數(shù)控加工中非圓曲線輪廓的三圓弧逼近方法

金艷玲，楊東武，姚東成

(1.中航工業(yè)西安飛行自動(dòng)控制研究所，西安 710065;2.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安710071)

0 引言

目前，一般的數(shù)控機(jī)床只具備直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)功能。當(dāng)加工由雙曲線、橢圓、擺線等非圓曲線組成的平面輪廓時(shí)，就得用若干直線段或圓弧段去逼近其輪廓，并計(jì)算出逼近線段與非圓曲線的交點(diǎn)或切點(diǎn)，即插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)。采用直線段逼近非圓曲線，一般數(shù)學(xué)處理較簡(jiǎn)單，但節(jié)點(diǎn)計(jì)算時(shí)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)較多，且由于各節(jié)點(diǎn)連接處存在尖角，刀具在尖角處不能連續(xù)對(duì)零件進(jìn)行切削，導(dǎo)致零件表面出現(xiàn)硬點(diǎn)或刀痕，從而降低加工表面質(zhì)量。采用圓弧段逼近非圓曲線，不僅可大大減少程序段的數(shù)目，而且當(dāng)采用彼此相切的圓弧段來(lái)逼近非圓曲線時(shí)，能夠使工件表面整體光滑，有利于加工表面質(zhì)量的提高。

用圓弧逼近數(shù)控加工曲線的方法分為兩大類，即細(xì)分曲線(即離散點(diǎn)列或列表曲線)的插值或擬合［1-2］以及自由型曲線的擬合［3-5］。自由型曲線擬合方法是在已知零件輪廓曲線方程時(shí)較常采用的插補(bǔ)方法，具有誤差控制精準(zhǔn)的優(yōu)點(diǎn)。本文討論自由型曲線的擬合方法。

曲率圓法是對(duì)自由型曲線擬合的基本方法，有時(shí)也被稱為等誤差圓弧逼近法，其原理是通過(guò)控制所生成的插補(bǔ)圓弧段與實(shí)際工件輪廓曲線均位于曲率圓與偏差圓之間，以使圓弧插補(bǔ)的逼近誤差總小于或等于插補(bǔ)容差。相比與其它圓弧插補(bǔ)方法，它具有編程時(shí)算法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，誤差控制直接的優(yōu)點(diǎn)，成為數(shù)控編程類教材中圓弧插補(bǔ)的基本方法［6］。采用彼此相切的圓弧段來(lái)逼近非圓曲線時(shí)，能夠使工件表面整體光滑，加工質(zhì)量較高。文獻(xiàn)［3－4］中的整體最優(yōu)雙圓弧逼近方法計(jì)算參數(shù)多，計(jì)算量大，程序設(shè)計(jì)復(fù)雜。文獻(xiàn)［7－9］中變步長(zhǎng)雙圓弧逼近方法的誤差控制采用后驗(yàn)方式，即先構(gòu)造圓弧后通過(guò)在插補(bǔ)區(qū)間取點(diǎn)的方式檢驗(yàn)誤差，通過(guò)誤差檢驗(yàn)結(jié)果實(shí)時(shí)調(diào)整步長(zhǎng)并重新生成圓弧;方法中的步長(zhǎng)調(diào)整沒(méi)有規(guī)律可循，導(dǎo)致每個(gè)插補(bǔ)區(qū)間的圓弧生成與誤差檢驗(yàn)可能會(huì)多次反復(fù)，數(shù)據(jù)處理過(guò)程的計(jì)算量較大。

借鑒曲率圓法中的誤差控制原理，本文給出非圓曲線輪廓的一種三圓弧逼近方法。在介紹方法基本思想的基礎(chǔ)上，給出圓弧插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)及圓弧參數(shù)的計(jì)算步驟，并進(jìn)行方法的可行性分析。

1 三圓弧逼近方法

1.1 圓弧插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)的計(jì)算

設(shè)平面輪廓曲線具有顯式表達(dá)式，且加工時(shí)的插補(bǔ)容差為δa＞0。在曲率極值點(diǎn)、拐點(diǎn)以及曲率非連續(xù)點(diǎn)處將整個(gè)輪廓曲線劃分為多段，這樣，每一局部段就是曲率單調(diào)的。不妨設(shè)某一段曲線)AP的曲率是單調(diào)下降的，如圖1所示。

圖1 三圓弧插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)的確定

設(shè)點(diǎn)B(xB，yB)為曲線上的一點(diǎn)，記該點(diǎn)的曲率圓圓心為OB，曲率半徑為RB，則曲率圓圓心OB(ξB，ηB)及半徑RB的計(jì)算公式為：

式中，yB=f(xB)為點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，y'B與y″B分別為曲線y=f(x)在點(diǎn)B處的一階和二階導(dǎo)數(shù)值。

記點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA，yA)，則點(diǎn)B(xB，yB)的坐標(biāo)可通過(guò)求解方程式：

得到。

為求解以上非線性方程式(2)，設(shè)點(diǎn)D(xD，yD)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且其曲率圓圓心為OD，曲率圓半徑為RD，同時(shí)，構(gòu)造函數(shù)：

則函數(shù)z1的零點(diǎn)即為點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB。

圖2 第二個(gè)插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)的確定

式(5)和式(6)表明，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P的過(guò)程中，函數(shù)z1單調(diào)遞增。同時(shí)考慮到，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D位于點(diǎn)A時(shí)，函數(shù)z1的值取負(fù)值－δa。因此，只要曲線的弧長(zhǎng)足夠，函數(shù)z1的零點(diǎn)存在且唯一，即就是點(diǎn)B存在且唯一。

點(diǎn)B的坐標(biāo)確定后，由式(1)可求得曲率圓圓心OB(ξB，ηB)以及半徑RB。類似地，若構(gòu)造函數(shù)：

且取x∈［xB，xP］，則函數(shù)z2的零點(diǎn)即為點(diǎn)C的橫坐標(biāo)xC。容易證明，函數(shù)z2同樣單調(diào)遞增，且在曲線的弧長(zhǎng)足夠的情況下，在區(qū)間［xB，xP］上存在且僅存在唯一的零點(diǎn)。于是，點(diǎn)C可唯一確定。

1.2 三圓弧的構(gòu)造方法

當(dāng)圓弧插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)A和C確定后，連續(xù)相切的三個(gè)插補(bǔ)圓弧段分別構(gòu)造如下：

(1)第一段插補(bǔ)圓弧為過(guò)A點(diǎn)且與點(diǎn)A和點(diǎn)B處的曲率圓均相切的圓弧。

(2)第三段插補(bǔ)圓弧為過(guò)C點(diǎn)且與點(diǎn)C和點(diǎn)B處的曲率圓均相切的圓弧。

(3)設(shè)第一段與第三段插補(bǔ)圓弧與點(diǎn)B處的曲率圓分別相切于點(diǎn)E和點(diǎn)F，則點(diǎn)B處的曲率圓上位于點(diǎn)E和點(diǎn)F之間的圓弧段為第二段插補(bǔ)圓弧。

圖3 插補(bǔ)圓弧的構(gòu)造

如圖3所示。若記第一段和第三段插補(bǔ)圓弧(點(diǎn)線)的圓心分別為O1(ξ1，η1)和O3(ξ3，η3)，半徑分別為R1和R3，且點(diǎn)A和點(diǎn)C處的曲率圓圓心分別為OA(ξA，ηA)和OC(ξC，ηC)，半徑分別為RA和RC，則應(yīng)有點(diǎn)A、OA、O1三點(diǎn)共線，點(diǎn)E、O1、OB三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C、O3、OC三點(diǎn)共線，點(diǎn)F、OB、O3三點(diǎn)共線，且有：

曲率圓圓心OA和OC的坐標(biāo)以及RA和RC可參照式(1)計(jì)算。插補(bǔ)圓弧半徑R1和R3通過(guò)求解以下兩個(gè)一元二次方程得到，方程的根僅取R1＞RA和R3＜RC。

插補(bǔ)圓弧圓心O1和O3的坐標(biāo)計(jì)算公式為：

1.3 三圓弧逼近方法的可行性分析

下面證明點(diǎn)E必位于圓弧段 內(nèi)。如前所述，輪廓曲線的漸屈線應(yīng)該是凹向一致且光滑連續(xù)的。由漸屈線的性質(zhì)知：

采用反證法進(jìn)行證明。假設(shè)存在過(guò)A點(diǎn)且與點(diǎn)A和點(diǎn)B處的曲率圓均相切的圓弧'，它與點(diǎn)B處的曲率圓相切于點(diǎn)E'，且點(diǎn)E'位于圓弧段上。記圓弧的圓心為O'，且直線OO'與直線OB的A1B交點(diǎn)為點(diǎn)G，見(jiàn)圖4。特別地，當(dāng)點(diǎn)E'與點(diǎn)B重合時(shí)，圓心O1'與點(diǎn)G重合。由于圓弧 與點(diǎn)A和點(diǎn)B處的曲率圓分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，因此：

結(jié)合式(13)～(15)，可得：

顯然，式(16)與式(17)矛盾。

類似地，可以證明點(diǎn)F必位于圓弧段內(nèi)。因此，所作三圓弧的最大插補(bǔ)誤差在容差范圍之內(nèi)，即該三圓弧逼近方法是可行的。

圖4 三圓弧相切點(diǎn)的位置

1.4 算法流程

對(duì)于任意給定的平面輪廓曲線，三圓弧逼近的總體步驟為：首先在曲線的曲率極值點(diǎn)、拐點(diǎn)以及曲率不連續(xù)點(diǎn)處將整個(gè)輪廓曲線劃分為多段，并通過(guò)一定的旋轉(zhuǎn)或鏡像變換使每個(gè)曲線段都滿足曲率連續(xù)且單調(diào)遞減的條件。其次，對(duì)每個(gè)曲線段分別應(yīng)用三圓弧逼近方法生成所需的擬合圓弧樣條曲線。最后，將所生成的圓弧樣條曲線做相應(yīng)的反變換以連接各部分形成整體輪廓的圓弧樣條曲線。

對(duì)于每一個(gè)經(jīng)變換后的曲線段(直線段除外)，三圓弧逼近的算法流程如下：

(1)記曲線段的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為P，并計(jì)算相應(yīng)的曲率圓圓心OA(ξA，ηA)和OP(ξP，ηP)，以及曲率圓半徑RA和RP。以k表示當(dāng)前三圓弧樣條曲線段的序號(hào)，并令k=1。

(2)分別計(jì)算式(3)所定義的函數(shù)z1在點(diǎn)A及點(diǎn)P處的函數(shù)值，即z1(xA)和z1(xP)。若函數(shù)值z(mì)1(xA)和z1(xP)異號(hào)，則在區(qū)間［xA，xP］上求解該非線性函數(shù)的零點(diǎn)并計(jì)算得到相應(yīng)的點(diǎn)B;否則，轉(zhuǎn)至第⑤步。

(3)計(jì)算點(diǎn)B處的曲率圓圓心OB(ξB，ηB)和半徑RB，以及式(7)所定義的函數(shù)z2在點(diǎn)B及點(diǎn)P處的函數(shù)值，即z2(xB)和z2(xP)。若函數(shù)值z(mì)2(xB)和z2(xP)異號(hào)，則在區(qū)間［xB，xP］上求解該非線性函數(shù)的零點(diǎn)并計(jì)算得到相應(yīng)的點(diǎn)C;否則，轉(zhuǎn)至第⑥步。

(4)計(jì)算點(diǎn)C處的曲率圓圓心OC(ξC，ηC)和半徑RC;由式(9)～(12)分別計(jì)算當(dāng)前三圓弧中第一段和第三段插補(bǔ)圓弧的半徑R1、R3以及圓心O1和O3的坐標(biāo);由OB、O1及點(diǎn)E的位置關(guān)系計(jì)算點(diǎn)E的坐標(biāo)，由OB、O3及點(diǎn)F的位置關(guān)系計(jì)算點(diǎn)F的坐標(biāo)，并保存R1、RB和R3以及點(diǎn)A、C、O1、OB、O3、E和F的信息后，令k=k+1，并將點(diǎn)C記作點(diǎn)A返回到第②步繼續(xù)執(zhí)行。

(5)將點(diǎn)P記作點(diǎn)B并依據(jù)式(9)和(11)，計(jì)算R1和點(diǎn)O1，由OB、O1及點(diǎn)E的位置關(guān)系計(jì)算點(diǎn)E的坐標(biāo)，保存R1和RB以及點(diǎn)A、O1、OB、和E的信息后退出。

(6)將點(diǎn)P記作點(diǎn)C并由式(9)～(12)分別計(jì)算當(dāng)前三圓弧中第一段和第三段插補(bǔ)圓弧的半徑R1、R3以及圓心O1和O3的坐標(biāo);由OB、O1及點(diǎn)E的位置關(guān)系計(jì)算點(diǎn)E的坐標(biāo)，由OB、O3及點(diǎn)F的位置關(guān)系計(jì)算點(diǎn)F的坐標(biāo)，并保存R1、RB和R3以及點(diǎn)A、C、O1、OB、O3、E和F的信息后退出。

2 數(shù)值算例

一橢圓曲線零件，其長(zhǎng)半軸為50mm，短半軸為30mm，橢圓方程為：

因橢圓關(guān)于X軸和Y軸對(duì)稱，選第二象限進(jìn)行圓弧插補(bǔ)，則所選曲線段的曲率連續(xù)且單調(diào)遞增，無(wú)需進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)或鏡像變換。

設(shè)插補(bǔ)容差為δa=0.01mm，采用文中所提的三圓弧逼近方法，得到的三圓弧7組共20段圓弧，圓心坐標(biāo)及半徑如表1所示。

表1 各圓弧段的中心及半徑 (單位：mm)

(續(xù)表)

3 結(jié)論

(1)論文提出了一種三圓弧逼近非圓曲線的方法，并證明了該方法的可行性。

(2)論文所提方法采用曲率圓以及相應(yīng)的偏差圓來(lái)確定插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)并構(gòu)造連續(xù)相切的圓弧，計(jì)算簡(jiǎn)單，誤差控制直接，便于工程應(yīng)用。

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