全微分法在微分學中的應用

蔡白光，郭紀云

(海南大學 信息科學技術學院，海南 ?？?570228)

一元函數(shù)的導數(shù)與多元函數(shù)的偏導數(shù)是大學數(shù)學的重要內(nèi)容，也是很多初學者較難掌握的知識點.一方面，函數(shù)本身的多變性和復雜性，特別是不少復合函數(shù)變量之間錯綜復雜的關系，使學生在解決這類問題的時候捉襟見肘;另一方面，學生單一地依據(jù)求導法則去求解隱函數(shù)，復合函數(shù)的(偏)導數(shù)的時候，常會發(fā)現(xiàn)很難把握住函數(shù)變量間的關系，從而很容易造成問題的錯解.為此，本文提出應用全微分法去解決函數(shù)的(偏)導數(shù)問題.該方法的好處在于:不論函數(shù)的形式如何多樣，變量之間的關系有多么復雜，都可以利用一階微分形式的不變性對變量進行同等處理，從而可使問題簡單化，思路清晰化和方法規(guī)范化，大大提高了求解的效率，避免了繁雜的鏈式過程.

1 全微分法

所謂全微分法就是運用函數(shù)的全微分形式不變性，在函數(shù)或隱函數(shù)組中的各方程兩端分別求全微分，必要時消去中間變量的微分，最終求得函數(shù)的微分，并由此解出函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù).

一元函數(shù)及二元函數(shù)的全微分不變性可以概括為下列兩個定理.

定理1 設函數(shù)y=f(x)可導，則無論x 是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f(x)的微分形式總是dy=f'(x)dx，即一個一元可微函數(shù)的微分總是等于該函數(shù)對某個變量的導數(shù)乘以該變量的微分.

一般地，定理1 和定理2 可以推廣到任意n 元可微函數(shù).

2 全微分法在微分中的應用

2.1 全微分法在參數(shù)方程求導中的應用

解 分別對x，y 用全微分形式不變性及微分性質(zhì)得

2.2 全微分法在多元復合函數(shù)及隱函數(shù)求導中的應用

分析 該題目屬于復合函數(shù)求偏導問題，z 與x，y 的關系非常明確，但是，仍會有同學糾結(jié)于x 與y 之間的關系，這會讓問題變得復雜，且不利于求解問題.而采用全微分法則不需要考慮它們之間的關系，從而可使問題變得簡單.

即

整理可得

所以

證 利用全微分法，對函數(shù)y=f(x，t)和方程F(x，y，t)=0 兩邊分別求微分，得

聯(lián)立上面兩式消去dt，整理可得

運用以上思路，同樣可以應用全微分法到由多個方程所確定的隱函數(shù)組中的導數(shù)求解問題中去.通過對各個方程進行微分，可從所得到的微分方程組中求解出待求解的函數(shù)的導數(shù)(偏導數(shù)).

3 結(jié)論

全微分法不僅是函數(shù)求導的鏈式法則的有利補充，同時更是求解復合函數(shù)、抽象函數(shù)、方程所確定的隱函數(shù)以及由方程組所確定的隱函數(shù)組的(偏)導數(shù)的非常簡潔、便利、規(guī)范和高效的一種數(shù)學方法.該方法的引入使函數(shù)求導問題變得“有法可依”，“簡單易解”，從而大大提高了解決這類問題的效率，讓函數(shù)求導問題不再成為我們學習微積分的難題.

［1］同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學［M］.北京:高等教育出版社，1993.

［2］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［3］裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，1993.