基于能量守恒的生態(tài)系統(tǒng)預(yù)測模型研究

藍洋

（西安外事學院 陜西 西安 710077）

地球是人類賴以生存的環(huán)境，人類過往的活動使生態(tài)環(huán)境逐步惡化，出現(xiàn)了諸如氣候變化、水土流失、物種滅絕、污染、資源匱乏等問題[1]。人類迫切需要了解地球環(huán)境的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，以期能夠采取某些措施扭轉(zhuǎn)這一局面[2-3]，從而使得人類作為生態(tài)系統(tǒng)的一個組成部分，與整個自然界和諧共存并長期發(fā)展。因此，科學家們在生態(tài)系統(tǒng)的方面做了大量調(diào)查與研究，并提出一些模型對生態(tài)系統(tǒng)進行描述，但是這些模型大多存在的問題是僅考慮了局部因素，而忽略了整個生態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系[4]，從而無法對生態(tài)環(huán)境的發(fā)展做長期、準確的預(yù)測。本文基于能量守恒原理提出了用于描述和預(yù)測生態(tài)系統(tǒng)發(fā)展的動力系統(tǒng)模型，模型的求解結(jié)果表明，本模型能夠定性和定量分析影響生態(tài)系統(tǒng)的各個因素，能夠預(yù)測生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變化趨勢，為決策者識別關(guān)鍵因素和進行決策提供參考依據(jù)。

1 生態(tài)環(huán)境的動力系統(tǒng)建模

為了能夠準確的建立描述生態(tài)環(huán)境的動力系統(tǒng)模型，我們首先研究了影響生態(tài)系統(tǒng)的諸多因素[5]，從中選取了6種生態(tài)環(huán)境中的影響因素作為監(jiān)測節(jié)點。然后，通過調(diào)查這些因素之間相互關(guān)系，建立生態(tài)環(huán)境的網(wǎng)絡(luò)圖。最后，根據(jù)能量守恒原理，依據(jù)網(wǎng)絡(luò)圖對生態(tài)環(huán)境建立動力系統(tǒng)模型，各部分詳細闡述如下。

1.1 影響因素的選取

眾所周知，生態(tài)系統(tǒng)的變化受到各種人為因素和自然因素的影響，又由于各種因素之間的交互作用導(dǎo)致生態(tài)系統(tǒng)極其復(fù)雜。在眾多影響因素中需要選擇直觀、必要、且具有概括性的因素來描述生態(tài)系統(tǒng)，因此，通過研究對生態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生長期影響的因素，本文選取了氣候、植被、物種、經(jīng)濟、海洋及人口等6個因素來概括描述生態(tài)系統(tǒng)。

1.2 生態(tài)網(wǎng)絡(luò)圖

生態(tài)系統(tǒng)復(fù)雜性的來源之一是各個因素之間直接或者間接的交錯影響，將各因素之間的聯(lián)系表示為有向圖是直觀且可行的。本文采用前述6個因素作為生態(tài)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖的節(jié)點，并將所有節(jié)點的物理屬性抽象描述為能量概念，下文稱之為能量節(jié)點。由此，不同生態(tài)系統(tǒng)影響因素之間的關(guān)系可以被描述為能量節(jié)點之間的能量傳遞，連接網(wǎng)絡(luò)圖中能量節(jié)點的有向邊的權(quán)值即為能量傳遞效率。本文建立的生態(tài)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖如圖1所示。

圖1 生態(tài)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 Ecosystem network model

圖中，Ei，i=1，2，…，6 表示第 i個能量節(jié)點的能量值。 網(wǎng)絡(luò)圖中每個有向邊均具有權(quán)值 kij，i，j=1，2， …，6，i≠j表示第i個能量節(jié)點到第j個能量節(jié)點的能量傳遞效率。

1.3 動力系統(tǒng)建模

顯然，生態(tài)系統(tǒng)是個隨時間發(fā)生演化的動力系統(tǒng)，描述動力系統(tǒng)的最佳數(shù)學工具即為微分方程組模型，因此本文針對每個能量節(jié)點建立微分方程，構(gòu)造整個生態(tài)系統(tǒng)的微分方程組模型。以物種數(shù)量為例，在圖1中找出所有影響物種數(shù)量的那些節(jié)點，形成如圖2所示的子圖，即為物種節(jié)點的割。

圖2 物種節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)子圖Fig.2 Sub-graph of the species'node

根據(jù)圖2，能夠得到物種能量的變化率與其他相關(guān)節(jié)點能量之間的關(guān)系，即物種節(jié)點的能量變化率等于輸入能量減去輸出能量，如表達式（1）所示。

其中，Ei表示第i個能量節(jié)點的取值，kii表示第i個能量節(jié)點對其他所有能量節(jié)點的輸出能量傳遞系數(shù)，kij（i≠j）表示第j個節(jié)點對第i個節(jié)點的輸入能量傳輸效率。需要注意的是，式（1）右端的常數(shù)項P1表示政府針對第1個因素所采用的調(diào)控政策，P1對生態(tài)系統(tǒng)的影響將會在模型分析中詳細闡述。

事實上，上述所描述的“能量”對于生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定存在“正負”效應(yīng)，根據(jù)各個能量節(jié)點對環(huán)境影響的物理意義，其正負意義不難看出。例如，在式（1）中地球植被覆蓋率的增加將促進物種多樣性的提高，從而有利于生態(tài)環(huán)境平衡與發(fā)展，所以定義為正能量。同時，人口數(shù)量的增加將不利于物種多樣性的提高，所以定義為負能量。能量的表示符號與極性如表1所示。

表1 各種能量的符號與極性Tab.1 The symbol and polar of all kinds of energy

在所有因素被抽象描述為正負能量之后，用能量疊加的概念能夠很容易說明節(jié)點之間的相互影響：如果負能量流入某個正能量節(jié)點，將導(dǎo)致此節(jié)點中的正能量下降；同時，若正能量流入了正能量節(jié)點，則將使得這個節(jié)點的正能量增加。在全面考慮了前述各個能量節(jié)點間關(guān)系后，我們對生態(tài)動力系統(tǒng)建立如下微分方程組模型：

其中，各符號定義同式（1）。

2 模型分析

可以證明，本文的微分方程組模型將收斂于穩(wěn)態(tài)解[6]。穩(wěn)態(tài)的含義即為，隨著時間推移，系統(tǒng)各個能量不再變化，即變化率為零。所以，在生態(tài)系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，微分方程組的解（即穩(wěn)態(tài)時各個變量的取值）等于以下線性方程組的解。

將滿足方程組（3）的解向量（E1，E2，E3，E4，E5，E6）稱為微分方程組的平衡點。由于在能量節(jié)點設(shè)置與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點關(guān)系構(gòu)建中，沒有包含冗余關(guān)系，所以能夠確保方程（3）有唯一解。此時，微分方程組（2）的任意初始值都將收斂至平衡點。又因為我們所面臨的問題是生態(tài)系統(tǒng)問題，方程組（2）所有變量的物理意義決定了變量的取值必為正。線性方程組（3）對于生態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的監(jiān)控、預(yù)測與控制的意義將在后文模型應(yīng)用中詳細闡述。

3 模型求解

為了求解此描述生態(tài)系統(tǒng)微分方程組（2），必須首先獲得每個方程組中各項系數(shù)的取值，鑒于已經(jīng)有許多成熟的參數(shù)估計方法可用，本文假設(shè)已經(jīng)通過歷史數(shù)據(jù)獲得了方程組各項系數(shù)。本文采用Runge-Kutta[7]數(shù)值方法求解微分方程組（2），求解結(jié)果如圖3所示。

圖3 微分方程組模型的求解結(jié)果Fig.3 The results of our differential equation system model

圖3所示的每個子圖是每種能量隨時間推移的演化示意圖。由圖可以看出，由于各種正負能量相互抵消，在經(jīng)過單調(diào)增、單調(diào)減或波動之后，整個系統(tǒng)達到了平衡狀態(tài)。每種能量的演化過程和所達到的穩(wěn)態(tài)將幫助我們獲取能說明生態(tài)環(huán)境狀況的有效信息，以下即詳細討論。

4 模型應(yīng)用

我們的目的是建立一個模型對生態(tài)系統(tǒng)進行檢測并為保護環(huán)境的決策提供依據(jù)，那么根據(jù)上述模型求解及分析我們已經(jīng)得到了一些必備的信息。這里，用一個兩變量的微分方程組進行直觀說明。

設(shè)有能量A和能量B，分別對應(yīng)變量x和y，其對應(yīng)的微分方程組為

系統(tǒng)的平衡點（x*，y*）是方程組（5）的解[8]

如果能量A和能量B均為正能量，則方程組（5）的解（即平衡點）應(yīng)該處于坐標系的第一象限內(nèi)，如圖4（a）所示。如果能量A為正能量且能量B為負能量，則方程組（5）的解應(yīng)在第四象限內(nèi)，如圖4（b）所示。接下來，用平衡點在空間中的位置能夠說明生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。

所謂生態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)惡化或者處于危險狀態(tài)，表示此時或者未來生態(tài)系統(tǒng)中某些或者全部能量將處于一個人類所不能忍受的極低水平。因此，那么生態(tài)系統(tǒng)處于危險狀態(tài)即意味著能量向量（x，y）處于圖5的陰影區(qū)內(nèi)，將這個區(qū)域稱為預(yù)警區(qū)域。通過檢測生態(tài)系統(tǒng)中能量向量在空間中所處的位置，我們可以判斷生態(tài)系統(tǒng)的各項指標是否處于預(yù)警區(qū)域，并能夠依據(jù)平衡點的坐標值評估整個生態(tài)系統(tǒng)的健康度。

圖4 預(yù)警區(qū)域示意圖Fig.4 The sketch of tipping point area

在獲得了生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)信息之后，政府需要實施某些措施，使得生態(tài)系統(tǒng)的平衡點遠離預(yù)警區(qū)域。仍然以方程（5）為例，假設(shè)能量A與能量B均為正能量，P1，P2為政府分別針對不同因素所實施的環(huán)境保護措施。如圖5（a）所示，當政府在現(xiàn)有狀態(tài)下不另外施加任何措施，即P1=P2=0，則系統(tǒng)的平衡點（即線性方程組的解，如圖5（a）所示的兩條直線的交點）處于預(yù)警區(qū)域內(nèi)。當政府實施的環(huán)境保護措施，通過改變P1，P2的值，則能夠使得系統(tǒng)的平衡點遠離預(yù)警區(qū)域，如圖5（b）所示。

圖5 政府調(diào)控措施效果示意圖Fig.5 The illustration of the effect of governmental polies

上述分析與應(yīng)用是針對兩個變量的微分方程組模型，在實際應(yīng)用中，當需要考慮生態(tài)系統(tǒng)中的多個因素時，上述建模方法與結(jié)論分析可以由兩個變量的微分方程組模型推廣至多變量微分方程組模型。

5 結(jié) 論

針對生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)監(jiān)測與預(yù)測問題，本文提出了一種基于能量守恒的生態(tài)系統(tǒng)模型。其優(yōu)點是能夠通過定性和定量的分析各種環(huán)境影響因素，獲得生態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)信息，同時預(yù)測生態(tài)系統(tǒng)在未來的發(fā)展趨勢，并最終能夠向決策者提供環(huán)境保護措施的實施依據(jù)，具有較高的實用價值。

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