直線中的最值問題

鄭玉琳　康瑩

直線方程從代數(shù)角度而言是函數(shù)中最簡單的一種形式，也是學(xué)習(xí)解析幾何的基礎(chǔ).與直線方程有關(guān)的最值問題是一種常見題型， 它是直線方程與代數(shù)知識(shí)的有機(jī)綜合，體現(xiàn)了用數(shù)解形的數(shù)學(xué)思想.

求直線中的最值問題方法：

1.配方法 —— 針對(duì)二次函數(shù).

2.不等式法 ——針對(duì)和（積）定的函數(shù).

3.數(shù)形結(jié)合法 ——先作出函數(shù)的圖象，再利用函數(shù)圖象的特征解題

4.判別式法——針對(duì)含參數(shù)的一元二次方程.

一、轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值

例1 如圖1，某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE上劃出一塊長方形地面（不改變方位）建造一幢八層樓的公寓，問如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積.

解析：顯然長方形的第四個(gè)定點(diǎn)一定在線段AB上，設(shè)該點(diǎn)為M，如圖構(gòu)造長方形MNDP，并補(bǔ)出長方形QCDP，

二、利用判別式求最值

根據(jù)已知條件建立含參數(shù)的一元二次方程， 再由方程有解的條件， 用判別式求解.

例2 已知直線l：y=4x和點(diǎn)P（3，2），點(diǎn)N是l上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線NP交x軸的正半軸于點(diǎn)M，則△OMN的面積的最小值是 .

解析： 設(shè)M（a，0）（a>0），則PM的方程為

三、 數(shù)形結(jié)合求解最值

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題，不僅直觀，易于尋找解題途徑，而且可避免復(fù)雜的計(jì)算和推理，簡化解題過程，起到事半功倍的效果.