半質(zhì)環(huán)的交換性條件

黃志剛，鞏英海

(哈爾濱理工大學(xué)，應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，哈爾濱150080)

1 引言

郭元春[1]1983年證明了半質(zhì)環(huán) R，若對(duì)任意的x，y∈R均滿足條件(xy)2+x2y2∈Z(R)或(xy)2+y2x2∈Z(R)，則 R 是交換環(huán).朱捷等[2]1998年把y固定為某正則元得到了相同的結(jié)論.朱捷等[3]又在年得到了更多的使半質(zhì)環(huán)交換的二項(xiàng)四次中心多項(xiàng)式條件.肇慧等[4]年將中心條件改為換位子在中心推廣了此結(jié)論.2007年王延鵬等[5]把朱捷，于憲君的結(jié)論中次方推廣為2m次方.王琳琳等[6]又將王延鵬條件限制在某子結(jié)構(gòu)上，并在其畢業(yè)論文中將二項(xiàng)式推廣為三項(xiàng)式.2011年謝中根[7]又得到了使半質(zhì)環(huán)交換的新的二項(xiàng)四次中心多項(xiàng)式條件.此外，2008年朱捷等[8]對(duì)其2003年的工作在項(xiàng)數(shù)上做一般性推廣，得到六項(xiàng)四次齊次式的新條件.本文將綜合以上工作，在次數(shù)及項(xiàng)數(shù)上做推廣嘗試.

2 主要結(jié)論

本文中的環(huán)均為結(jié)合環(huán)，Z(R)表示R的中心，Z+表示正整數(shù)集，Z(R)m×1表示每個(gè)元素都在Z(R)中的m行1列矩陣，A*表示方陣A的伴隨矩陣.

為證明本文主要結(jié)論首先證明下面引理.

引理 設(shè)R為半質(zhì)環(huán)，m為自然數(shù)，a∈R，且2ma為正則元，如果R滿足下列條件之一，則a不為冪零元，且a2m∈Z(R).

(A)(xa)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m+s4a2mam∈Z(R)，?x∈R;

(B)(ax)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m+s4amx2mam∈Z(R)，?x∈R.其中:s1，s2，s3，s4為固定整數(shù)，且 s1+s2+s3+s4=1.

證明:若設(shè)a為冪零元，則有1＜k∈Z+，使得ak=0，且 ak－1≠0，進(jìn)而有 2ma·ak－1=0，而 2ma為正則元，故ak－1=0，矛盾.所以a不為冪零元.

取x=a，代入(A)中有 2a4m∈Z(R)，由2ma為正則元，得a4m∈Z(R).

取 x=a2，代入(A)中有 2a6m∈Z(R)，由 2ma為正則元，得 a6n∈Z(R).而 a6m=a4m·a2m∈Z(R)，由a4m∈Z(R)且a不為冪零元，故可得a2m∈Z(R).同理可證滿足(B)時(shí)a也不為冪零元，且a2m∈Z(R).

定理1 設(shè)R為半質(zhì)環(huán)，m為自然數(shù)，a∈R，且2ma為正則元，如果R滿足下列條件之一，則R為交換環(huán).

1)(xa)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m∈

Z(R)，?x∈R;

2)(ax)am+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m∈Z(R)，?x∈R.

其中:s1，s2，s3為固定整數(shù)，且 s1+s2+s3=1.

證明:該定理的條件(1)為上述引理?xiàng)l件(A)當(dāng)s4=0時(shí)的特例，所以可得a2m∈Z(R)，故(1)可化為(xa)2m+x2ma2m∈Z(R)，故由文獻(xiàn)[5]得為R交換環(huán).同理可證明滿足(2)時(shí)環(huán)R也是交換的.

若加強(qiáng)引理的條件，則可得到更一般的多項(xiàng)式條件使得半質(zhì)環(huán)交換.

定理2 設(shè)R為半質(zhì)環(huán)，m為自然數(shù)，a∈R，當(dāng)2m!a為正則元時(shí)，如果R滿足下列條件之一，則R為交換環(huán).

3)(xa)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m+s4amx2mam∈Z(R)，?x∈R;

4)(ax)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m+s4amx2mam∈Z(R)，?x∈R.

其中:s1，s2，s3，s4為固定整數(shù)，且 s1+s2+s3+s4=1.

證明:上述引理在該定理?xiàng)l件下也成立，故a2m∈Z(R)，取 x=(1+am)a2m代入(3)中有

((1+am)a2m·a)2m+s1((1+am)a2m)ma2m((1+am)a2m)m+s2((1+am)a2m)2ma2m+s3a2m((1+am)a2m)2m+s4am((1+am)a2m)2mam∈Z(R)

從而得

(1+am)2m·a4m2·a2m+(1+am)2ma4m2·a2m∈Z(R)

即得 2(1+am)2ma4m2·a2m∈Z(R).又由2m!a為正則元上式可得(1+am)2m·a2m∈Z(R)，將此展開得

如果取 kam，k=1，2，3…m，則可得:

可記為 Aα=β∈Z(R)m×1，進(jìn)而有 A*Aα=A*β∈Z(R)m×1，即有

又知|A|2mam∈Z(R)，則當(dāng)2m!a為正則元時(shí)，am∈Z(R).故式(3)可化為(xa)2m+x2ma2m∈Z(R)，由文獻(xiàn)[5]得R是交換的.同理可證滿足式(4)時(shí)R也是交換的.

3 結(jié)語

定理2雖然比定理1的多項(xiàng)式條件更廣泛，但是需要附加扭自由的限制.目前，還沒有找到合適的例子說明這個(gè)附加條件是必要的.這將是今后的一個(gè)研究方向.另外，于憲君[8]已經(jīng)在次數(shù)為2的時(shí)候?qū)⒍囗?xiàng)式條件推廣為最一般的6項(xiàng)式，在次數(shù)不為2時(shí)能否做到也是日后需要考慮的內(nèi)容.

[1] 郭元春.環(huán)的交換性條件[J].吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1983(2):19－25.

[2] 朱 杰，于憲君，國春光.關(guān)于半質(zhì)環(huán)的中心與交換性[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1998，15(4):28－29.

[3] 朱 捷，于憲君.關(guān)于半質(zhì)環(huán)的幾個(gè)交換性條件[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003，19(3):9－10.

[4] 肇 慧，楊新松.關(guān)于半質(zhì)環(huán)的幾個(gè)交換性條件[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，9(5):90 －91.

[5] 王延鵬，陳光海.關(guān)于半質(zhì)環(huán)的幾個(gè)交換性條件[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，12(6):77 －78.

[6] 王琳琳，楊新松.使半質(zhì)環(huán)交換的兩個(gè)子結(jié)構(gòu)條件[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，25(4):475－476.

[7] 謝中根.特征非2半質(zhì)環(huán)的交換性定理[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(1):73－74.

[8] 朱 捷，于憲君.關(guān)于半質(zhì)環(huán)的幾個(gè)交換性條件[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25(4):450－451.