基于乘車舒適性的高速鐵路軌道高低不平順譜限值估計方法

田國英，高建敏，劉鵬飛

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

基于乘車舒適性的高速鐵路軌道高低不平順譜限值估計方法

田國英，高建敏，劉鵬飛

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

應用車輛—軌道耦合動力學理論和平穩(wěn)隨機過程理論，借助車輛—軌道垂向耦合頻域分析模型，以軌道高低不平順譜為輸入激勵，提出基于車輛垂向舒適性指標(車體加速度和Sperling指標)估計高低不平順譜限值的方法。以我國武廣客運專線及德國低干擾軌道高低不平順譜為例，對350 km/h行車速度時的譜限值進行了估計。通過對比時域、頻域模型計算結果，對所估計譜限值進行了校核，校核分析結果表明，頻域模型計算結果與時域結果吻合較好，說明了所估計譜限值的合理性。分析方法及研究結果可為高速鐵路軌道不平順管理提供參考。

高速鐵路 高低不平順 車輛—軌道耦合動力學 功率譜密度

軌道不平順是引起車輛、軌道等結構物振動和破壞的主要原因。目前，對軌道不平順主要采用幅值管理和軌道質量指數(TQI)管理，但兩種方法都存在一定局限性［1］。軌道不平順譜不僅能反映 TQI信息，還能提供軌道不平順幅值和波長特性。因此，結合現有幅值管理和軌道質量指數管理，利用軌道不平順譜評價軌道狀態(tài)，評估行車安全性和舒適性，指導軌道養(yǎng)護維修是較為有效和合理的手段［2］。因此，應將軌道不平順譜作為軌道質量的控制指標之一，納入到軌道不平順管理體系。目前，針對軌道譜限值方面的研究尚十分缺乏，以往的研究主要圍繞軌道不平順的幅值限值展開［3-7］，因而有必要開展軌道譜限值的研究，以便早日將軌道譜納入軌道管理體系中。基于以上目的，本文應用車輛—軌道耦合動力學理論和平穩(wěn)隨機過程理論，借助車輛—軌道垂向耦合頻域分析模型，以軌道高低不平順譜為輸入激勵，提出基于車輛垂向舒適性指標(車體加速度和Sperling指標)的高速鐵路軌道高低不平順譜限值估計方法，并以武廣客運專線和德國低干擾高低不平順譜為例，估計其限值并對所估計限值進行校核，說明了方法的合理性。

1 高低不平順譜限值估計方法

在估計高低不平順譜限值時，作以下假設:

1)軌道高低不平順是服從正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機過程。

2)軌道譜限值與原譜線是倍數關系，即軌道譜限值的曲線形狀與原譜線相同。

3)用于分析計算的動力學模型為線性或弱線性系統(tǒng)，因此響應也是服從正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機過程。

根據上述假設，首先基于已有高低不平順譜，利用車輛—軌道垂向耦合頻域分析模型計算車體心盤處垂向加速度響應功率譜;根據3σ規(guī)則估計車體垂向加速度可能最大值，同時推導車體垂向加速度功率譜與Sperling指標間關系，得到其 Sperling指標值;根據車體垂向加速度和Sperling指標限值，反推高低不平順譜的增大倍數，從而得到基于舒適性指標的高低不平順譜限值;最后利用時域數值模擬方法，比較時域、頻域結果以校核所估計譜限值的正確性。

1.1 車體心盤處垂向加速度功率譜

車輛—軌道垂向耦合動力學模型［8］如圖1所示，利用文獻［9］的等效線性化方法，將輪軌間非線性赫茲接觸進行線性化處理，得到了車輛—軌道垂向耦合動力學頻域分析模型，運用該模型可直接計算車體心盤處垂向振動加速度響應功率譜。

對于該頻域分析模型，最終可形成二階常系數線性微分方程組

圖1 車輛—軌道垂向耦合動力學模型

式中:［M］為系統(tǒng)慣量矩陣;［C］為系統(tǒng)阻尼矩陣;［K］為系統(tǒng)剛度矩陣;［Kf］為系統(tǒng)轉換矩陣;{Z0}為軌道不平順輸入向量;、{}和{q}分別為系統(tǒng)廣義加速度、速度和位移向量。

令{Z0}={I}eiωt，則{q}={H(ω)}eiωt，帶入式(1)，得到

令［D］= －ω2［M］+iω［C］+［K］可得方程

式中，{H(ω)}為某一頻率下軌道不平順與各自由度位移的傳遞函數向量。不平順輸入間隔向量{I}為

式中:τ1=2lt/V，τ2=2lc/V，τ3=2(lc+lt)/V分別為第二位、第三位和第四位輪對與第一位輪對輸入不平順的時間差;V為車速;lc和lt分別為車輛定距和轉向架軸距之半。引入不平順輸入向量后，便可將四位輪對輸入{Z0}轉換為單一輸入 Z0=eiωt。通過求解式(3)的非齊次復系數線性代數方程組的解，從而最終得到系統(tǒng)傳遞函數矩陣［H(ω)］。

根據系統(tǒng)傳遞函數矩陣［H(ω)］，高低不平順與車體心盤處垂向振動加速度的傳遞函數HVCA(ω)為

式中，H1(ω)，H2(ω)分別為車體沉浮和點頭位移傳遞函數。利用頻域輸入輸出關系，當輸入的高低不平順譜為 SVI(ω)時，車體心盤處垂向振動加速度譜SVCA(ω)可表達為

1.2 高低不平順譜限值估計

根據平穩(wěn)隨機過程的性質可估計車體垂向加速度響應的均方值σ和最大值qmax_VCA分別為

根據式(7)和式(8)及車體垂向加速度幅值限值，運用比例關系，可推導車體垂向加速度幅值限值對應的高低不平順譜限值相對原譜線幅值的增大倍數kVCA

式中，CVCA為給定的車體心盤處垂向加速度指標限值。

根據文獻［10］的數值模擬方法，功率譜幅值與頻譜幅值的關系為

式中，A(fi)為頻率fi處的頻譜幅值，S(fi)為頻率fi處的功率譜幅值，Δf為頻域采樣間隔，可依據GB 5599—85［11］中規(guī)定的采樣時間長度確定，文中取 0.05 Hz。將式(10)帶入Sperling指標計算公式得

總的Sperling指標為

其中常數 D=8 ×7.0810Δf1.5。

設使Sperling指標達到其給定限值Wlimit時的高低不平順譜為原譜線的kW倍，則

式(12)與式(13)比較得

由車體垂向加速度和Sperling指標限值確定的軌道高低不平順譜限值Slimit_VCA(ω)和Slimit_W(ω)分別為

當以Slimit_VCA(ω)或Slimit_W(ω)作為輸入時，車體心盤處垂向加速度響應的最大值或Sperling指標將與給定的舒適度指標限值相同。

1.3 高低不平順譜限值校核

對于由頻域分析模型估計的高低不平順譜限值，有必要將其轉換至時域進行校核以分析其正確性。目前，最常用的校核頻域計算結果的方法為Monte-Carlo法，其基本思想是概率論中基于大數定理的逼近原理，系統(tǒng)響應的統(tǒng)計特性可從大量響應樣本中近似獲得，且近似程度隨響應樣本數的增加而提高［12］。

為此，通過數值模擬方法［10］將軌道高低不平順譜限值轉換成多個高低不平順樣本，利用時域車輛—軌道垂向耦合動力學程序(考慮輪軌接觸非線性)，計算車體心盤處垂向振動加速度響應。通過以下3方面的對比分析，來驗證所估計的高低不平順譜限值的合理性和正確性。

1)比較時域、頻域響應的均方根值。

2)核對時域響應幅值超過車體垂向加速度指標限值概率是否滿足3σ規(guī)則［13］。

3)計算時域車體心盤處垂向振動加速度響應垂向Sperling指標，分析其是否與頻域模型計算的Sperling指標值接近。

2 數值算例

選取我國高速車輛，以武廣客運專線軌道高低不平順平均譜及德國低干擾高低不平順譜為輸入激勵，計算了350 km/h行車速度下的車體垂向加速度功率譜響應。依據《高速鐵路設計規(guī)范(試行)》［14］(TB 10621—2009)，車體垂向加速度幅值限值(CVCA)為0.13g，Sperling指標限值(Wlimit)取2.5，估計不同速度下的高低不平順譜限值。最后對所估計的譜限值進行校核。

武廣客運專線高低不平順平均譜及德國低干擾高低不平順譜表達式為

相關參數定義詳見文獻［8，15］，分析波長范圍取2～200 m［15］。經單位變換，其功率譜密度曲線如圖 2所示。

圖2 典型高速鐵路軌道高低不平順功率譜密度

2.1 車體垂向加速度功率譜響應特征

基于式(6)的輸入輸出關系，分別以式(17)、式(18)作為輸入，計算了車體心盤處垂向振動加速度功率譜響應，如圖3所示。

圖3 車體心盤處垂向振動加速度功率譜

由圖3可見，對于武廣譜和德國譜，車體心盤處垂向振動加速度功率譜曲線形狀十分相似，幅值隨波長增長呈增大趨勢，車體心盤處垂向加速度主頻集中在135 m左右。

2.2 高低不平順譜限值

根據式(8)和式(12)，計算車體心盤處垂向振動加速度響應的可能最大值及其垂向Sperling指標值，如表1所示。由表1可知，德國譜激擾下的車體垂向加速度響應最大值及垂向Sperling指標均大于武廣譜激擾下的指標值，但兩種高低不平順譜激擾下的指標值均較小，未超過各自限值。其中，武廣譜激擾下的響應很小，反映了武廣客運專線軌道的高平順性。

表1 乘車舒適性指標值

據式(15)和式(16)，武廣客運專線和德國低干擾軌道高低不平順譜，由車體垂向加速度和Sperling指標限值確定的軌道高低不平順譜限值SLimit_VCA(ω)和Slimit_W(ω)如圖4所示。

由圖4可見，盡管武廣譜和德國譜曲線線形不盡相同，但它們對應的限值譜總體較為接近。在2～5 m波長范圍內，德國譜限值與武廣譜限值幅值相當;在5～120 m波長范圍內，武廣譜限值略低于德國譜限值;在120～200 m波長范圍內，武廣譜限值則高于德國譜限值。

圖4 武廣客運專線和德國低干擾軌道高低不平順譜限值

表2 高低不平順譜限值對應的時域不平順最大值

根據3σ規(guī)則，由式(8)可估算上述譜限值對應高低不平順幅值的可能最大值，如表2所示。由表2可知，武廣譜和德國譜限值對應的高低不平順最大值十分接近;對于武廣譜和德國譜，車體垂向加速度指標對應譜限值的高低不平順幅值均小于Sperling指標對應譜限值的高低不平順幅值，即相比Sperling指標，車體垂向加速度更容易出現超標。

利用數值模擬方法［10］，將各譜限值轉換成時域不平順樣本，如圖5和圖6所示。

圖5 武廣譜限值模擬的時域不平順樣本

圖6 德國譜限值模擬的時域不平順樣本

2.3 譜限值校核

利用數值模擬方法分別將上述譜限值分別轉換成1 000組，每組有2 km長的時域不平順樣本，計算了車體心盤處垂向振動加速度時域響應，與頻域計算結果進行對比。

在Slimit_VCA(ω)激擾下，時域、頻域車體心盤處垂向振動加速度均方根值如圖7所示，頻域均方根值根據車體垂向振動加速度指標限值(0.13g)運用3σ規(guī)則確定。由圖可見，時域均方根值都在相應頻域均方根值附近波動，且時域、頻域偏差均＜7%，二者均方根值十分接近。

圖7 軌道譜限值激擾下的車體垂向加速度均方根

對于武廣譜和德國譜，在各自Slimit_VCA(ω)激擾下的車體心盤處垂向振動加速度超過其指標限值0.13g的概率分別為0.23%和0.25%，均略小于3σ規(guī)則預測的雙側概率0.26%，由此說明，譜限值激擾下的車體心盤處垂向振動加速度 ＞0.13g的可能性很小，滿足車輛垂向加速度指標限值。

對各樣本計算得到的車體心盤處垂向振動加速度時域響應，利用式(12)計算各樣本垂向Sperling指標，并對其進行平均。對于武廣譜和德國譜，平均后的Sperling指標值分別為2.52和2.53，與 Sperling指標限值2.5十分接近，說明頻域估計的Sperling指標正確，反映出由 Sperling指標估計的譜限值 Slimit_W(ω)合理。

綜合以上分析，對于武廣譜和德國譜，在由車體垂向加速度指標限值確定的譜限值Slimit_VCA(ω)激擾下，車體垂向加速度時域響應能夠滿足其指標限值;在由垂向Sperling指標確定的譜限值Slimit_W(ω)激擾下，時域平均Sperling指標與頻域模型計算結果十分接近。由此說明，應用本文提供的方法進行軌道高低不平順譜限值估計是合理可靠的。

3 結論

通過建立車輛—軌道垂向耦合動力學頻域模型，運用平穩(wěn)隨機過程理論，提出了一種根據舒適性指標估計軌道高低不平順譜限值的方法。采用該方法，以我國武廣客運專線和德國低干擾軌道高低不平順譜為例，對350 km/h行車速度下的譜限值進行了估計。對于武廣譜和德國譜，根據車體垂向振動加速度指標估計的譜限值對應的高低不平順最大值分別為20.0 mm和19.4 mm，根據車體垂向Sperling指標估計的譜限值對應的高低不平順最大值分別為24.1 mm和24.2 mm;由車體垂向加速度指標確定的譜限值均較由Sperling指標確定的譜限值低;時域模型計算結果表明，在各譜限值激擾下，其對應舒適度指標值均與頻域模型計算的指標值相吻合，從而說明了本文提出的譜限值估計方法的正確性。分析方法及相關研究結果可為高速鐵路軌道不平順管理提供參考。

應當指出的是，本文側重研究高低不平順譜限值的估計方法，關于譜限值的具體確定，尚需同時考慮其它幾種軌道不平順的共同作用，根據中國高速鐵路車輛運營狀況及線路狀態(tài)等條件，開展更為深入和廣泛的研究。

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U238;U216．3

A

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1003-1995(2013)09-0104-05

2013-02-15;

2013-06-20

國家“九七三”計劃項目(2013CB036205);國家自然科學基金高鐵聯合基金項目(U1234209)

田國英(1986— )，男，陜西渭南人，博士研究生。

(責任審編 王 紅)