黃得建,李艷青
(瓊州學(xué)院理工學(xué)院,海南 三亞 572022)
二階雙曲型偏微分方程通常有如下形式:
變分迭代算法是何吉歡在廣義拉氏乘子法[1]的基礎(chǔ)上提出來并進行改進[3],[2,4]中作者成功的將此法應(yīng)用到一些模糊方程問題,[5]中作者將這種方法應(yīng)用于生物反應(yīng)模型,[6,7]分別給出了這種方法的理論依據(jù).下面應(yīng)用[3]中改進的變分迭代算法來找一類雙曲型偏微分方程的精確解.
考慮下面的二階偏微分方程:
其中a,b,c,f 都是關(guān)于(x,y,p)的函數(shù),其中p=(u,ux,uy).若對任意的(x,y),都有b2-ac>0 成立,則式(1)是一個雙曲型方程.
考慮雙曲型偏微分方程(1)及定解條件:
或
假定式(1)中的系數(shù)與ux,yy和u 無關(guān).若定解條件為式(2),則由變分迭代算法,可在y 一方向上構(gòu)造解的校正泛函如下:
其中c≠0.應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:λ1=η-y
假定初始近似解為
由[3]中改進的變分迭代算法,可以得到式(1)解的迭代公式如下:
同理,若定解條件為式(3),由變分迭代算法,可在方向上構(gòu)造解的校正泛函:
其中a≠0.應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:λ2=ξ-x
假定初始近似解為
可以得到式(1)解的迭代公式如下:
變分迭代算法可以準(zhǔn)確的得到上述線性雙曲型偏微分方程的精確解,以下用幾個例子來說明.
例1 考慮如下方程[8]:
定解條件為:
式(6)可改寫為:
由變分迭代算法,可以構(gòu)造y 一方向上解的校正泛函如下:
應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:λ=η-y
假定初始近似解為:u0(x,y)=f(x)+g(x)y=3x2,
由式(4),可以得到解的迭代公式如下:
將u0(x,y)=f(x)+g(x)y=3x2代入上式,得
如表1,健康志愿者的rCBF比值范圍為(1.013±0.079),ASL圖左右對稱,未見明顯的異常灌注區(qū);患者中TIA發(fā)作患者有15例,大面積梗塞患者11例,小面積梗塞患者14例,rCBF比值范圍為(0.764±0.117),兩組數(shù)據(jù)對比組間差異具有統(tǒng)計學(xué)意義(P<0.05)。
此為式(6)在滿足定解條件u(x,0)=3x2,uy(x,0)=0 時的精確解.
例2 考慮如下方程[8]:
定解條件為:
式(7)可改寫為:
由變分迭代算法,可以構(gòu)造方向上解的校正泛函如下:
應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:
假定初始近似解為:u0(x,y)=f(y)+g(y)x=0,
將u0(x,y)=f(y)+g(y)x=0 代入上式,可得:
此為式(7)滿足定解條件u(0,y)=0,ux(0,y)=0 時的精確解.
例3 考慮如下方程[8]:
定解條件為:
由變分迭代算法,可以構(gòu)造方向上解的校正泛函如下:
應(yīng)用變分迭代算法,可近似識別:λ=ξ-x
假定初始近似解為:
由式(5),可以得到解的迭代公式如下:
將u0(x,y)=f(y)+g(y)x=y+x 代入上式,可得:u1(x,y)=x+y
此為式(8)滿足定解條件u(0,y)=y,ux(0,y)=1 時的精確解.
把改進的變分迭代算法成功地運用到一類雙曲型偏微分方程的求解,過程既簡單又直觀,并且收斂速度很快,計算量小、精確度高,又可以很方便的編程.
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