利用幾何畫板巧解有關(guān)平面直角坐標(biāo)系的問題

于江波

（沈陽師范大學(xué)教師專業(yè)發(fā)展學(xué)院，遼寧 沈陽 110034）

利用幾何畫板巧解有關(guān)平面直角坐標(biāo)系的問題

于江波

（沈陽師范大學(xué)教師專業(yè)發(fā)展學(xué)院，遼寧 沈陽 110034）

利用幾何畫板獲得的經(jīng)驗(yàn)性知識，能夠順利實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)各種類型語言之間的轉(zhuǎn)化，有助于學(xué)生邏輯知識體系的建立，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生從語言閱讀開始認(rèn)真觀察，尋找數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系，提高學(xué)生解決問題的能力。

幾何畫板；平面直角坐標(biāo)系；數(shù)學(xué)問題

一、問題的提出

在北師大版八年級數(shù)學(xué)課本“平面直角坐標(biāo)系”一節(jié)的習(xí)題中，曾經(jīng)出現(xiàn)過這樣一道題：傳說中藏寶人生前利用平面直角坐標(biāo)系畫了一幅藏寶圖。現(xiàn)今的尋寶人沒有原來的地圖，但知道在這圖上有兩塊大石頭A、B，坐標(biāo)是（2，1）、（8，2），而藏寶地的坐標(biāo)是（6，6），試設(shè)法在地圖上找到藏寶地點(diǎn)。

在不知道平面直角坐標(biāo)系（以下簡稱為坐標(biāo)系）的前提下，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)要想確定第三點(diǎn)坐標(biāo)，必須找到坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)、單位長度（即單位“1”）和坐標(biāo)軸的方向。然而在這道問題中，A、B兩點(diǎn)的距離經(jīng)過計(jì)算是無法通過常規(guī)的方法確定其坐標(biāo)系的單位“1”的長度，從而使解決這道題陷入了瓶頸。

那么如何才能在沒有坐標(biāo)系的情況下，通過已知的一個無理數(shù)的長度確定單位“1”的大小呢？這里我們可以通過幾何畫板這個軟件的輔助來實(shí)現(xiàn)。

二、問題的解決

（一）問題分析

問題的解決需要找到：坐標(biāo)原點(diǎn)、單位長度（即單位“1”）和坐標(biāo)軸的方向，其中最關(guān)鍵的是確定單位“1”的長度。因?yàn)锳、B兩點(diǎn)的距離是個無理數(shù)，因此無法準(zhǔn)確地畫出單位“1”的長度。因此這里不妨利用幾何畫板這一動態(tài)工具來解決：以線段AB為直徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)P構(gòu)造直角三角形ABP，使AB成為直角三角形的斜邊，因此斜邊長即為通過調(diào)整P點(diǎn)在圓上的位置使兩直角邊的比為6：1，那么比例為1份的那條直角邊即為單位“1”的長度，解決了由于常規(guī)方法很難準(zhǔn)確地度量出兩條線段的精確比值，因而找不到單位“1”的問題。

（二）具體制作步驟

1．在幾何畫板中任意畫兩個點(diǎn)，標(biāo)注坐標(biāo)分別為A（2，1）、B（8，2）。（先假設(shè)左邊點(diǎn)（2，1）為 A，右邊點(diǎn)（8，2）為 B）

2．連接A、B兩點(diǎn)，取線段AB的中點(diǎn)為O，并以O(shè)為圓心，BO為半徑作圓，如圖1。

3．在圓O上任選一點(diǎn)P（假設(shè)P點(diǎn)靠近B點(diǎn)，并在B點(diǎn)下方），連接PA、PB。（此時PA、PB一定是直角三角形的兩條直角邊）

4．度量PA、PB的長度，并計(jì)算出PA/PB的比值。（注意：始終使長邊比短邊）

5．如圖2，調(diào)整P點(diǎn)的位置，使其比值恰好等于6，這時PB的長度即為單位長度。

6．如圖3過A點(diǎn)作PA的垂線a，并以A為圓心、PB長為半徑畫圓，此圓與直線a的交點(diǎn)為M，再過點(diǎn)M作直線a垂線，此直線即為x軸，并且取向右方向?yàn)檎较颉?/p>

7．如圖4，以M點(diǎn)為圓心，2MA長為半徑畫圓，此圓與x軸的交點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn)。（2MA長的確定方法：以A點(diǎn)為圓心，MA長為半徑作圓，不妨設(shè)線段MA所在的直線與圓的另一個交點(diǎn)為Q，則MQ長就是2MA長,也就是所作圓的直徑。）

8．如圖4，過原點(diǎn)作x軸的垂線，那么此垂線即為y軸，取向上方向?yàn)檎较?。到此原點(diǎn)、單位長度和坐標(biāo)軸都確定了，找到藏寶地（6，6）點(diǎn)就不是問題了。

（三）關(guān)于P點(diǎn)存在數(shù)量問題的討論

在前面的做法中我們假設(shè)P點(diǎn)靠近B點(diǎn)，并在B點(diǎn)下方，那么在B點(diǎn)的上方和A點(diǎn)的上方、下方能否找到同樣符合PA/PB的比值為6的P點(diǎn)呢？答案是肯定的。這樣P點(diǎn)的位置除了上面已討論的情況外，還有三種可能的情況，下面分別討論這三種情況是否能滿足已知條件，從而確定P點(diǎn)存在的數(shù)量。

1．情況一

我們把在B點(diǎn)上方找到的點(diǎn)設(shè)為，那么根據(jù)之前敘述的具體操作步驟，我們找到了單位“1”并做出了坐標(biāo)系，但令人費(fèi)解的是A、B兩點(diǎn)同時位于坐標(biāo)系的第二象限，坐標(biāo)應(yīng)為負(fù)數(shù)，這與已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都為正數(shù)相矛盾；此外，按照坐標(biāo)系的性質(zhì)越往正方向坐標(biāo)的數(shù)值應(yīng)該越大，A、B兩點(diǎn)的位置與它們已知的坐標(biāo)相矛盾，因此這種情況點(diǎn)是不存在的。

2．情況二

我們把在A點(diǎn)上方找到的點(diǎn)設(shè)為，同理根據(jù)之前敘述的具體操作步驟，我們找到了單位“1”并做出了坐標(biāo)系，通過作圖和觀察我們發(fā)現(xiàn)，這種情況符合坐標(biāo)系的性質(zhì)以及坐標(biāo)數(shù)值的大小規(guī)律。

但有一點(diǎn)需要注意：此時A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)需要對調(diào)，使 B 點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）、A 點(diǎn)坐標(biāo)為（8，2），這樣才能夠成立。也就是說藏寶圖中沒有確定A、B某一個點(diǎn)的坐標(biāo)就是（2，1），而不可能是（8，2）時，這種情況也成立。但如果藏寶圖中表明了地理方位、方向指示以及確定點(diǎn)的坐標(biāo)表示，那么這種情況就與第一種情形取其中一種，具體哪種還要看地圖中（8，2）點(diǎn)在（2，1）點(diǎn)的右邊還是左邊了。

3．情況三

我們把在A點(diǎn)下方找到的點(diǎn)設(shè)為，通過作圖和觀察發(fā)現(xiàn)，此種情況與情況一類似，只是方向不同而已，因此不存在的理由也是相同的，具體作圖方法和分析過程同上，此處不再贅述。

事實(shí)上我們按照上面的方法作出的四個點(diǎn)中只有P、符合條件，也就是說在找到坐標(biāo)軸后，兩點(diǎn)的坐標(biāo)符合其在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)位置，因此滿足條件的P點(diǎn)只有兩個，也可能是一個。

三、評價(jià)與總結(jié)

通過對北師大版八年級課本有關(guān)平面直角坐標(biāo)系的一道“藏寶圖”問題的分析和探索，我們看到此題是一道能讓學(xué)生充分體會平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)原點(diǎn)、單位“1”和坐標(biāo)軸方向的重要性的題目，對認(rèn)識平面直角坐標(biāo)系以及利用其性質(zhì)去解決問題有很大的幫助。這道題之所以后來被刪掉，關(guān)鍵是由于已知兩點(diǎn)之間的距離是個無理數(shù)，無法通過簡單常規(guī)的測量方法找到單位“1”。然而利用幾何畫板這一有力的工具，使這道不易解決的問題迎刃而解。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，是學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去?！比绻處熢跀?shù)學(xué)教學(xué)中善于發(fā)揮幾何畫板形象化、動態(tài)化的優(yōu)勢，就可以像解決這個“藏寶圖”問題一樣，為學(xué)生創(chuàng)造人機(jī)交互、及時反饋的學(xué)習(xí)環(huán)境，從而改善教與學(xué)的方式，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等多種方式進(jìn)行數(shù)學(xué)活動，積累多樣化的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造性地解決在學(xué)生看來難以解決的問題。

[1]瞿紹軍，劉宏，劉先鋒.讓《幾何畫板》生動起來[J].中小學(xué)信息技術(shù)教育，2005（07）.

[2]楊超杰.淺談“幾何畫板”及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2009（03）.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

于江波（1969-），女，遼寧沈陽人，沈陽師范大學(xué)教師專業(yè)發(fā)展學(xué)院，講師，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

（責(zé)任編輯：張華偉）