平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人動力學(xué)建模與分析＊

張清華，張憲民

（華南理工大學(xué)廣東省精密裝備與制造技術(shù)重點實驗室，廣東 廣州 510640）

引 言

為了節(jié)約能源，提高工業(yè)生產(chǎn)率，輕型、高速、高加速度、高精度柔性并聯(lián)機器人在許多領(lǐng)域得到廣泛地應(yīng)用。柔性并聯(lián)機器人在諸如電子裝配、精密加工與測量、航空航天領(lǐng)域擁有巨大的市場潛力，因此開展柔性并聯(lián)機器人的研究具有十分重要的意義。

最近幾十年，各國學(xué)者廣泛開展了對并聯(lián)機器人的研究［1］。1965年，英國高級工程師Stewart提出了一種6自由度并聯(lián)機構(gòu)—Stewart平臺［2］，該平臺后來被用于飛行模擬實驗。隨后出現(xiàn)了一大批并聯(lián)機器人產(chǎn)品，其中最具代表性的是瑞士洛桑學(xué)院的Clavel在1988年開發(fā)的Delta機器人［1］。歷經(jīng)幾十年的發(fā)展，剛性并聯(lián)機器人的研究已取得了大量成果。然而柔性并聯(lián)機器人作為一種新型的、剛－柔混聯(lián)的機構(gòu)，多剛體動力學(xué)的研究方法已不再適用，建立和求解柔性并聯(lián)機器人的動力學(xué)模型是非常具有挑戰(zhàn)性的工作。

近年來，一些國內(nèi)外學(xué)者在柔性并聯(lián)機器人的動力學(xué)方面做了一些探索。胡俊峰、張憲民研究了一種新型兩自由度高速并聯(lián)機械手的彈性動力學(xué)特性［3］，采用簡化 KED（Kineto－Elastodynamic Analysis）方法建立了系統(tǒng)的動力學(xué)模型［4］。張憲民、劉濟科、沈允文等對連桿機構(gòu)的彈性動力學(xué)建模方法進(jìn)行了探索［5，6］，考慮剛體運動和彈性運動的耦合和剪切變形的影響，并具體分析了一款六桿機構(gòu)。杜兆才，余躍慶等對平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人進(jìn)行了分析［7］，采用KED方法建立其動力學(xué)模型，該模型沒有考慮剛體運動和彈性運動的耦合，對系統(tǒng)約束方程考慮不夠完全。劉增善在其博士論文中系統(tǒng)地研究了空間3－RRS柔性并聯(lián)機器人［8］，用簡化KED方法建立了柔性3－RRS并聯(lián)機器人動力學(xué)模型，并對動力學(xué)特性進(jìn)行了分析。多倫多大學(xué)機械與工業(yè)工程學(xué)院的非線性控制實驗室長期以來致力于并聯(lián)機器人的研究，其中 Wang Xiaoyun，Mills Jeams K等對平面3－PRR柔性并聯(lián)機器人進(jìn)行了系統(tǒng)地研究［9～12］，并取得了豐碩的成果。Shabana A A系統(tǒng)地闡述了剛－柔混聯(lián)機械系統(tǒng)的動力學(xué)建模方法［13］。張策、黃永強等詳細(xì)討論了彈性連桿機構(gòu)的建模和優(yōu)化設(shè)計問題［4］。

目前，國際上有關(guān)并聯(lián)機器人彈性動力學(xué)建模的研究尚處于起步階段，相關(guān)的理論還很不成熟。已有的研究結(jié)果也存在模型過于復(fù)雜難以求解、或未對模型作詳盡分析，不利于理解并聯(lián)機器人的動力學(xué)本質(zhì)特性，也難以在實際應(yīng)用中提出可有效改善其動態(tài)性能的具體策略或方法。

本文對平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人的彈性動力學(xué)問題進(jìn)行了研究，采用有限元法和Lagrange方程建立了系統(tǒng)剛－彈耦合非線性彈性動力學(xué)模型。在求解模型時，忽略彈性變形運動對剛體運動的影響，分析了平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人動平臺中心的彈性位移、彈性轉(zhuǎn)角以及柔性桿件所承受的最大應(yīng)力隨機器人位型的變化關(guān)系。

1 機器人結(jié)構(gòu)

平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人示意圖如圖1所示：系統(tǒng)由動平臺C1C2C3、靜平臺A1A2A3、3條連接動平臺和靜平臺的柔性支鏈A1B1C1，A2B2C2和A3B3C3組成，且3條支鏈?zhǔn)峭耆恢碌模碅1B1＝A2B2＝A3B3，B1C1＝B2C2＝B3C3，主動桿與從動桿、從動桿與動平臺之間用轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)連接，連桿A1B1，B1C1，A2B2，B2C2，A3B3和B3C3都是柔性桿件，A1，A2和A3是驅(qū)動關(guān)節(jié)，B1，C1，B2，C2，B3和C3是被動關(guān)節(jié)，O為正三角形靜平臺A1A2A3的中心，P為正三角動平臺C1C2C3的中心，O－XY為全局固 定 坐 標(biāo) 系，α1，β1，α2，β2，α3，β3分 別 為 連 桿A1B1，B1C1，A2B2，B2C2，A3B3，B3C3與X軸正方向所成的夾角，θ為正三角形C1C2C3的邊C1C2與X軸正方向所成的夾角。

圖1 并聯(lián)機器人示意圖Fig．1 Diagram of the parallel robot

2 單元動力學(xué)方程

圖2 單元動力學(xué)模型Fig．2 Dynamic model of beam element

將支鏈中的柔性連桿視為由梁單元組成，梁單元如圖2所示，O－XY為全局固定坐標(biāo)系，A－xy為固連于單元端點A處的局部坐標(biāo)系，且x軸沿著未變形梁單元的中性線。A，B為單元的兩個端點，C為單元中軸線上的任意一點，經(jīng)彈性變形后到達(dá)C′處，假設(shè)單元兩端點在局部坐標(biāo)系中的廣義彈性坐標(biāo)用向量ef＝［e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8］T表示，式中e1，e5為端點A，B的軸向變形位移，e2，e6為其橫向變形位移，e3，e7為其彈性轉(zhuǎn)角，e4，e8為兩端點處的曲率。那么點C′在局部坐標(biāo)系下的位移可以表示為

式中N（x）表示型函數(shù)。

由圖2可知，點C′在固定坐標(biāo)系O－XY中的位移為

在使用Lagrange方程導(dǎo)出單元動力學(xué)方程之前，首先計算單元的動能和彈性應(yīng)變能。

2．1 單元動能

1）平動動能

在求得單元上任意一點相對于固定坐標(biāo)系的速度后，單元的平動動能可以表示為

式中mm（q）為廣義坐標(biāo)向量q的函數(shù)。

2）梁單元截面轉(zhuǎn)動動能［4］

式中θ（x，t）是寬為dx的微段在真實運動中的絕對轉(zhuǎn)角，dJc＝ρIdx是微段dx繞其自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，且

假設(shè)單元兩端點處的集中質(zhì)量分別為mA，mB；集中轉(zhuǎn)動慣量分別為JA，JB。

3）集中質(zhì)量的平動動能［4］

集中質(zhì)量的平動動能可按如下方法計算：

則單元端點集中質(zhì)量的平動動能為

4）集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動動能［4］

類似于梁單元截面轉(zhuǎn)動動能，可求得集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動動能為

因此總的動能

式中m＝mm＋mcm＋mr＋mcr。

2．2 單元應(yīng)變能

忽略剪切和屈曲應(yīng)變能，根據(jù)材料力學(xué)，單元應(yīng)變能可以表示為

2．3 單元動力學(xué)方程

根據(jù)拉格朗日方程，可以導(dǎo)出單元的動力學(xué)方程

式中pe為單元所受廣義外力，pv為單元的的二次速度向量，包括運動單元的科氏力和離心力且是廣義坐標(biāo)q和˙q的函數(shù)。

利用虛功原理可以導(dǎo)出單元的廣義外力，設(shè)F為作用在單元上任意一點C′處的外力或外力矩，那么在外力F作用下的虛功可以表示為

根據(jù)式（2）有

把式（14）代入式（13）得

又有

比較式（15）和（16），可得點C′處的廣義外力為

因此整個單元的廣義外力為

為了形成系統(tǒng)動力學(xué)方程，必須把在局部坐標(biāo)系下描述的單元動力學(xué)方程轉(zhuǎn)移到固定坐標(biāo)系上來。首先，定義8×8階的固定坐標(biāo)系到局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)移矩陣B，則

式中Ef為單元在固定坐標(biāo)系下的廣義坐標(biāo)向量。

式（19）對時間t求1和2階導(dǎo)數(shù)

把式（19）和（20）代入式（12），并左乘矩陣

可得

3 約束方程

分析平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人，動平臺在XY平面內(nèi)自由運動。3條柔性支鏈通過剛性動平臺相連，使得各支鏈的彈性位移存在非線性耦合關(guān)系。因為系統(tǒng)是完全對稱的，僅對其中一條支鏈Ai－Bi－Ci－P進(jìn)行分析。如圖 3 所示，L1，L2，L3，L4分別為向量AiBi，BiCi，CiP，OAi的長度。

3．1 剛體運動約束

把式（22）寫成沿X，Y軸的分量形式，可得如下6個約束方程

圖3 支鏈Fig．3 The kinematic chain

式中XAi，YAi分別表示點Ai在固定坐標(biāo)系O－XY中沿X，Y軸的坐標(biāo)分量。

3．2 彈性坐標(biāo)約束

可得

式中 I表示2階單位矩陣。

同時動平臺彈性轉(zhuǎn)角與動平臺相連的柔性桿末端點的彈性轉(zhuǎn)角有如下的關(guān)系

4 系統(tǒng)動力學(xué)方程

設(shè)U是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)向量，考慮約束方程式（23）～（25），組裝單元動力學(xué)方程式（21），可得系統(tǒng)動力學(xué)方程為

上兩式中α＝［α1，α2，α3］T，U＝［U11，U12，…，U1n，…，U3n，ΔXP，ΔYP，Δε］T。

5 仿真計算

假設(shè)動平臺的運動軌跡為

所有柔性桿件和動平臺的材料都是硬鋁合金，彈性模量為E＝0．7×105MPa，泊松比μ＝0．3，密度ρ＝2 712kg／m3，彈性桿件的橫截面寬d＝0．04 m，高h(yuǎn)＝0．01m，動平臺厚c＝0．017 1m，L1＝AiBi＝0．245m，L2＝BiCi＝0．242m，L3＝CiP＝0．108m，L4＝AiP＝0．4m，i＝1，2，3，關(guān)節(jié)處的集中質(zhì)量和集中轉(zhuǎn)動慣量分別為0．15kg和0．000 5 kg·m2，假設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼ζ＝0．003，每根柔性桿件被劃分為3個梁單元，單元劃分和節(jié)點坐標(biāo)編號如圖3所示。

圖4 動平臺中心X方向彈性位移Fig．4 Xdirection elastic displacement of center of the moving platform

圖5 動平臺中心Y方向彈性位移Fig．5 Y direction elastic displacement of center of the moving platform

圖6 動平臺彈性轉(zhuǎn)角Fig．6 Angle of deflection of the moving platform

圖7 彈性連桿的最大應(yīng)力Fig．7 Maximal stress of the flexible links

采用KED假設(shè)，忽略機器人彈性變形運動對剛體運動的影響。用MATLAB軟件進(jìn)行仿真計算，并和簡化KED方法的計算結(jié)果進(jìn)行比較［4］。動平臺按式（29）給定的圓軌跡運動一周后停止。仿真結(jié)果如圖4～7所示，圖中0～0．2s時間段的曲線分別表示系統(tǒng)運動時動平臺中心沿X軸彈性振動位移、Y軸的彈性振動位移、動平臺的彈性轉(zhuǎn)角以及柔性連桿的最大應(yīng)力變化，0．2～0．8s時間段的曲線是系統(tǒng)運行一周后動平臺的殘余振動情況和柔性連桿的最大殘余應(yīng)力變化情況。其中虛線表示簡化KED方法的計算結(jié)果，實線表示本文方法的計算結(jié)果。從圖4～7可知：采用本文的建模方法，在X方向，動平臺中心的最大、最小彈性位移分別是0．916 4和－1．016mm；在Y方向，其最大、最小彈性位移分別是0．738 3和－0．797 8mm；動平臺的最大、最小彈性轉(zhuǎn)角分別是0．000 894 1和－0．001 087 rad；柔性連桿的最大應(yīng)力為75．05MPa。而采用簡化KED方法，在X方向，動平臺中心的最大和最小彈性位移分別是2．464和－2．316mm；在Y方向，其最大、最小彈性位移分別是1．943和－2．027mm；動平臺的最大、最小彈性轉(zhuǎn)角分別是0．000 924 6和－0．002 071rad；柔性連桿的最大應(yīng)力是167MPa。

分析圖4～6，可知兩種建模方法計算的彈性變形位移和柔性連桿的最大應(yīng)力相差很大，主要原因是本文的建模方法考慮了科氏加速度和牽連加速度中的剛體運動對彈性運動的影響，同時由于坐標(biāo)變換矩陣的時變性，從而引起系統(tǒng)的阻尼和剛度發(fā)生變化。同時還發(fā)現(xiàn)用本文的建模方法計算的彈性位移要小于簡化KED方法計算得到的結(jié)果，那是因為本文建模方法考慮了變換矩陣的時變性以及計入了剛體運動的科式力和離心力，導(dǎo)致廣義質(zhì)量、阻尼、剛度以及廣義外力矩陣發(fā)生變化，進(jìn)而使得彈性位移減少。因此在建立平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人動力學(xué)模型時，不能過分地簡化，科氏加速度等因素對系統(tǒng)彈性動力學(xué)特性的影響是至關(guān)重要的。比較發(fā)現(xiàn)，兩曲線的變換趨勢具有一致性，因此從定性分析層面講，簡化KED法具有一定的理論意義。

6 結(jié)束語

本文基于浮動坐標(biāo)系法、有限元方法以及拉格朗日方程和虛功原理建立了平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人的彈性動力學(xué)模型，該模型考慮了剛體運動和彈性變形運動的耦合，詳細(xì)考慮了剛體運動約束和彈性坐標(biāo)約束關(guān)系，所建立的模型是二階時變非線性耦合微分方程。結(jié)合具體實例，在給定動平臺運動軌跡的情況下，運用Matlab軟件求解了本文所建立的彈性動力學(xué)模型。在求解過程中，忽略了彈性變形運動對剛體運動的影響，計算了動平臺的彈性位移和彈性轉(zhuǎn)角和柔性連桿在不同位姿下的最大應(yīng)力。通過比較本文的建模方法與簡化KED方法，結(jié)果表明：剛體運動的科氏力和離心力以及坐標(biāo)變換矩陣的時變性對系統(tǒng)動力學(xué)特性有至關(guān)重要的影響。實驗平臺正在搭建之中，今后將結(jié)合實驗對平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人的彈性動力學(xué)建模作進(jìn)一步地研究。對系統(tǒng)的耦合特性作更深入地分析。

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