關(guān)于不定方程x3±53=3Dy2

普粉麗，杜先存

(1.普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱 665000;2.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199)

方程x3±a3=Dy2(D 是無平方因子的正整數(shù))是一類重要的不定方程，其整數(shù)解越來越受到學(xué)者們的關(guān)注.杜先存等［1－4］、劉杰［5］、張淑靜［6］對(duì)a=1 的情況進(jìn)行了研究，得到了一系列結(jié)果.但a=5 時(shí)研究結(jié)果還不多見，主要成果有:李復(fù)中［7］用簡單同余法給出了不定方程x3±125=Dy2的全部非平凡正整數(shù)解，其中D＞0 且不能被3 或6k+1 形的素?cái)?shù)整除;李復(fù)中［8］用簡單同余法給出了一類不定方程x3±(5k)3=Dy2的全部非平凡整數(shù)解，其中D＞0 無平方因子且不能被3 或6k+1 型的素?cái)?shù)整除;劉曉敏［9］用二次剩余法給出了不定方程x3±125=Dy2無正整數(shù)解的充分性條件，其中D＞0，D 含6k+1 形素因子.筆者主要給出了不定方程x3±53=3Dy2無正整數(shù)解的2 個(gè)充分性條件.

引理1［6］設(shè)D=2a·q·p，其中p，q 均為奇素?cái)?shù)，a=0 或1，q≡5(mod 6)，則當(dāng)p=12r2+1，其中r是正整數(shù)時(shí)，方程x3±1=3Dy2無解(x，y).

無正整數(shù)解(x，y).

無正整數(shù)解(x，y).

當(dāng)x?0(mod 5)時(shí)，不妨設(shè)(x，y)是不定方程(1)的一組正整數(shù)解解，則有不定方程(1)可分解為(x－5)(x2+5x+25)=3Dy2，由gcd(x－5，x2+5x+25)=1 或3.根據(jù)奇偶性質(zhì)，可知x2+5x+25 必為奇數(shù)，即x2+5x+25?0(mod 2)，則不定方程(1)可分解為以下8 種情形:

情形Ⅰ x－5=3Da2，x2+5x+25=b2，y=ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅱ x－5=a2，x2+5x+25=3Db2，y=ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅲ x－5=3a2，x2+5x+25=Db2，y=ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅳ x－5=Da2，x2+5x+25=3b2，y=ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅴ x－5=9Da2，x2+5x+25=3b2，y=3ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅵ x－5=3a2，x2+5x+25=9Db2，y=3ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅶ x－5=9a2，x2+5x+25=3Db2，y=3ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅷ x－5=3Da2，x2+5x+25=9b2，y=3ab，gcd (a，b)=1.

情形Ⅰ 由x2+5x+25=b2得，(2x+5)2+75=4b2，即(2b)2－(2x+5)2=75，也即［2b－(2x+5)］［2b+(2x+5)］=75，又75=1×75，3×25，5×15，15×5，25×3，75×1，故可解得x=－21，－8，3，16，代入x－5=3Da2，得3Du2=－26，－13，－2，11，顯然無解.故情形Ⅰ不成立.

由證明可知，當(dāng)D=12r2+1，且r≡0，2，3(mod 5)時(shí)，矛盾.故情形Ⅱ不成立.

情形Ⅲ 由x2+5x+25=Db2配方得(2x+5)2+75=D(2b)2，把x=3a2+5 代入得(6a2+15)2+75=D(2b)2，即9(2a2+5)2+75=D(2b)2，因9(2a2+5)2+75≡0(mod 3)，而D=12r2+1，由此可得D?0(mod 3)，要使9(2a2+5)2+75=D(2b)2成立，則有b≡0(mod 3)，即x2+5x+25≡0(mod 3)，即gcd(x－5，x2+5x+25)=3，這與gcd (x－5，x2+5x+25)=1 矛盾.故情形Ⅲ不成立.

由情形Ⅳ的證明可知，情形Ⅴ不成立.

情形Ⅵ 由x2+5x+25=9Db2配方得(2x+5)2+75=9D(2b)2，把x=3a2+5 代入得(6a2+15)2+75=9D(2b)2，即3(2a2+5)2+25=3D(2b)2，又因?yàn)?D(2b)2≡0(mod 3)，而25?0(mod 3)，即3(2a2+5)2+25?0(mod 3)，矛盾.故情形Ⅵ不成立.

由情形Ⅱ的證明可知，情形Ⅶ不成立.

由情形Ⅵ的證明可知，情形Ⅷ不成立.

同理可證定理2.

［1］杜先存，萬飛，楊慧章.關(guān)于丟番圖方程x3±1=1267y2的整數(shù)解［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43(15):288－292.

［2］杜先存，管訓(xùn)貴，楊慧章.關(guān)于不定方程x3+1=91y2［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)漢文版，2013，42(4):397－399.

［3］杜先存，吳叢博，趙金娥.關(guān)于Diophantine 方程x3±1=3Dy2［J］.沈陽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，25(1):84－86.

［4］杜先存，趙東晉，趙金娥.關(guān)于不定方程x3±1=2py2［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，39(1):42－43.

［5］劉杰.關(guān)于Diophantine 方程x3+1=111y2［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，28(13):205－208.

［6］張淑靜.關(guān)于Diophantine 方程x3±1=3Dy2［J］.高師理科學(xué)刊，2009，29(2):16.

［7］李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±125=Dy2［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1996(3):15－16.

［8］李復(fù)中.關(guān)于一類丟番圖方程x3±(5k)3=Dy2［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1998(2):16-19.

［9］劉曉敏.關(guān)于丟番圖方程x3±p3=Dy2解的討論［D］.哈爾濱:哈爾濱理工大學(xué)，2006.