關(guān)于除數(shù)函數(shù)與Smarandache k次補(bǔ)數(shù)的混合均值＊

黃 煒，馬 焱

（1.寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西寶雞 721013；2.寶雞文理學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系，陜西寶雞 721013）

關(guān)于除數(shù)函數(shù)與Smarandache k次補(bǔ)數(shù)的混合均值＊

黃 煒1，馬 焱2

（1.寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西寶雞 721013；2.寶雞文理學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系，陜西寶雞 721013）

對(duì)任意的正整數(shù)n，Smarandache k次冪補(bǔ)數(shù)Ak（n）定義為最小的正整數(shù)m，使得mn是完全k次冪數(shù).用解析的方法研究了除數(shù)函數(shù)τ（n）對(duì)補(bǔ)數(shù)列Ak（n）的復(fù)合函數(shù)τ（Ak（n））的混合均值并得到了一個(gè)漸近公式.

除數(shù)函數(shù)；k－次冪補(bǔ)數(shù)；均值；漸近公式

1 引理及證明

文獻(xiàn)［5］包含了證明以下引理所需要的基礎(chǔ)知識(shí).

引理3 設(shè)ε是任意正常數(shù)，當(dāng)σ≥k－1時(shí)，有

（1）B（s＋1）在半平面Re s≥k－1＋ε上有界且解析；

證明 對(duì)于任意素?cái)?shù)p，p的k次補(bǔ)數(shù)Ak（pn）為

（2）由定義知Ak（n）是積性函數(shù)，又因?yàn)棣樱ˋk（m·n））＝τ（Ak（m））·τ（Ak（n）），τ（Ak（n））也是積性函數(shù)，所以由Ak（n）的定義及文獻(xiàn)［5］的有關(guān)定理有：當(dāng)σ≥k－1時(shí)，τ（Ak（n））的Dirichlet級(jí)數(shù)為

2 定理及證明

定理1 設(shè)x≥1，則有漸近公式

［1］ SMARANDACHE F.Only Problems，Not Solutions［M］.Chicago：Xiquan Publishing House，1993.

［2］ HUANG Wei.An Arithmetical Function and the Power Complements［C］／／Research on Smaramtache Problems in Number Theory.Hexis，2005：123－124.

［3］ 張紅莉，王 陽(yáng).關(guān)于平方補(bǔ)數(shù)除數(shù)函數(shù)的均值［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2002（1）：44－46.

［4］ 王 陽(yáng).立方冪補(bǔ)數(shù)除數(shù)函數(shù)的均值［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004，34（12）：144－148.

［5］ TOM M APOSTPL.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York：Springer-Verlag，1976.

［6］ PAN C D，PAN C B.Foundation of Analytic Number Theory［M］.Beijing：Science Press，1997.

（責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔）

Mean Value of Divisor Function for Smarandache k-Power Complements

HUANG Wei1，MA yan2
（1.Department of Basic Courses，Baoji Vocational and Technical College，Baoji 721013，Shaanxi China；2.Department of Ecomomics and Management，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721013，Shaanxi China）

Let n be positive integer，the Smarandache k-power complements Ak（n）is defined as the smallest integer m such that mnis perfect k-th power.The mean value ofτ（Ak（n））is studied and an asymptotic formula is given by the analytic integral methods.

divisor function；k-power complement；mean value；asymptotic formula

O156.4

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.05.002

1007－2985（2013）05－0003－03

2013－01－14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11071194）；陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（09JK432）

黃 煒（1961－），男，陜西岐山人，寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部教授，主要從事解析數(shù)論與特殊函數(shù)研究；馬焱（1963－），女，陜西乾縣人，寶雞文理學(xué)院教授，主要從事財(cái)務(wù)管理研究.