控制理論在大跨度鋼箱梁懸索橋單階豎彎渦激振動控制中的應(yīng)用，并比較了MTMD與STMD系統(tǒng)在減振效率和魯棒性方面的特點。

1 STMD方案與MTMD方案

本文以某已建成懸索橋加勁梁第5階豎彎渦激振動為受控模態(tài)，討論MTMD在豎彎渦激振動中的應(yīng)用。該橋第5階豎彎模態(tài)的固有頻率為0．229 9Hz，實測值與理論值接近［10］，模態(tài)阻尼比近似取為規(guī)范建議值0．5%。

首先建立該橋的有限元模型，進行模態(tài)分析得到以無量綱坐標(biāo)形式表示的加勁梁第5階豎彎模態(tài)中跨振型圖，如圖1所示。

圖1 加勁梁第5階豎彎中跨振型Fig．1 The 5th vertical mode of the girder in main span

可以看出，在加勁梁第5階豎彎振型中，中跨有3個波峰，如A，B，C所示，波峰振型向量值約為1；有兩個波谷，波谷振型向量值約為0．8。3個波峰位于跨中和1／10跨徑處。本文從盡量提高效率和減小單個TMD質(zhì)量，并使TMD盡量分散布置的角度出發(fā)，給出了如圖2所示的MTMD布置方式。

圖2 TMD在加勁梁上的布置Fig．2 Layout of TMDs in the girder

TMD共分為6小組，分體箱梁左右兩箱各3小組，分別位于3個波峰位置?？紤]到單個TMD所需的空間，每一組中TMD的間距取為9m，與懸索橋吊桿之間的間距相同。如果這一組24個TMD均按照統(tǒng)一參數(shù)設(shè)計，本文稱為STMD方案；如果應(yīng)用MTMD參數(shù)優(yōu)化理論將TMD按不同參數(shù)設(shè)計，本文稱為MTMD方案。

2 基于渦激振動控制的MTMD參數(shù)優(yōu)化理論

2．1 渦激力模型

為了實現(xiàn)MTMD的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，需要選擇合適的渦激力模型，然后通過求解加勁梁－MTMD系統(tǒng)的運動方程，得到加勁梁和各TMD的位移頻響函數(shù)。本文采用Scanlan提出的經(jīng)驗線性渦激力模型，經(jīng)驗線性模型假定一個線性機械振子給予氣動激振力、氣動阻尼力以及氣動剛度［11］，表示為

式中K1＝Bωs／U，ωs表示結(jié)構(gòu)固有頻率，Y1，Y2，CL，θ為待擬合的參數(shù)，須通過節(jié)段模型風(fēng)洞試驗擬合。渦激力模型中氣動阻尼項和氣動剛度項對MTMD參數(shù)設(shè)計的影響在于它們會引起結(jié)構(gòu)阻尼比和固有頻率的改變，但從本文第4節(jié)的分析中可以看到MTMD的最優(yōu)參數(shù)對結(jié)構(gòu)固有阻尼比并不敏感，且MTMD的控制魯棒性好，當(dāng)結(jié)構(gòu)固有頻率發(fā)生較大改變時，MTMD的減振效率依然可以保持在穩(wěn)定的范圍。因此，從簡化MTMD參數(shù)優(yōu)化的角度看可以在先不考慮氣動阻尼項和氣動剛度項的條件下推導(dǎo)出加勁梁的位移頻響函數(shù)，再以加勁梁位移頻響函數(shù)峰值極小值為目標(biāo)函數(shù)，利用基于Matlab的遺傳算法實現(xiàn)MTMD的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。

在不考慮氣動阻尼項和氣動剛度項的情況下，Scanlan經(jīng)驗線性渦激力模型可以簡化為簡諧激勵的形式如下

如果偏安全地認為渦激力沿橋跨方向的展項相關(guān)系數(shù)為1，則F即作用在結(jié)構(gòu)單位長度上的渦激力。

2．2 加勁梁－MTMD系統(tǒng)的頻響函數(shù)

當(dāng)加勁梁發(fā)生某階模態(tài)下的渦激共振時，在特定風(fēng)速下CL（K1）為一定值，F(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)的簡諧荷載，因此加勁梁－MTMD系統(tǒng)的運動方程是一個典型的簡諧荷載激勵下的多自由度系統(tǒng)振動方程。通過模態(tài)疊加方法可得到加勁梁－MTMD系統(tǒng)模態(tài)振動方程，該方程的具體表達形式在文獻［7］中有詳細論述，由于篇幅限制在此不做介紹。

文獻［5，9］分別給出了簡諧荷載激勵下單一振型主結(jié)構(gòu)－MTMD系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)，對于加勁梁有

對于第i個TMD有

其中，β＝f／fs，表示激勵頻率與加勁梁固有頻率的比值。特別地，對于渦激振動β表示漩渦脫離頻率與結(jié)構(gòu)受控模態(tài)頻率的比值；αi＝f／fi，表示激勵頻率與第i個TMD固有頻率的比值；ζti表示第i個TMD的阻尼比，ζs表示加勁梁某階模態(tài)的固有模態(tài)阻尼比；N表示TMD的個數(shù)；μi＝Mti／Ms表示第i個TMD和加勁梁受控豎彎模態(tài)的廣義質(zhì)量比。

其中，

式（3）～（8）構(gòu)成了基于渦激振動控制的 MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的理論基礎(chǔ)。

3 基于遺傳算法的MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

3．1 目標(biāo)函數(shù)的確定

進行渦激振動控制的目的是減小結(jié)構(gòu)的最大渦振振幅，因此可以選擇加勁梁位移頻響函數(shù)峰值的極小值作為MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。而TMD的位移頻響函數(shù)峰值決定了TMD振動時的最大行程，是衡量TMD性能的一個重要指標(biāo)。因此，在對MTMD進行初步參數(shù)優(yōu)化后，應(yīng)考慮適當(dāng)增加TMD的阻尼比，保證每個TMD的行程都在條件允許的范圍。但在本文的MTMD參數(shù)優(yōu)化過程中并不把TMD的阻尼比作為參數(shù)優(yōu)化的約束條件。

3．2 MTMD的設(shè)計參數(shù)

MTMD的設(shè)計參數(shù)包括MTMD的總質(zhì)量與結(jié)構(gòu)受控振型的模態(tài)質(zhì)量比μtot、質(zhì)量分布方式、MTMD的數(shù)量、MTMD的頻率范圍和分布方式、MTMD的阻尼比和分布方式以及MTMD的中心頻率比。

MTMD的模態(tài)總質(zhì)量越大，能達到的減振效果就越好。對于實際工程，要根據(jù)減振要求和工程預(yù)算來確定MTMD的總質(zhì)量。本文僅從一般化的角度出發(fā)，討論在給定質(zhì)量比的前提下進行MTMD的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，工程上一般取μtot＝∑Mti／Ms＝1%。該懸索橋第5階豎彎模態(tài)質(zhì)量Ms＝18 548．58t，所以 MTMD的總質(zhì)量取為185．49t，單個TMD的平均質(zhì)量為7．729t；MTMD的頻率分布范圍FR的區(qū)間取 ［0，0．1］，MTMD的阻尼比的區(qū)間?。?，0．2］，MTMD中心頻率比的區(qū)間?。?．9，1．0］。值得注意的是，由于渦激共振中存在鎖定現(xiàn)象，激勵頻率與加勁梁固有頻率的比值β總是約等于1，但考慮到安裝MTMD后結(jié)構(gòu)位移頻響函數(shù)峰值會從β＝1的位置發(fā)生小幅偏離，因此本文偏安全地把β的區(qū)間取為［0．9，1．1］。

考慮到實際工程的可行性，每個TMD的剛度和阻尼比都設(shè)計成相同［7，9］，單個TMD的質(zhì)量由其頻率和剛度確定；在MTMD中心頻率比確定的前提下，TMD的頻率按等差數(shù)列分布［9］。

3．3 基于遺傳算法的MTMD的優(yōu)化參數(shù)

MTMD的參數(shù)優(yōu)化問題實際上是一個有約束條件的多變量非線性函數(shù)優(yōu)化問題。遺傳算法是一種基于生物進化理論的隨機搜索算法，被廣泛的應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化，多目標(biāo)規(guī)劃等領(lǐng)域。文獻［12］運用遺傳算法，以MTMD的減振效率和魯棒性為雙目標(biāo)函數(shù)，進行了MTMD的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。本文運用Matlab遺傳算法工具箱［13］，以加勁梁位移頻響函數(shù)峰值的極小值為目標(biāo)函數(shù)，對 MTMD進行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，程序簡單、計算效率高。由于遺傳算法的初始參數(shù)對參數(shù)優(yōu)化結(jié)果及解的收斂速度有較大影響，本文通過分析多組初始參數(shù)條件下MTMD的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，最終確定了如表1所示的遺傳算法初始參數(shù)。同時，為了使參數(shù)優(yōu)化結(jié)果盡可能靠近全局最優(yōu)解，運用遺傳算法進行了30次運算，取其中的最優(yōu)解作為MTMD的最終參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，如表2所示。為了方便下文闡述，把遺傳算法得到的優(yōu)化參數(shù)稱為初始優(yōu)化參數(shù)。

表1 遺傳算法參數(shù)Tab．1 Parameters of Genetic Algorithm

表2 MTMD優(yōu)化參數(shù)Tab．2 The optimal parameters of MTMD

STMD系統(tǒng)的總質(zhì)量與MTMD的總質(zhì)量相同，系統(tǒng)中每個TMD的質(zhì)量、頻率比和阻尼比保持一致，顯然，STMD系統(tǒng)下加勁梁位移頻響函數(shù)仍然可以用式（3）～（8）表示，用遺傳算法進行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，得到STMD參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 STMD優(yōu)化參數(shù)Tab．3 The optimal parameters of STMD

由表2和3比較可知，MTMD的位移頻響函數(shù)峰值比STMD方案小17．7%，這說明MTMD的減振效率要高于STMD；MTMD的中心頻率比和STMD的優(yōu)化頻率比非常接近，但MTMD的中心頻率比更靠近1；MTMD的頻率分布范圍FR＝0．032 9，與結(jié)構(gòu)固有頻率的比值約為14%；從優(yōu)化阻尼比看，MTMD的最優(yōu)阻尼比遠小于STMD的最優(yōu)阻尼比，這對TMD的制造也是有利的。

4 MTMD魯棒性分析

4．1 結(jié)構(gòu)固有頻率波動對位移頻響函數(shù)峰值的影響

MTMD的魯棒性是指MTMD的減振效率對各種影響因素的敏感程度。影響因素主要包括受控模態(tài)固有頻率的變化和受控模態(tài)固有阻尼比的變化。本節(jié)以第3節(jié)求得的初始優(yōu)化參數(shù)為基礎(chǔ)，進一步討論結(jié)構(gòu)固有頻率和固有阻尼比變化對MTMD減振效率的影響，分析MTMD的控制魯棒性。

圖3 結(jié)構(gòu)固有頻率波動與MTMD魯棒性分析Fig．3 Comparison of robustness against error in structural natural frequency between MTMD and STMD

圖3（a）和（b）表示分別調(diào)整 MTMD的頻率范圍和阻尼比時MTMD的位移頻響函數(shù)峰值隨結(jié)構(gòu)固有頻率波動的變化情況。從圖3（a）可以看出，初始優(yōu)化的MTMD在結(jié)構(gòu)固有頻率波動－4%～2%的范圍減振效率要高于STMD，但MTMD的位移頻響函數(shù)峰值隨結(jié)構(gòu)固有頻率波動的曲線比STMD的要陡，這說明初始優(yōu)化條件下MTMD的控制魯棒性不如STMD。當(dāng)把MTMD的頻率分布范圍分別擴大到原來的1．5倍、2倍和3倍時，結(jié)構(gòu)位移頻響函數(shù)峰值曲線均趨于平緩，這說明MTMD的魯棒性得到了提高。需要注意的是，并不是MTMD的頻率分布范圍越大其魯棒性就越好，可以看到當(dāng)MTMD的頻率分布范圍約為原來的2倍時MTMD的魯棒性最好，但控制效率下降較多；而當(dāng)MTMD的頻率分布范圍為原來的1．5倍時，MTMD在控制效率和控制魯棒性上都可以取得較好的效果，能夠很好地滿足渦激振動控制的需要。

從圖3（b）可以看出，增加MTMD的阻尼比也能提高MTMD的魯棒性，例如當(dāng)MTMD的阻尼比增加到最優(yōu)阻尼比的3倍時，在－10%～10%的結(jié)構(gòu)固有頻率波動范圍MTMD的控制效率都要優(yōu)于STMD，且控制魯棒性也比STMD好。此外，通過比較圖3（a）與（b）容易發(fā)現(xiàn)，用增加阻尼比的方法來提高MTMD的魯棒性效果遠不如增加MTMD的頻率分布范圍明顯。通過圖3（b）也可以推斷，STMD的魯棒性也會隨著其阻尼比的增加而增加，但與MTMD相比，以這種方式提高STMD的控制魯棒性是相對困難的，也會增加TMD的制作難度。但對MTMD而言，增加阻尼比對其自身是有益的，因為MTMD的優(yōu)化阻尼比很小，可能會導(dǎo)致其行程過大。因此，MTMD的最終設(shè)計參數(shù)應(yīng)該在初始優(yōu)化參數(shù)的基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)財U大MTMD的頻率分布范圍，并適當(dāng)增加其阻尼比，具體參數(shù)的選取還需要從實際工程條件和需求出發(fā)。

4．2 結(jié)構(gòu)固有阻尼變化對位移頻響函數(shù)峰值的影響

圖4（a）和（b）分別反映了當(dāng)結(jié)構(gòu)固有阻尼比在0～0．1之間變化時，調(diào)整MTMD頻率分布范圍和調(diào)整MTMD阻尼比對結(jié)構(gòu)位移頻響函數(shù)峰值的影響。從圖4（a）中可以看出，結(jié)構(gòu)的固有阻尼比越小、MTMD頻率分布范圍越大，對MTMD控制效率的不利影響就越大。例如，以結(jié)構(gòu)固有阻尼比為0．5%設(shè)計的MTMD對結(jié)構(gòu)阻尼比在0～0．5%范圍波動的相同結(jié)構(gòu)都有良好的控制效果。但如果把MTMD的頻率分布范圍擴大到原來的1．5倍或2倍，結(jié)構(gòu)位移頻響函數(shù)峰值就會有較大幅度地增加，即MTMD的減振效率會有所降低。

從圖4（b）中可以看出，MTMD的阻尼比對其控制魯棒性影響較小，即使MTMD的優(yōu)化阻尼比擴大到原來的2倍，它在結(jié)構(gòu)固有阻尼比為0～0．05的范圍仍可以保持很高的控制效率。

4．3 關(guān)于氣動阻尼項和氣動剛度項的討論

圖4 結(jié)構(gòu)固有阻尼變化與MTMD魯棒性分析Fig．4 Robustness of MTMD against variations in structural mechanical damping ratio

表4 結(jié)構(gòu)固有阻尼比與MTMD優(yōu)化參數(shù)Tab．4 Mechanical damping ratios and optimal parameters of MTMD

線性渦激力模型中的氣動阻尼項和氣動剛度項對MTMD振動控制方程的影響在于它們分別改變了受控系統(tǒng)的固有阻尼比和固有頻率，從而使MTMD的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果發(fā)生變化。表4列出了不同結(jié)構(gòu)固有阻尼比對應(yīng)的MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計值。表中結(jié)構(gòu)固有阻尼比的范圍只取0～0．02，這是因為會發(fā)生渦激振動的結(jié)構(gòu)其固有阻尼比往往很低，一般都在0．5%以下。若氣動阻尼為負阻尼則結(jié)構(gòu)的總阻尼下限為0，若氣動阻尼為正阻尼這里取其上限值為0．02。容易看出，MTMD的優(yōu)化設(shè)計參數(shù)對結(jié)構(gòu)固有阻尼比并不敏感，在結(jié)構(gòu)固有阻尼比為0～0．02的范圍，MTMD的最優(yōu)頻率分布范圍、最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)中心頻率比的波動均在10%以內(nèi)，如果從波動的絕對值看波動就更小。這說明對于渦激振動控制，在進行MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時不考慮氣動阻尼對結(jié)構(gòu)固有阻尼比的干擾是可行的。

至于氣動剛度項對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，通常認為是可以忽略的［14，15］，即在渦振振幅達到最大值時氣動剛度參數(shù)Y2總是約等于0，文獻［4］的參數(shù)識別結(jié)果可以說明這一點。而且，適當(dāng)?shù)卦黾覯TMD的頻率分布范圍或提高MTMD的阻尼比就可以顯著地提高其對結(jié)構(gòu)固有頻率波動的魯棒性。因此，在進行MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時不考慮氣動剛度項也是合理的。需要說明的是，雖然在進行參數(shù)優(yōu)化時可以不考慮渦激力中的氣動阻尼和氣動剛度項，但要精確計算MTMD的減振效率仍然需要先通過節(jié)段模型風(fēng)洞試驗對線性渦激力模型進行參數(shù)識別，得到氣動阻尼、氣動剛度和強迫力項。

5 結(jié) 論

本文以一座已建懸索橋為算例，討論MTMD在懸索橋單階豎彎渦激振動控制中的應(yīng)用。對TMD在加勁梁上的同一組布置方式，定義了STMD和MTMD兩種方案，從渦激振動控制效率和魯棒性兩方面進行對比研究。計算結(jié)果表明，在進行MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時忽略線性模型中的氣動阻尼和氣動剛度項是可行的，適當(dāng)?shù)卦黾覯TMD的最優(yōu)頻率分布范圍和阻尼比可以使其在減振效率和魯棒性兩方面獲得更好的平衡，更適合懸索橋高階豎彎渦激振動控制。

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