數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)：?jiǎn)栴}、歸因與對(duì)策

晁學(xué)民，張 號(hào)

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

引言

數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值早已為人們所認(rèn)識(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊曾說過：“如果我們要想預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)的未來，那么適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀?！钡诙脟?guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)成立的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系國(guó)際研究小組HPM，標(biāo)志著數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的關(guān)系已經(jīng)成為一個(gè)學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域。[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也將數(shù)學(xué)知識(shí)的背景、數(shù)學(xué)史選講和數(shù)學(xué)文化列入其中，原因在于，在課堂上講點(diǎn)數(shù)學(xué)史有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，而“興趣是最好的老師”，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)；通過數(shù)學(xué)史的融入，學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生背景和過程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀。[2]此外，通過某些史料與教學(xué)內(nèi)容的整合，學(xué)生還能從中感悟到一些基本的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。雖然數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值得到很高的評(píng)價(jià)，但數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的現(xiàn)狀卻不容樂觀。數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)存在著諸多有待進(jìn)一步研究的問題。

1 數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)存在的問題

數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值雖是多數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家公認(rèn)的，但數(shù)學(xué)史“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”的現(xiàn)象早已有之，數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)還存在著許多問題有待我們改進(jìn)、解決。

1.1 主次顛倒

數(shù)學(xué)史的滲透是為數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)的，不能喧賓奪主，教學(xué)過程中不應(yīng)過分渲染，應(yīng)把握好數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)內(nèi)容的主次。而有些老師由于沒能真正了解數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的真實(shí)意義，往往把課堂的大多數(shù)時(shí)間放在了數(shù)學(xué)史知識(shí)的介紹上，顛倒了課堂的主次關(guān)系。下面通過一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)案例來說明：

案例1：勾股定理的引入

師：勾股定理最早出現(xiàn)在中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，描述了一段周公與商高的對(duì)話：周公問：“我聽說您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒有梯子可以上去，……”商高回答：“……，當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5?！?/p>

師：對(duì)話中，商高說的“一條原理”實(shí)際上就是勾股定理的特例。之后，教師又對(duì)勾、股、弦作了解釋。

師：在西方國(guó)家，勾股定理被稱為畢達(dá)哥拉斯定理。相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。[2]據(jù)說，德國(guó)詩(shī)人海涅為描述當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)真理的喜悅場(chǎng)面，寫了下面這首詩(shī)：

真理，她的標(biāo)志是永恒

一旦愚昧的世界見到她的光芒

畢達(dá)哥拉斯定理今天依然正確

……

畢達(dá)哥拉斯讓它們永不安寧

它們瑟瑟顫抖著

絕望的閉上了眼睛

師：詩(shī)中講的是公元前6世紀(jì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派因發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊之間的關(guān)系，而欣喜若狂，宰殺了一百頭牛來祭祀繆斯女神。從那以后，世界上的牛都怕數(shù)學(xué)家，一旦誰發(fā)現(xiàn)了新的定理，牛圈里的牛便立即開始哀鳴！因?yàn)橛忠着Ａ恕?/p>

這位教師講了兩個(gè)關(guān)于勾股定理的史料，這不能不說是浪費(fèi)時(shí)間。筆者親自測(cè)試了一下，僅把這兩段資料連續(xù)地讀完就用了3分鐘。何況在課堂上，在讀的過程中隨時(shí)會(huì)被思維活躍的學(xué)生打斷，加上對(duì)史料解釋所用的時(shí)間，花費(fèi)的就不僅僅是3分鐘了。勾股定理這一節(jié)關(guān)鍵是要留給學(xué)生足夠的時(shí)間去探索，而把大量的時(shí)間用在說史料、解釋史料上，就使得用在探索上的時(shí)間相對(duì)減少。這位教師顛倒了教學(xué)的主次，忘記了數(shù)學(xué)史是為教學(xué)內(nèi)容服務(wù)的，同時(shí)也忽略了課堂前15分鐘是學(xué)習(xí)新知識(shí)的最佳時(shí)機(jī)。

1.2 數(shù)學(xué)史的融入不夠深入

日本學(xué)者米山國(guó)藏曾說過：“學(xué)生在離開學(xué)校后，如果沒有機(jī)會(huì)應(yīng)用，不到兩年時(shí)間就會(huì)把所學(xué)的知識(shí)幾乎全部忘掉，但使他們終身受益的是數(shù)學(xué)思維方法、研究方法、推理方法等?！边@啟發(fā)我們，將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)應(yīng)盡可能地使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)史背后的數(shù)學(xué)思想方法，這也體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》中的基本數(shù)學(xué)思想。但多數(shù)教師是為了講數(shù)學(xué)史而介紹數(shù)學(xué)史，只是把數(shù)學(xué)史作為引出數(shù)學(xué)問題或相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的背景，對(duì)數(shù)學(xué)史的融入僅限于表面，對(duì)數(shù)學(xué)史背后隱藏的思想方法挖掘得不夠深入，難以發(fā)揮數(shù)學(xué)史的真正價(jià)值。

案例2：無理數(shù)的教學(xué)

教師先講述一個(gè)數(shù)學(xué)史上的慘案引入課題。“古希臘有一個(gè)著名的學(xué)派叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這個(gè)學(xué)派有個(gè)信條‘萬物皆數(shù)’，即宇宙間的一切現(xiàn)象都可以表示為整數(shù)或整數(shù)之比。其中的成員希伯索斯在計(jì)算邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)角線的長(zhǎng)度是個(gè)未曾見過的‘怪?jǐn)?shù)’( )，他的這一發(fā)現(xiàn)引起了人們的極度恐慌，該學(xué)派為了維護(hù)他們的信念，把希伯索斯投入大海以處死。希伯索斯發(fā)現(xiàn)的這個(gè)怪?jǐn)?shù)到底是什么數(shù)呢？這節(jié)課我們就來揭開它神秘的面紗。”

接著，教師就按教材上(北師大版)的流程進(jìn)行，給出面積分別為1，2，4的正方形，學(xué)生使用計(jì)算器計(jì)算正方形邊長(zhǎng)a，在逐次縮小a的范圍后把無理數(shù)歸結(jié)為無限不循環(huán)小數(shù)。

這位老師以數(shù)學(xué)史上的慘案引入課題，為這節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)了一個(gè)較好的情景，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，但沒能對(duì)無理數(shù)產(chǎn)生的背景進(jìn)行深入地挖掘。其實(shí)這位老師只差一步就可以為學(xué)生還原無理數(shù)產(chǎn)生的原因，可惜的是這位老師卻轉(zhuǎn)向教材。教師此時(shí)完全可以介紹“數(shù)”與“不可公度”，來展現(xiàn)歷史上人們對(duì)無理數(shù)的困惑，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)某一概念在認(rèn)識(shí)上的障礙也是我們祖先曾經(jīng)遇到的，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程與數(shù)學(xué)的發(fā)展過程相似。

案例3：球體積公式

有些老師是按照教材的方式進(jìn)行教學(xué)的，先介紹祖暅生平，再直接給出祖暅原理，然后利用祖暅原理和長(zhǎng)方體體積推出棱柱、圓柱及棱錐、圓錐的體積，最后取一個(gè)底面半徑和高均為R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一水平面上，證明這兩個(gè)幾何體符合祖暅原理，斷定它們體積相等，從而求出半球的體積(具體見人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2必修A)。

這樣雖然有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，但學(xué)生很難從中體會(huì)到劉徽求球體積時(shí)的創(chuàng)造性思考以及其中暗含的化歸思想，也難以體會(huì)祖暅原理所蘊(yùn)含的豐富文化內(nèi)涵。而袁志玲等[1]對(duì)此的設(shè)計(jì)方案，不僅可以讓學(xué)生體驗(yàn)劉徽和祖暅的創(chuàng)造、探索精神，還能感受到他們懷疑與批判的數(shù)學(xué)理性精神和嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，更重要的是體會(huì)到一些重要的數(shù)學(xué)思想，從而達(dá)到了數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的真正目的。

1.3 數(shù)學(xué)史實(shí)際融入較少、分布不均衡

現(xiàn)行初高中各個(gè)版本大都以閱讀材料的方式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史，并且基本上都放在相關(guān)章節(jié)的最后，這就容易使教師和學(xué)生認(rèn)為這些閱讀材料不重要，再加上受應(yīng)試觀念的影響，這些史料往往會(huì)被忽略。另外，多數(shù)教師都只是在教材中出現(xiàn)數(shù)學(xué)史的地方簡(jiǎn)單地介紹一下相關(guān)的數(shù)學(xué)史，而且大多是照本宣科式地介紹。在教材中沒有涉及到數(shù)學(xué)史的章節(jié)也很少去挖掘相關(guān)的史料，數(shù)學(xué)史的融入只是流于形式，真正把數(shù)學(xué)史融入到課堂屈指可數(shù)。[3]此外，數(shù)學(xué)史的融入不均衡，有些章節(jié)數(shù)學(xué)史的融入不僅形式多樣，且案例豐富，如勾股定理的教學(xué)；有的章節(jié)融入較少，甚至都沒有，如統(tǒng)計(jì)教學(xué)。

2 對(duì)以上問題的思考

上述問題的存在源于多方面的原因，同時(shí)這些問題的存在也是必然的、不可避免的，我們從下面三方面說起。

3.1 教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)低

數(shù)學(xué)教師是數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的主要實(shí)施者，我國(guó)一線教師數(shù)學(xué)史知識(shí)非常貧乏，對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)知之甚少。[4]這其中的直接原因是他們?nèi)鄙龠@方面的教育，雖然我國(guó)高師院校已經(jīng)開設(shè)數(shù)學(xué)史課程，但一線部分年長(zhǎng)教師在接受高等教育時(shí)并沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史課程；而青年教師雖然在大學(xué)階段上過數(shù)學(xué)史課程，但數(shù)學(xué)史課程只是作為選修課而常常受到冷落。[5]加上教學(xué)任務(wù)繁重，能用在補(bǔ)充自身數(shù)學(xué)史知識(shí)和研究數(shù)學(xué)史與課堂整合的時(shí)間較少。這就使得數(shù)學(xué)史的融入僅停留在表層，難以發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。[6]

2.2 直接用于教學(xué)的數(shù)學(xué)史資源較少

無論是國(guó)外還是國(guó)內(nèi)，可用于教學(xué)使用的數(shù)學(xué)史資源都相對(duì)匱乏，數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的典型案例較少，這已成為數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的共同瓶頸。[7]2005年在西北大學(xué)召開的我國(guó)第一屆數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會(huì)議閉幕時(shí)，曾倡導(dǎo)要出版與數(shù)學(xué)教材相配套的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合的參考書及案例。當(dāng)時(shí)提出進(jìn)行HPM案例的征稿啟事并進(jìn)行評(píng)比，可是在最后收到的稿件中(僅有6篇)，沒有一篇關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育意義上的案例研究。

2.3 數(shù)學(xué)史的融入是一個(gè)長(zhǎng)期的過程

教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的發(fā)展是一個(gè)逐步提高的過程。由不知道數(shù)學(xué)史到數(shù)學(xué)史知識(shí)不斷增多，到對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)逐步加深；在教學(xué)中由想不到數(shù)學(xué)史，到嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)史講故事，到對(duì)數(shù)學(xué)史有更為深刻的認(rèn)識(shí)，再到對(duì)任何單元都能融入數(shù)學(xué)史并體現(xiàn)出數(shù)學(xué)史背后的價(jià)值。這是伴隨在課堂教學(xué)中的一個(gè)過程，需要一段時(shí)期，是急不得的。[7][8][9]所以，上述問題的出現(xiàn)是必然的、不可逾越的。

3 解決上述問題的幾點(diǎn)建議

就目前形勢(shì)而言，要保證數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂的有效整合，需要各方面的共同努力。

3.1 數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史素養(yǎng)

在這方面，要求教師擠出時(shí)間大量閱讀各種數(shù)學(xué)史料，同時(shí)還要思考：數(shù)學(xué)史背后隱含著哪些數(shù)學(xué)思想方法？與哪些相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)有著本質(zhì)的聯(lián)系？如何在課堂教學(xué)中融入？怎樣發(fā)揮數(shù)學(xué)史的最大價(jià)值？此外，各級(jí)教育主管部門也要開設(shè)相應(yīng)的教師寒暑假進(jìn)修班，組織開展數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)融合的經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，以供一線教師、數(shù)學(xué)史研究者及數(shù)學(xué)教育研究者更好地交流、學(xué)習(xí)。

3.2 開發(fā)可供教師使用的資源

就當(dāng)前來看，在短時(shí)間內(nèi)改變教師數(shù)學(xué)史知識(shí)貧乏的現(xiàn)狀是不可能的，教師數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的能力是教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)發(fā)展的過程，不是一蹴而就的。當(dāng)務(wù)之急就要根據(jù)教學(xué)需求搜集歷史資料，并把這些資料改編為可供教學(xué)使用的資源，而這一工作不僅要求苛刻，還要花費(fèi)大量的時(shí)間。單憑教師是不能完成這一任務(wù)的，況且大部分教師并不具備開發(fā)這些資源的能力與時(shí)間。這就要求數(shù)學(xué)史研究者、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家和一線教師聯(lián)合起來，開發(fā)符合我國(guó)文化背景的相關(guān)數(shù)學(xué)史料。[8][9]作為教師可以對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歷史的透視，即針對(duì)教學(xué)內(nèi)容搜尋歷史；而數(shù)學(xué)史家在研究歷史的同時(shí)，也應(yīng)考慮它的教學(xué)意義。此外，也可以翻譯一些國(guó)外較好的資料，結(jié)合我國(guó)實(shí)際情況在實(shí)踐中探尋方法。

3.3 實(shí)施相應(yīng)的評(píng)價(jià)措施

由于受現(xiàn)行考試制度的影響，教師的教學(xué)往往受到考試的牽制。[10]有些教師雖然認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，但來自上級(jí)分配的升學(xué)率的壓力，使他們不得不放棄這些寶貴的知識(shí)[11]；還有一部分附庸于考試制度的教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)史內(nèi)容考試不考，所以可學(xué)可不學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)史不夠重視。這種考試升學(xué)制度實(shí)際還是封建科舉取士制度在當(dāng)今社會(huì)的延續(xù)，這是觀念問題，而觀念的轉(zhuǎn)變需要一段比較長(zhǎng)的時(shí)間。因此，為了引起教師對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的重視，我們應(yīng)當(dāng)考慮是否應(yīng)該把數(shù)學(xué)史知識(shí)納入到考試范圍之內(nèi)？該以什么方式考查數(shù)學(xué)史？是考查數(shù)學(xué)史表面的知識(shí)還是考查其背后的思想方法？對(duì)數(shù)學(xué)史暗含的思想方法又該如何考？這些都是需要進(jìn)一步探討的問題。

[1]袁志玲，陸書環(huán).基于HPM的探究式數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)——從祖暅原理與球體積談起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007，(11).

[2]王亞輝.數(shù)學(xué)史選講[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011.

[3]劉超.人教版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的調(diào)查分析[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011，(10).

[4]羅新兵，魏金英，劉陽(yáng)，等.高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史分布的特征和模式研究——以北師大版數(shù)學(xué)必修教材為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，(2).

[5]李國(guó)強(qiáng)，徐麗華.基于SOLO分類理論的數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)水平劃分[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21(1).

[6]徐傳勝，李紅婷，韓振來.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課程整合的實(shí)現(xiàn)路徑[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，(4).

[7]李媛媛.新課改下數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)：哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版，2008，(6).

[8]袁銀宗.對(duì)數(shù)學(xué)史及其教學(xué)的思考與實(shí)驗(yàn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007，(4).

[9]魏悅姿.對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的思考[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，(5).

[10]張維忠，汪曉勤，等.文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006：(4).

[11]劉超.新課程理念下數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的實(shí)踐探索[J].教學(xué)與管理，2011，(3).