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      雙曲型偏微分方程的變分迭代解法

      2013-08-29 09:28:46黃得建李艷青
      關(guān)鍵詞:雙曲變分校正

      黃得建,李艷青

      (瓊州學(xué)院理工學(xué)院,海南 三亞 572022)

      0 引言

      二階雙曲型偏微分方程通常有如下形式:

      變分迭代算法是何吉歡在廣義拉氏乘子法[1]的基礎(chǔ)上提出來并進行改進[3],[2,4]中作者成功的將此法應(yīng)用到一些模糊方程問題,[5]中作者將這種方法應(yīng)用于生物反應(yīng)模型,[6,7]分別給出了這種方法的理論依據(jù).下面應(yīng)用[3]中改進的變分迭代算法來找一類雙曲型偏微分方程的精確解.

      1 雙曲型偏微分方程及解法分析

      考慮下面的二階偏微分方程:

      其中a,b,c,f 都是關(guān)于(x,y,p)的函數(shù),其中p=(u,ux,uy).若對任意的(x,y),都有b2-ac>0 成立,則式(1)是一個雙曲型方程.

      考慮雙曲型偏微分方程(1)及定解條件:

      假定式(1)中的系數(shù)與ux,yy和u 無關(guān).若定解條件為式(2),則由變分迭代算法,可在y 一方向上構(gòu)造解的校正泛函如下:

      其中c≠0.應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:λ1=η-y

      假定初始近似解為

      由[3]中改進的變分迭代算法,可以得到式(1)解的迭代公式如下:

      同理,若定解條件為式(3),由變分迭代算法,可在方向上構(gòu)造解的校正泛函:

      其中a≠0.應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:λ2=ξ-x

      假定初始近似解為

      可以得到式(1)解的迭代公式如下:

      2 應(yīng)用

      變分迭代算法可以準(zhǔn)確的得到上述線性雙曲型偏微分方程的精確解,以下用幾個例子來說明.

      例1 考慮如下方程[8]:

      定解條件為:

      式(6)可改寫為:

      由變分迭代算法,可以構(gòu)造y 一方向上解的校正泛函如下:

      應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:λ=η-y

      假定初始近似解為:u0(x,y)=f(x)+g(x)y=3x2,

      由式(4),可以得到解的迭代公式如下:

      將u0(x,y)=f(x)+g(x)y=3x2代入上式,得

      如表1,健康志愿者的rCBF比值范圍為(1.013±0.079),ASL圖左右對稱,未見明顯的異常灌注區(qū);患者中TIA發(fā)作患者有15例,大面積梗塞患者11例,小面積梗塞患者14例,rCBF比值范圍為(0.764±0.117),兩組數(shù)據(jù)對比組間差異具有統(tǒng)計學(xué)意義(P<0.05)。

      此為式(6)在滿足定解條件u(x,0)=3x2,uy(x,0)=0 時的精確解.

      例2 考慮如下方程[8]:

      定解條件為:

      式(7)可改寫為:

      由變分迭代算法,可以構(gòu)造方向上解的校正泛函如下:

      應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:

      假定初始近似解為:u0(x,y)=f(y)+g(y)x=0,

      將u0(x,y)=f(y)+g(y)x=0 代入上式,可得:

      此為式(7)滿足定解條件u(0,y)=0,ux(0,y)=0 時的精確解.

      例3 考慮如下方程[8]:

      定解條件為:

      由變分迭代算法,可以構(gòu)造方向上解的校正泛函如下:

      應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:λ=ξ-x

      假定初始近似解為:

      由式(5),可以得到解的迭代公式如下:

      將u0(x,y)=f(y)+g(y)x=y+x 代入上式,可得:u1(x,y)=x+y

      此為式(8)滿足定解條件u(0,y)=y,ux(0,y)=1 時的精確解.

      3 結(jié)論

      把改進的變分迭代算法成功地運用到一類雙曲型偏微分方程的求解,過程既簡單又直觀,并且收斂速度很快,計算量小、精確度高,又可以很方便的編程.

      [1]M.Inokuti,H.Sekine,T.Mura.General use of the lagrange multiplier in nonlinear mathematical physics,.in:S.Nemat-Nasser(Ed.),Variational Method in the mechanics of Solids[C],New York:Pergamon Press,1978,156-163.

      [2]T.Allahviranloo,S.Abbasbandy,H.Rouhparvarc,The exact solutions of fuzzy wave-like equations with variable coefficients by a variational iteration method[J].Applied Soft Computing.2011(11)2186–2192.

      [3]He,J.H.,Variational iteration method-some recent results and new interpretation[J].J.Comput.Appl.Math.2007(207):3-17.

      [4]Omid Solaymani Fard,Nima Ghal-Eh,Numerical solutions for linear system of first-order fuzzy differential equations with fuzzy constant coefficients[J].Information Sciences.2011(181)4765–4779

      [5]S.M.Goh,M.S.M.Noorani,I.Hashimc,Introducing variational iteration method to a biochemical reaction model[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications.2010(11):2264_2272.

      [6]Zaid M.Odibat,A study on the convergence of variational iteration method[J].Mathematical and Computer Modelling.2010(51):1181_1192.

      [7]Ning Chen,Baodan Tian,Jiqian Chen,A class of new fixed point theorems for1-set-contractive[J].Physics Procedia 2012(33):1932– 1938.

      [8]Zhongwei Cha.Partial differential equations of mathematics and physics[M],Traffi-c university of southwest press,2005.

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