函數(shù)空間相對性質(zhì)的研究

李 影，張洪剛，張國芳

設(shè)R是實數(shù)空間，X是一個拓撲空間，RX是X上的所有實值函數(shù)的集合，令 A?X，B?R，定義 M(A,B)={f∈RX|f(A)?B}。設(shè) Φ 是X的所有有限子集構(gòu)成的集族，τ是R的通常拓撲。令B=｛∩i=1kM(Ai,Ui)|Ai∈Φ，Ui∈τ，｝,則稱以B為基生成的 RX的拓撲為 RX的點態(tài)收斂拓撲。

顯然，RX也可以看作是笛卡爾積，其中對任意x∈X，有RX=R.于是，具有以在 Rxi中開}為基的積拓撲,易證RX上的點態(tài)收斂拓撲與笛卡爾積的積拓撲相同。眾所周知，積空間關(guān)于是封閉的，且實數(shù)空間R是T4的，所以有RX是Ti空間，其中

設(shè)Cp(X)為X上所有實值連續(xù)函數(shù)的集合，則它具有RX的子空間拓撲，所以Cp(X)在點態(tài)收斂拓撲下是的。

對 k∈ω，x1，x2，…，xk∈X，f∈RX，ε〉0，令

W(f，x1，x2，…，xk，ε)=｛g∈RX‖g(xi)-f(xi)|〈ε，i=1，2，…k}

則所有形式為 W=W(f，x1，x2，…，xk，ε)的子集族是 Cp(X)的一個基。

定義1[4]：X的Souslin數(shù)C(X)是指X的由兩兩不交的非空開集構(gòu)成的集族的基數(shù)不超過τ的最小無限基數(shù)τ。

定義2[5]：子空間Y叫做在X中正則的，若對于任意y∈Y及X中每個不包含y的閉集P，都存在X中不交開集U，V，使得y?U，P∩Y?V。

定義3[5]：子空間Y叫做在X中強正規(guī)的，如果對于Y的每對不交閉集A，B，都存在X中不交開集U，V，使得A?U且B?V。

定義4[5]：Y叫做在X中仿緊的，如果對于X的每一個開覆蓋γ，都存在X的開集族Y，使得Y在Y的每一點都局部有限且Y加細γ，即，對于每一個V∈Y，都有U∈γ，使得V?U且Y?UY。

定理 1[2]：Cp(X)在 RX中稠密，即

證明：設(shè) f∈RX，對于 X 的任一有限子族 x1，x2，…，xk∈X，都存在一個 g∈Cp(X)使得 g(xi)=f(xi)i=1，2，…，k，所以

推論2：Cp(X)的Souslin數(shù)是可數(shù)的。

空間X稱為仿緊的，如果X的任意一個開覆蓋A有一個覆蓋X的局部有限開加細B。我們知道一個拓撲空間X仿緊的當(dāng)且僅當(dāng)X的每個開覆蓋Y都有一個σ-離散開加細（見文獻[4]），于是有：

定理 3：Cp(X)是仿緊的?Cp(X)是 Lindel?f的。

證明：?若Cp(X)仿緊，設(shè)Y是Cp(X)的任意開覆蓋，則Y有一個σ-離散開加細，由推論2，則有基數(shù)小于或等于?0的σ-離散開加細，所以Y有可數(shù)子覆蓋，故Cp(X)為Lindel?f空間.

?由于 Cp(X)是正則的，所以若 Cp(X)為 Lindel?f的，則 Cp(X)是仿緊的。

由RX的特性，關(guān)于Cp(X)在RX中的相對分離性質(zhì)有：

命題4：Cp(X)在RX中正則的。

此外有

定理5：若Cp(X)是仿緊的，則Cp(X)在RX中強正規(guī)，因此Cp(X)在RX中也是正規(guī)的。

證明：若 Cp(X)是仿緊的，則由定理 3，可知 Cp(X)是 Lindel?f.由命題4，知Cp(X)在RX中正則的。類似[1]定理3.9的證明，則有Cp(X)在RX中強正規(guī)。

注：若Y是X的子空間，且Y自身仿緊，但Y在X中未必仿緊。

例 1：X=R×[0,∞)為 Niemytzki平面，Y=R×{0}.則 Y 是一個不可數(shù)的閉的離散子空間，且Y是仿緊的，但Y在X中不是仿緊的。

因此，下面的結(jié)果是有趣的：

定理6：若Cp(X)是仿緊的，則Cp(X)在RX中仿緊。

證明：由 Cp(X)仿緊可知 Cp(X)是 Lindel?f的。而 Cp(X)與 RX都是正則的，則由[1]中定理7.10，可知，Cp(X)在RX中仿緊。

[1]Arhangel'skii.A.V..From classic topological invariants to relative topological properties[J].Sci.Math.Japon.2002,55(1):153-201

[2]Arhangel'skii A.V..Topological function spaces[M].Kluwer Academic Publishers.(1992)

[3]Arhangel'skii A.V.and Genedi H.M.M..Beginning of the Theory of Relative Topological Properties[J].In General Topology,Space and Mapping.MGU,(1989),3-48

[4]Engelking.R..General Topology[M].Sigma Series in Pure.Mathematics,Heldermann,Berlin,revised,1989

[5]Arhangel'skii A.V..Relative topological properties and relative topological spaces[J].Topology and Appl.70(1996),87-99