從力學角度分析齒輪在軸上的合理布置

于 輝，白 潔

（吉林電子信息職業(yè)技術學院 機械系，吉林 吉林 132021）

0 引言

齒輪系因其可以實現(xiàn)定傳動比的變速運動、運動的合成與分解等功用在機械中廣泛應用，是機械傳動裝置中的重要組成部分。齒輪系中齒輪的位置關系到軸的強度、剛度，也關系到機械的整體結構尺寸、變速操縱的方便性、結構實現(xiàn)的可能性和機器的經(jīng)濟性。

根據(jù)力線平移定理可知，齒輪嚙合時產(chǎn)生的推力對軸產(chǎn)生兩個作用，即主矢垂直于軸線，使轉軸產(chǎn)生彎曲；主矩使軸產(chǎn)生繞軸線的旋轉，即扭轉。本文從軸的彎曲和扭轉角度分析齒輪位置的合理性。

1 滑移齒輪的合理布置

在軸上可以移動的齒輪稱為滑移齒輪。通過滑移齒輪與不同齒輪的嚙合實現(xiàn)機械的變速。

1．1 滑移齒輪一般布置在主動軸上

如圖1所示，軸I為高速軸，在齒輪傳遞的功率、轉速一定時，由（其中，T1為軸I傳遞的扭矩，P1為軸I傳遞的功率，n1為軸I的轉速）和（其中，d2為齒輪2的最小分度圓直徑，K為載荷系數(shù)，u為齒輪2與齒輪5的齒數(shù)比，ψd為齒寬系數(shù)，［σH］為齒輪副的最小許用應力）可知，轉速高時齒輪的分度圓尺寸小、質(zhì)量輕、轉動慣量小、變速靈敏，故滑移齒輪應布置在高速軸上。

1．2 滑移齒輪采用窄式布置

如圖1所示，軸I上有滑移齒輪2、3和固定齒輪1，軸II上有與滑移齒輪嚙合的固定齒輪4、5和固齒輪6。動力和運動由齒輪1傳入，經(jīng)滑移齒輪2（或3）與齒輪5（或4）嚙合傳遞到軸II，再經(jīng)齒輪6傳出。下面以軸I為例分析齒輪位置對軸內(nèi)力的影響。

設滑移齒輪為直齒圓柱齒輪，則齒輪作用在軸上的主矢大小為：

其中：Fni為任一齒輪的嚙合力；Fti為第i個齒輪的切向力；α為齒輪的壓力角，一般為20°；di為任一齒輪的分度圓直徑。

圖1 機械中的齒輪系

對于固定軸I，其上的齒輪模數(shù)、齒數(shù)及壓力角一定時，在傳遞功率、轉速不變時，各齒輪的嚙合力是固定不變的，可視為常數(shù)，而齒輪位置不同對軸的內(nèi)力極值影響較大。軸I不同工作位置時的彎矩、扭矩如圖2所示。在圖2（a）嚙合位置時，彎矩大小為：

其中：M11為軸I在齒輪1的中心對應處的彎矩；M12為軸I在齒輪3的中心對應處的彎矩；Fn11為齒輪1的嚙合力；Fn13為齒輪3的嚙合力；L為軸的跨度，L＝L1＋L2＋L3＋L4。

在圖2（b）嚙合位置時，彎矩大小為：

其中：M21為軸I在齒輪1的中心對應處的彎矩；M22為軸I在齒輪2的中心對應處的彎矩；Fn21為齒輪1的嚙合力；Fn22為齒輪2的嚙合力。

圖2 滑移齒輪工作情況及軸I的內(nèi)力圖

L1、L2、L4為齒輪與齒輪、齒輪中心到箱體的距離，與結構要求有關，也可視為常數(shù)。L3與滑移齒輪的布置有關，且關系到軸的跨度L（L＝L1＋L2＋L3＋L4），跨度大，軸的彎矩大，故從提高軸強度的角度，滑移齒輪應采用最緊湊的布置形式，即將滑移齒輪制成結構緊湊的滑移齒輪塊的窄式布置，如圖3所示。其中，b為齒輪的寬度。

圖3 滑移齒輪布置情況

多組滑移齒輪時，基于減小軸跨度理念，主從動齒輪采用交錯布置最為合理，如圖4所示。

1．3 采用公用齒輪布置

如圖5所示，兩個相鄰變速組采用公用齒輪后，減少了中間軸上固定齒輪數(shù)，從而減小了軸的跨度，提高了軸的強度和剛度。

上述措施減小了軸的跨度，降低了軸的內(nèi)力，因而減小了軸的徑向尺寸，間接減小了軸上傳動件（齒輪）的尺寸，節(jié)省材料。同時，也能簡化軸支承結構，是齒輪的合理布置。

2 固定齒輪的合理布置

輪系中常常在同一軸上安裝多個齒輪實現(xiàn)分路傳動。齒輪位置不同對軸的強度、剛度產(chǎn)生很大的影響。

圖4 多組滑移齒輪布置

圖5 采用公用齒輪跨度的變化情況

如圖6所示，由力學可知，嚙合力對軸的另一作用是使軸產(chǎn)生扭轉。若主動輪1在一側，從動輪2、3在另一側，軸產(chǎn)生的扭矩如圖6（a）所示，最大扭矩為T1，若將主動輪1與從動輪2交換位置，則軸的扭矩如圖6（b）所示，最大扭矩下降到T2（T2＝T1－T3）。在其他條件不變的條件下，由于齒輪1和齒輪2對調(diào)位置，使軸的最大扭矩減少了，故承載能力提高了，變形小。由此可知，在同一軸上布置多個固定齒輪時，應主動（輸入）輪在中間，從動輪在兩邊，并盡量使兩側從動輪輸出動力均衡。

圖6 軸扭矩的變化情況

3 結論

由于支撐齒輪的軸同時受到彎矩和扭矩，故其強度計算應按第三或第四強度理論計算，即軸的當量彎矩（其中，M 為合成彎矩；T為扭矩，a為按轉矩性質(zhì)而定的應力校正系數(shù)，對不變化的轉矩a＝0．3，對脈動變化的轉矩a＝0．6，對頻繁正反轉即對稱循環(huán)變化的轉矩a＝1）。按上述布置齒輪后，軸的彎矩和扭矩極值減小了，軸的當量彎矩Me降低了，軸的強度提高了。

［1］ 陳立德．機械設計基礎［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［2］ 于輝．工程力學［M］．北京：北京交通大學出版社，2010．

［3］ 方鍵．機械結構設計［M］．北京：化學工業(yè)出版社，2006．