對高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的“一般化”能力的思考

姜紹忠 李俊平

【摘 要】本文在對高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，分析出高等數(shù)學(xué)教材中“一般化”的內(nèi)容，進(jìn)而提出在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中教會(huì)學(xué)生”一般化”的建議。本論文的研究有利于實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)?！耙话慊笔桥囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的重要手段。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；“一般化”

波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》一書中討論了“一般化”的概念及應(yīng)用，他認(rèn)為應(yīng)該討論“一般化”過程本身，“一般化”是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉 。為此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的“一般化”能力，對于培養(yǎng)學(xué)生的“合情推理”能力具有重要的意義。中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，“一般化”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的重要手段。

1.“一般化”的內(nèi)涵

波利亞認(rèn)為“一般化”是從對象的一個(gè)給定集合進(jìn)而考慮到包含這個(gè)給定集合得更大集合。并以哥德巴赫猜想的提出為例對“一般化”的作用進(jìn)行了論述。例如，我們從考慮三角形進(jìn)而考慮到任意多邊形；我們從銳角三角形進(jìn)而考慮到任意三角形。“一般化”是按著兩個(gè)不同特征方式進(jìn)行的。第一個(gè)例子我們用一個(gè)變數(shù)n（≥3）代替一個(gè)定數(shù)3；第二個(gè)例子我們?nèi)サ粢粋€(gè)限制（0°<α<90°）。波利亞不僅給出“一般化”的定義，而且給出了“一般化”的方法，這是我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中需要學(xué)習(xí)的。

2.對高等數(shù)學(xué)課程中“一般化”內(nèi)容的思考

在高等書寫的教材編排體系中，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)、學(xué)生的年齡特點(diǎn)以及社會(huì)對數(shù)學(xué)知識(shí)的需要，決定數(shù)學(xué)的編排體系是呈螺旋式上升的，是由特殊到一般的，遵循了人類數(shù)學(xué)文化形成的規(guī)律。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教會(huì)學(xué)生“一般化”是非常重要數(shù)學(xué)方法。

高等數(shù)學(xué)從一元函數(shù)的概念、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)及微分的研究，“一般化”到多元函數(shù)的微分學(xué)，并強(qiáng)調(diào)從一個(gè)自變量到兩個(gè)自變量的函數(shù)有些內(nèi)容是全新的，而三元直至n元函數(shù)之間，只是形式上的不同，卻沒有本質(zhì)上的的區(qū)別。為此，對于一元函數(shù)的教學(xué)研究尤為重要。學(xué)生只有在理解和掌握一元微積分的基礎(chǔ)上，才能“一般化”進(jìn)而理解和掌握多元微積分學(xué)。教學(xué)中心應(yīng)該放在對一元函數(shù)微積分的教學(xué)部分。其中的向量代數(shù)與空間解析幾何部分的內(nèi)容，空間解析幾何是中學(xué)學(xué)習(xí)的平面幾何的“一般化”，不僅可以用代數(shù)方程的一些性質(zhì)來研究圖形性質(zhì)，而且空間解析幾何還能為二元函數(shù)提供直觀的幾何解釋。

例如，關(guān)于n維空間的內(nèi)容，書中是從一維空間開始”一般化”。從數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，從而實(shí)數(shù)的全體表示數(shù)軸上一切點(diǎn)；在平面上引入平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序二元數(shù)組（x，y）一一對應(yīng)，從而有序二元數(shù)組（x，y）的全體表示平面上一切點(diǎn)的集合；在空間引入直角坐標(biāo)系后，空間的點(diǎn)與三元有序數(shù)組（x，y，z）一一對應(yīng)，從而有序的三元有序數(shù)組（x，y，z）的全體表示空間的一切點(diǎn)集合；在上述就知識(shí)的總結(jié)回顧的基礎(chǔ)上進(jìn)行“一般化”，給出n維空間的概念：一般地，設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱為有序n元數(shù)組的全體為n維空間，而每個(gè)有序n元數(shù)組稱為n維空間的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)x稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)，n維空間記為R。

并對平面兩點(diǎn)間的距離公式的一般化給出了n維空間的兩點(diǎn)和間的距離公式：

|PQ|=。

例如，在一元函數(shù)部分定義了函數(shù)的連續(xù)性：“設(shè)函數(shù)f（x）在x的某鄰域內(nèi)有定義，若f（x）=f（x），則稱f（x）在x連續(xù)?！薄耙话慊钡慕o出了二元函數(shù)連續(xù)性的定義和n元函數(shù)連續(xù)性的定義?！霸O(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P及其鄰域內(nèi)有定義，f（x，y）=f（x，y）。即對任意ε>0，存在δ>0，對任意（x，y）∈（p，δ），有|f（x，y）-f（x，y）|<ε則稱函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)連續(xù)?！痹诙瘮?shù)連續(xù)性的基礎(chǔ)上，可相應(yīng)的地推廣到n元函數(shù)f（p）上去。

3.關(guān)于在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中教會(huì)學(xué)生“一般化”的建議

通過上面的思考，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生能否”一般化”需要條件和基礎(chǔ)。建構(gòu)主義認(rèn)為影響學(xué)生學(xué)習(xí)的主要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。因此，學(xué)生是否能夠“一般化”，教師在教學(xué)中要知道學(xué)生已經(jīng)知道了什么即了解學(xué)生的基礎(chǔ)。關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)提出以下幾點(diǎn)建議：

（1）在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要把一元函數(shù)部分基礎(chǔ)打好，讓學(xué)生真正理解和掌握一元函數(shù)微分學(xué)相關(guān)的基本概念和原理，這是后面學(xué)生學(xué)習(xí)“一般化”的必要條件。

（2）在一元函數(shù)微分學(xué)的教學(xué)過程中，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況對教材內(nèi)容進(jìn)行整合，以保證學(xué)生能夠接受，保證教學(xué)質(zhì)量，從而有利于學(xué)生“一般化”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。

（3）在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重?cái)?shù)學(xué)概念等實(shí)際背景，讓學(xué)生真正掌握幾何意義，這樣有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的原理，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)過程中的“一般化”奠定基礎(chǔ)，且不可盲目的追求教學(xué)速度而略去這些學(xué)生必須的經(jīng)歷。

（4）教師要不斷研究教育理論和心理學(xué)理論，特別是數(shù)學(xué)教育理論，對教育家的觀點(diǎn)要進(jìn)行進(jìn)行不斷的思考，研究“一般化”的數(shù)學(xué)方法并結(jié)合自己的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行實(shí)踐。在課堂教學(xué)過程中為學(xué)生對已有數(shù)學(xué)知識(shí)的“一般化“創(chuàng)造機(jī)會(huì)或條件。

【參考文獻(xiàn)】

[1]波利亞著，李心燦，王日爽，李志堯譯.數(shù)學(xué)與猜想（第一版）.科學(xué)出版社，2001，7，1：11.