初中平面幾何輔助線的學習探討

◆王小迪

(黑龍江省大慶市世紀陽光學校)

通過作輔助線來解幾何題，本身就是平面幾何教學的難點，許多學生感到很茫然，不知道從何下手去作輔助線解題，盡管教師講得淋漓盡致，但老師一放手，遇到新題型，有的學生又懵了，有的干脆亂畫輔助線，像走迷宮一樣繞不出來。那么，究竟怎樣進行輔助線的教學?教學活動應(yīng)借助開放、互助的教學形式與方法、手段，首先要激發(fā)學生探究幾何圖形的濃厚興趣，讓他們在興趣的支配下主動去反復(fù)探究，不斷總結(jié)經(jīng)驗，積累解題技巧。

一、添加適當?shù)妮o助線

當題目的題設(shè)和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系不太明朗、甚至“彼此孤立”時，可以通過添加適當?shù)妮o助線，把題沒條件中隱含的有關(guān)性質(zhì)充分顯現(xiàn)出來，擴大了已知條件，從而有利于迅速找到題目的最近切入口，進而推導出題目的結(jié)論。

例1.D是ABC的邊AC的中點，延長BC到點E，使CE=BC，ED的延長線交AB于點F，求ED∶EF

思路一:過C作AB的平行線變DE于G，由D是AC的中點可得FD=DG，由CE=BC可得FG=GE，從而得ED:EF=3∶4

思路二:過D作BE的平行線交AB于I，類似法一得ID∶BC=1∶2，ID∶BE=1∶4，從而得 ED∶EF=3∶4

思路三:過D作AB的平行線交BE于H，易得BH=HC=1/4BE，得ED∶EF=3∶4

二、用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱法添加輔助線

平移、旋轉(zhuǎn)、對稱是平面幾何中的三大變換，在解幾何證明題時利用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱添加輔助線是基本思路和常用的方法。引導學生在分析圖形特點的同時，掌握適當?shù)奶砑虞o助線的方法，對于提高學生的解(證)題能力是十分重要的。

1.利用平移添加輔助線

涉及梯形一類問題，往往將梯形的腰或?qū)蔷€平移，構(gòu)成平行四邊形和三角形。

例2.梯形ABCD中，DCAB，A和B互余，M、N分別是DC、AB的中點，求證:MN=(AB－CD).

分析:將DA平移至ME，CB平移至MF，則構(gòu)成了□AEMD□BFMC和□EMF，易證EMF是直角三角形，且MN是斜邊EF上的中線，則有MN=EF，而EF=AB－CD，當然，還可以通過添加其他輔助線完成，但這樣添加比較快捷。

例3.已知梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中點，ED平分∠ADC，且AD+BC=CD，求證:ECDE，EC 平分∠BCD。

分析:將AED繞點E旋轉(zhuǎn)，使A和B重合，點D落在CB的延長線上，則AED和BEF全等，可得DE=FE;由題條件易知么2=F，則CD=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得結(jié)論。

涉及正方形有關(guān)問題往往將某一三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)一定的角度，隨著圖形的變換，問題就可解決。

例4.正方形ABCD中，M、N在邊BC、CD上，MAN=45;求證:MN=MB+ND.分析:將∠AND繞點 A順時針旋轉(zhuǎn)90°，則和∠ABE重合，可得∠EAN=90°，AE=AN，BE=DN，由∠MAN=45°得∠EAM=MAN=45°，那么 AEMANM，MN=ME=MB+BE=MB+DN.

3.利用對稱添加輔助線

在三角形有關(guān)線段和、差問題，往往借助角平分線把一個三角形沿角平分線翻折，構(gòu)造三角形全等，進行等量代換。

例5.已知，等腰直角三角形 ACB中，∠C=90°，AD平分CAD，求證:AB=AC+CD。分析:延長CD到E，使CE=CA=CB，則可證明CAMCEM、CBNCEN，可得:ME=MA，NE=NB，1=A，2=B;所以∠MEN=90°，利用勾股定理:MN=ME+NE=MA=NB。上述兩例在添加輔助線問題中也稱截長補短。

三、其他添加輔助線問題

1.在比例線段問題計算和證明中，常作平行線

作平行線時往往是保留結(jié)論中的一個比，然后通過一個中間比與結(jié)論中的另一個比聯(lián)系起來。

2.見中點引中位線，利用中位線的性質(zhì)

例6.ABC中，D是BC邊的中點，E是AD邊的中點，連結(jié)BE并延長交AC于點F，求證FC=2AF。

證法1:由已知D是BC邊的中點，E是AD邊的中點，容易想到用中位線來解決問題。過點D作DGAC交BF于G，則G為BF的中點，DG是BFC的中位線，可得FC=2DG;由E是AD邊的中點:DGAC，易證DG=AF，所以FC=2DG。

證法2:過點D作DGBF交AC于G，由D是BC中點，則FG=GC;由E是AD中點，DGBF，則AF=FG，所以AF=FG=GC，即可得FC=2DG。

例7.ABC中，LB=2C，且A的平分線為AD，問AB與BD的和等于AC嗎?

思路一:在長線段AC上截取AE=AB，由ABDAED推出BD=DE，從而只需證EC=DE.

思路二:延長短線段AB至點E，使AE=AC，因而只需證BE=BD，由AEDACD及B=2C，可證E=BDE，從而有BE=BD.

思路三:延長AB 至E，使BE=BD，連接ED，由ABD=2C，ABD=2E，可證 AEDACD，可得 AE=AC，即 AC=AB+BD.

3.兩圓相交、相切問題

相交兩圓常通過連結(jié)公共弦來輔助解題;相切兩圓常通過切點作公切線來輔助解題。當然，這幾個例題只是兩圓問題中的幾個典型，還有許多其他題目，不一定都使用上述添加輔助線的方法，遇到實際問題還要結(jié)合題目條件分析，該添則添，切不可生搬硬套。

初中平面幾何添加輔助線只是解決諸多數(shù)學問題的一個方面，通過解決這一類問題，目的在于使學生掌握考慮數(shù)學題的基本思想方法，從而有效處理其他的問題。