多尺度排列熵及其在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用

鄭近德 程軍圣 楊 宇

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，410082

0 引言

時(shí)頻分析方法由于能夠提供振動(dòng)信號(hào)時(shí)域和頻域局部信息而在故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，是目前故障診斷的重要手段［1－2］。該方法通過對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分析［3］或經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解［4－5］，將非平穩(wěn)信號(hào)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的平穩(wěn)信號(hào)之和，然后對(duì)每個(gè)分量進(jìn)行處理，提取時(shí)頻域信息，進(jìn)而得到原始信號(hào)的完整時(shí)頻信息。然而，由于機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的摩擦、振動(dòng)以及負(fù)載等因素，機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)往往表現(xiàn)出非線性行為，采用時(shí)頻分析的方法，將信號(hào)分解為平穩(wěn)信號(hào)，難免有一定的局限性。非線性分析的方法可以不經(jīng)過對(duì)原始信號(hào)分解，而能夠直接提取隱藏在機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)中其他方法無法提取的故障信息［6］。

近年來，越來越多的非線性分析方法被用于機(jī)械故障診斷，如關(guān)聯(lián)維數(shù)、近似熵、樣本熵、多尺度熵等。徐玉秀等［7］研究了旋轉(zhuǎn)機(jī)械的分形特征及故障診斷，Yan等［8］將近似熵應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)，Zhang等［9］將多尺度熵應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷。然而，分形維數(shù)的計(jì)算依賴數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，且較耗時(shí)，不適合在線監(jiān)測(cè)；近似熵相對(duì)一致性較差［9］；多尺度熵［10－11］是基于樣本熵而定義的，計(jì)算較耗時(shí)，且受時(shí)間序列的非平穩(wěn)性和異常值的影響。

排列熵［12］是一種新的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變的檢測(cè)方法，它具有計(jì)算簡(jiǎn)單，抗噪能力強(qiáng)，且得到較穩(wěn)定的系統(tǒng)特征值所需時(shí)間序列短，適合在線監(jiān)測(cè)等優(yōu)點(diǎn)，在肌電信號(hào)處理［13］、心率信號(hào)處理［14］、氣溫復(fù)雜度［15］等方面都取得了良好的效果。Yan等［6］將其應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的特征提取，并將其與近似熵和Lempel－Ziv復(fù)雜度進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，排列熵能夠有效地檢測(cè)和放大振動(dòng)信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化，并且能夠表征滾動(dòng)軸承在不同狀態(tài)下的工況特征。然而，與傳統(tǒng)的基于單一尺度分析的非線性參數(shù)類似，排列熵只是檢測(cè)時(shí)間序列在單一尺度上的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變。Aziz等［16］提出了多尺度排列熵（multiscale permutation entropy，MPE）的概念，用于衡量時(shí)間序列在不同尺度下的復(fù)雜性和隨機(jī)性，并通過分析生理信號(hào)，將其與多尺度熵進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，相對(duì)于多尺度熵，MPE更具有魯棒性。由于機(jī)械系統(tǒng)比較復(fù)雜，振動(dòng)信號(hào)不僅在單一尺度上包含有重要信息，而且在其他尺度上也包含有重要信息，因此，對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多尺度分析是一種有效的方法。

本文將MPE引入到機(jī)械故障診斷領(lǐng)域，應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障特征的提取。由于正常滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)是隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)，而當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)，振動(dòng)信號(hào)隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)行為會(huì)發(fā)生變化。因此，本文考慮用MPE來衡量振動(dòng)信號(hào)的隨機(jī)性變化和動(dòng)力學(xué)突變，并將MPE值作為特征參數(shù)，提取滾動(dòng)軸承的故障特征。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合支持向量機(jī)（support vector mechine，SVM）［17－18］作為模式識(shí)別分類，提出一種基于MPE和SVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，并將其應(yīng)用于滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，結(jié)果表明，新提出的方法能夠有效地診斷滾動(dòng)軸承的故障類型。

1 排列熵及多尺度排列熵原理和算法

1.1 排列熵算法

排列熵的原理在于不考慮數(shù)據(jù)具體值，而是基于相鄰數(shù)據(jù)的對(duì)比。下面說明其計(jì)算方法。

考慮長(zhǎng)度為N 的時(shí)間序列｛x（i），i＝1，2，…，N｝，對(duì)其進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到如下的時(shí)間序列：

式中，m為嵌入維數(shù)；λ為時(shí)延。

將X（i）的m個(gè)數(shù)據(jù)按照升序重新排列，即

如果存在x（i＋ （ji1－1）λ）＝x（i＋ （ji2－1）λ），此時(shí)按j值的大小來進(jìn)行排序，即當(dāng)jk1＜jk2，有x（i＋（ji1－1）λ）≤x（i＋（ji2－1）λ），所以，任意一個(gè)數(shù)據(jù)X（i）都可以得到一組符號(hào)序列：

其中，g ＝1，2，…，k，k ≤ m！，m 個(gè)不同的符號(hào)｛j1，j2，…，jm｝共有m！種不同的排列，對(duì)應(yīng)地，共有m！種不同的符號(hào)序列，S（g）是m！種符號(hào)序列中的一種。計(jì)算每一種符號(hào)序列出現(xiàn)的概率＝1，此時(shí)，時(shí)間序列｛x（i），i＝1，2，…，N｝的排列熵就可以按照Shannon熵的形式定義為

注意到，當(dāng)Pg＝1／m！時(shí)，Hp（m）達(dá)到最大值ln（m?。?，因此，可以通過ln（m?。⑴帕徐豀p（m）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即

顯然，Hp的取值范圍是0≤Hp≤1。Hp值的大小表示時(shí)間序列的復(fù)雜和隨機(jī)程度。Hp越大，說明時(shí)間序列越隨機(jī)，反之，則說明時(shí)間序列越規(guī)則。Hp值的變化反映和放大了時(shí)間序列的局部細(xì)微變化。

1.2 排列熵參數(shù)的選取

在排列熵的計(jì)算中，有3個(gè)參數(shù)值需要考慮和設(shè)定，即時(shí)間序列長(zhǎng)度N、嵌入維數(shù)m和時(shí)延λ。Bandt等［12］建議嵌入維數(shù)m取3～7，因?yàn)槿绻鹠等于1或2，此時(shí)重構(gòu)的序列中包含太少的狀態(tài)，算法失去意義和有效性，不能檢測(cè)時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)突變。但是，如果m取值過大，也不合適，因?yàn)橄嗫臻g的重構(gòu)將會(huì)均勻化時(shí)間序列，此時(shí)不僅計(jì)算比較耗時(shí)，而且也無法反映序列的細(xì)微變化［8，15］。

為研究數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N對(duì)排列熵值的影響，以長(zhǎng)度分別為128、256、512、1024和2048的高斯白噪聲信號(hào)為例，求得對(duì)應(yīng)排列熵值，分別記為PE1～PE5，如圖1所示，它們?cè)诓煌度刖S數(shù)下差值如表1所示。

圖1 不同長(zhǎng)度的高斯白噪聲的排列熵

表1 不同長(zhǎng)度高斯白噪聲信號(hào)排列熵在不同嵌入維數(shù)下的差值

由圖1和表1可以發(fā)現(xiàn)，以嵌入維數(shù)m＝6為例，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度分別為1024和512時(shí)，熵值相差0.0659，而數(shù)據(jù)長(zhǎng)度分別為2048和1024時(shí)，則熵值僅相差0.0309，因此，此時(shí)選數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1024較合適。而對(duì)m＝5而言，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度分別為1024和256的信號(hào)的熵值僅相差0.0502，此時(shí)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為256已經(jīng)可以估計(jì)合理的排列熵值。一般，嵌入維數(shù)較小時(shí)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度則要求越小。

時(shí)延λ對(duì)時(shí)間序列的計(jì)算影響較小，以長(zhǎng)度為512的高斯白噪聲信號(hào)為例，在不同λ下的排列熵值隨嵌入維數(shù)的變化關(guān)系如圖2所示，由圖可以看出，時(shí)延對(duì)信號(hào)熵值的影響較小，因此，本文取λ＝1。

圖2 高斯白噪聲信號(hào)在不同時(shí)延下的排列熵

1.3 多尺度排列熵定義

多尺度排列熵定義為不同尺度下的排列熵，計(jì)算方法如下：

（1）考慮時(shí)間序列｛x（i），i＝1，2，…，N｝，對(duì)其進(jìn)行粗?；幚恚玫酱至；蛄械谋磉_(dá)式為

其中，［N／τ］表示對(duì)N／τ取整；τ為尺度因子，τ＝1，2，…。顯然τ＝1，粗粒化序列即為原始序列；τ＞1時(shí)，原始序列被粗?；癁殚L(zhǎng)度為［N／τ］的粗粒序列。

（2）計(jì)算每個(gè)粗粒序列的排列熵，并畫成尺度因子的函數(shù)，上述過程即稱為多尺度排列熵分析。

尺度因子的最大值一般取大于10即可，但要保證粗?；蛄虚L(zhǎng)度［N／τ］不影響熵值的計(jì)算。

為了選取合適的計(jì)算MPE的嵌入維數(shù)，仍以高斯白噪聲為例，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2048，尺度因子最大值為12，λ＝1，在m 分別為4、5、6和7時(shí)，求得它們的MPE，相對(duì)耗時(shí)分別為0.1880s、0.6710s、3.8290s和27.6710s，將MPE畫成尺度因子的函數(shù)，如圖3所示。

由圖3可以看出，若m 取值太小，則PE值隨尺度因子的增大而減小，但m越大，計(jì)算越耗時(shí)，因此，本文選取m＝6。此外，由圖3可以看出，高斯白噪聲的MPE隨著尺度因子的增大而單調(diào)遞減，這說明白噪聲只在最小尺度上包含有主要信息。

圖3 高斯白噪聲在不同嵌入維數(shù)下的MPE

2 基于MFE的滾動(dòng)軸承故障診斷方法及應(yīng)用

在上述理論的基礎(chǔ)上，本文提出基于MPE和SVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。首先，從滾動(dòng)軸承的原始振動(dòng)信號(hào)從提取MPE；其次，依據(jù)MPE提取合適的故障特征向量；第三，采用SVM進(jìn)行故障分類，從而實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承故障類別的診斷。

為了說明本文方法的有效性，本文將該方法應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析。本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用Case Western Reserve University（CWRU）軸承數(shù)據(jù)中心提供的滾動(dòng)軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)［9］。測(cè)試軸承為6205－2RS JEM SKF深溝球軸承，電機(jī)功率約為2206.4963W，轉(zhuǎn)速為1730r／min，采用電火花加工技術(shù)在軸承上布置單點(diǎn)故障，故障直徑為0.5334mm，深度為0.2794mm。在此情況下采集到正常（normal，簡(jiǎn)稱 NORM）、內(nèi)圈故障（inner race fault，IRF）、外圈故障（outer race fault，ORF）和滾動(dòng)體故障（rolling element fault，REF）4種狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)，各30組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2048，采樣頻率為12kHz，4種狀態(tài)軸承的振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形如圖4所示。

圖4 正常和不同故障軸承振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形

從圖4不易發(fā)現(xiàn)正常和故障軸承振動(dòng)信號(hào)的明顯區(qū)別，尤其是正常和滾動(dòng)體故障，以及內(nèi)圈故障和外圈故障。因此，本文首先對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行MPE分析，取嵌入維數(shù)m＝6，時(shí)延λ＝1，最大尺度因子為12，4種狀態(tài)滾動(dòng)軸承的多尺度排列熵畫成尺度因子的函數(shù)，如圖5所示。

圖5 正常和故障滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的多尺度排列熵

在尺度因子等于1時(shí)，即為原始振動(dòng)信號(hào)的排列熵，由于熵值比較接近，無法明顯地區(qū)別三種故障和正常軸承的類型，因此有必要對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多尺度分析。為此，以多尺度排列熵值為特征參數(shù)，同時(shí)建立基于SVM的分類器，進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試。如果采用全部的12個(gè)特征值進(jìn)行訓(xùn)練，會(huì)造成信息的冗余，且訓(xùn)練比較耗時(shí)，也需要較多的訓(xùn)練樣本，且由圖5也可以看出，前幾個(gè)尺度的熵值表征了振動(dòng)信號(hào)的主要信息，因此，采用前4個(gè)尺度的排列熵值作為特征向量，即T＝（PE1，PE2，PE3，PE4）。因此，本文的方法如下：

首先，提取特征參數(shù)，即對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行MPE分析，提取特征參數(shù)T。正常、滾動(dòng)體故障、內(nèi)圈故障和外圈故障4種狀態(tài)，每種狀態(tài)取30個(gè)樣本，故每種狀態(tài)可得到30個(gè)表征故障特征的特征向量，共得到120個(gè)特征向量。

其次，訓(xùn)練分類器。由于有3種故障狀態(tài)和正常狀態(tài)，因此，需建立3個(gè)SVM，其中SVM1為正常對(duì)3種故障分類器，SVM2為內(nèi)圈故障對(duì)滾動(dòng)體和外圈故障分類器，SVM3為滾動(dòng)體故障和外圈故障分類器。每種狀態(tài)隨機(jī)抽取10個(gè)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，并將每組30個(gè)樣本用來測(cè)試。經(jīng)過訓(xùn)練，SVM1和SVM3采用徑向基核函數(shù)，SVM2采用多項(xiàng)式核函數(shù)。基于SVM的多故障分類器如圖6所示。

圖6 多類故障支持向量機(jī)分類器示意圖

最后，測(cè)試分類器。對(duì)已訓(xùn)練的SVM1、SVM2和SVM3，用全部樣本進(jìn)行測(cè)試，詳細(xì)測(cè)試樣本輸出結(jié)果如表2所示。

表2 測(cè)試樣本SVM分類器的輸出結(jié)果

由表2可以看出，本文提出的方法有很好的效果，在全部樣本用來測(cè)試中，只有一組外圈故障的樣本被錯(cuò)分為滾動(dòng)體故障，其他都得到了正確的分類，正確識(shí)別率為99.17%。為了比較，下面建立以 BP 神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 為 基 礎(chǔ) 的 多 分 類 器［9，19－20］，BP分類器除輸入層外，第一層隱含層有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，第二層輸出層有4個(gè)節(jié)點(diǎn)。為表述方便，標(biāo)記正常為1類，內(nèi)圈故障為2類，滾動(dòng)體為3類，外圈故障為4類。BP分類器的訓(xùn)練和測(cè)試樣本與支持向量機(jī)相同，其分類結(jié)果如圖7所示。

圖7 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類器輸出結(jié)果

圖7中，訓(xùn)練樣本作測(cè)試時(shí)，全部分類正確，而測(cè)試樣本作測(cè)試時(shí)有3組分類錯(cuò)誤，準(zhǔn)確率為97.5%。這說明支持向量機(jī)的分類效果要優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。而且，在訓(xùn)練時(shí)間上，支持向量機(jī)也比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)短得多。

為了說明進(jìn)行多尺度分析的必要性，下面選取尺度因子等于1時(shí)（即原始信號(hào)）的排列熵值作為特征參數(shù)，分別通過SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類器進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試。其中，SVM分類器中，有6組樣本分類錯(cuò)誤，如表3所示；而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類器也有6組樣本分類錯(cuò)誤，如圖8所示。

表3 測(cè)試樣本SVM分類器的輸出結(jié)果

圖8 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類器輸出結(jié)果

從上文可以看出，原始信號(hào)單一尺度的排列熵作為特征參數(shù)，分類效果不理想，這說明了單一尺度上原始振動(dòng)信號(hào)的排列熵并不能反映故障的本質(zhì)，而多個(gè)尺度上的排列熵值則能夠更好地實(shí)現(xiàn)分類。另外易發(fā)現(xiàn)，特征值的選取對(duì)分類結(jié)果的影響尤為關(guān)鍵。本文選取特征值為前4個(gè)尺度上的特征值，主要基于以下原因考慮：如果特征值過少，不能完全反映故障的特征信息，而特征值過多會(huì)造成信息冗余，且需要增加訓(xùn)練樣本和訓(xùn)練時(shí)間，因此，本文選取了前4個(gè)尺度上的特征值。文獻(xiàn)［9］中選擇多尺度熵值的統(tǒng)計(jì)量時(shí)，將最大值、最小值、代數(shù)平均、幾何平均和標(biāo)準(zhǔn)差作為特征向量，但統(tǒng)計(jì)量方法忽略了特征值之間的內(nèi)在關(guān)系，因此，采用前4個(gè)尺度因子的排列熵值作為特征參數(shù)。

3 結(jié)束語

機(jī)械系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，振動(dòng)信號(hào)會(huì)在不同尺度上表現(xiàn)出不同程度的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變，基于此，本文提出了一種新的基于多尺度排列熵和支持向量機(jī)的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，并將支持向量機(jī)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類效果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，支持向量機(jī)在訓(xùn)練時(shí)間和準(zhǔn)確率方面，都優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。此外，本文還將特征向量包含多個(gè)尺度上熵值與特征向量?jī)H包含原始信號(hào)單一尺度上排列熵值進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，原始信號(hào)單一尺度上排列熵值的不能全部反映故障的本質(zhì)，而多尺度的排列熵值則有很好的診斷效果。本文提出的方法為故障診斷提供了一種新的思路和手段。

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