基于包絡(luò)面的網(wǎng)格曲面等殘留高度路徑規(guī)劃＊

楊旭靜，王小芳，鄭 娟，趙秋艷

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410082）

三角網(wǎng)格模型以其拓?fù)溥m應(yīng)能力強(qiáng)和數(shù)據(jù)交換方便等優(yōu)點(diǎn)已被廣泛應(yīng)用于CAD／CAE／CAM系統(tǒng)中.研究由三角網(wǎng)格模型快速生成滿足曲面精度要求的刀具路徑是實(shí)現(xiàn)沖壓成形工藝與模具CAE／CAM一體化技術(shù)的關(guān)鍵.常用的數(shù)控加工刀具路徑規(guī)劃方法主要有三種：截平面法，等參數(shù)線法和等殘留高度法[1].網(wǎng)格曲面的刀具路徑規(guī)劃常用截平面法，但截平面法加工質(zhì)量和效率往往難以兼顧，而等殘留高度法能很好地解決這一矛盾.目前，面向參數(shù)曲面的等殘留高度刀具路徑規(guī)劃已經(jīng)取得了很多成果[2－4]，可獨(dú)立應(yīng)用于三角網(wǎng)格曲面的等殘留刀具路徑規(guī)劃算法則相對較少.文獻(xiàn)[5]將截平面法進(jìn)行改進(jìn)，提出了可直接用于三角網(wǎng)格曲面的等殘留高度刀具路徑規(guī)劃算法.文獻(xiàn)[6]通過對網(wǎng)格曲面進(jìn)行二次Bezier擬合，結(jié)合擬合的參數(shù)方程提出了基于曲線偏置的等殘留高度刀具路徑規(guī)劃算法.

本文以三角網(wǎng)格曲面為研究對象，提出了一種基于刀具包絡(luò)面的等殘留高度刀具路徑規(guī)劃算法.通過建立刀具包絡(luò)面的參數(shù)方程，找到了精確計(jì)算相鄰刀軌之間的殘留曲線和殘留高度的數(shù)值方法，通過搜索保證每一個(gè)刀位點(diǎn)的位置都能滿足殘留誤差要求，最終得到殘留高度均勻的刀具路徑.

1 矢量法求刀具包絡(luò)面

圖1 矢量法求刀具包絡(luò)面示意圖Fig.1 Vector calculation for tool envelope surface

設(shè)刀具從CLPi，j運(yùn)動到CLPi，j＋1的時(shí)間t為t＝0到t＝1，根據(jù)包絡(luò)原理，任意時(shí)刻t刀具回轉(zhuǎn)面上一點(diǎn)P位于包絡(luò)面上的必要條件是

式中：n為P點(diǎn)的法向量，V為P點(diǎn)的速度矢量（不包含刀具自轉(zhuǎn)速度），V等于刀心點(diǎn)的速度矢量，可由刀具運(yùn)動關(guān)系求出.

根據(jù)刀具的幾何特性可以得到關(guān)于P點(diǎn)的另一個(gè)矢量方程

式中：l為刀軸矢量，l＝ （0，0，1），cosγ＝d／R，d為P點(diǎn)與刀心點(diǎn)沿刀軸矢量方向的距離，R為刀具半徑.

結(jié)合方程（1）和方程（2），可以得到包絡(luò)面上點(diǎn)P的法向量：

重新更換下擺臂、減振器和右邊輪胎軸承后試車，異響故障明顯減輕，但是在來回打方向時(shí)，還是有不同程度的異響。根據(jù)故障現(xiàn)象和特性，判斷異響來自變速器差速器。抬下變速器，更換差速器，裝車路試，該車異響的故障被徹底排除。

由式（3）可見，任意時(shí)刻t，n只與參數(shù)d相關(guān)，且n存在的條件是，則包絡(luò)面的通用矢量方程為：

式中：CLPi，j和CLPi，j＋1分 別 為 對 應(yīng) 刀 位 點(diǎn) 的 坐 標(biāo)矢量，為已知量.由此可見，S是只與時(shí)間t和距離d相關(guān)的函數(shù).

2 殘留高度計(jì)算

根據(jù)包絡(luò)面方程，采用按時(shí)間離散的方法計(jì)算殘留曲線，即沿行距方向相鄰刀具包絡(luò)面的交線.殘留曲線到網(wǎng)格曲面的最大法向距離即為殘留高度h.本文通過對網(wǎng)格模型進(jìn)行全局搜索和局部搜索兩個(gè)步驟，計(jì)算殘留曲線上任意一個(gè)殘留點(diǎn)P到網(wǎng)格曲面的法向距離.搜索和計(jì)算的示意圖如圖2所示.

圖2 殘留點(diǎn)到網(wǎng)格曲面的法向距離計(jì)算Fig.2 Normal direction between cusp point and mesh surface

全局搜索將殘留曲線上的點(diǎn)P沿垂直方向投影到網(wǎng)格曲面上，得到相應(yīng)的一點(diǎn)O，遍歷網(wǎng)格模型，找出所有與O點(diǎn)距離小于特定值r（r的大小視網(wǎng)格尺寸而定）的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，進(jìn)一步搜索節(jié)點(diǎn)所在的網(wǎng)格單元，如圖2中陰影部分所示.局部搜索是逐一找到全局搜索得到的每一個(gè)網(wǎng)格單元中與P點(diǎn)距離最近的點(diǎn)P′，若向量P′P滿足條件P′Pn′＝0（n′為網(wǎng)格單元的法向量），則點(diǎn)P與點(diǎn)P′的距離就是P點(diǎn)到該網(wǎng)格曲面的法向距離.

殘留曲線到網(wǎng)格曲面的最大法向距離與曲面形狀相關(guān)，如圖3所示.P1，P2和P3分別為殘留曲線的始點(diǎn)、中點(diǎn)和終點(diǎn)，到網(wǎng)格曲面的法向距離分別為h1，h2和h3，當(dāng)網(wǎng)格曲面沿走刀方向是凸曲面時(shí)，則取P1和P3計(jì)算殘留高度，即h＝ （h1＋h3）／2.反 之，當(dāng)網(wǎng)格曲面沿走刀方向是凹曲面時(shí)，則取P2計(jì)算殘留高度，即h＝h2.

圖3 殘留高度計(jì)算示意圖Fig.3 Schematic diagram of scallop－h(huán)eight calculation

3 刀具路徑規(guī)劃

3.1 刀觸點(diǎn)和刀位點(diǎn)計(jì)算

切削寬度L是相鄰刀具路徑對應(yīng)刀觸點(diǎn)的水平距離.如圖4所示，切削寬度與刀觸點(diǎn)距離l的關(guān)系可表示為：

式中：θ為網(wǎng)格曲面在刀觸點(diǎn)處的切平面與水平面的夾角，cosθ＝n″z，z為Z軸正方向單位向量；n″為刀觸點(diǎn)的單位法向量，根據(jù)三角網(wǎng)格的法矢量采用一定的加權(quán)方式計(jì)算[7]；l可表示為[8]：

式中：h為殘留高度，R為刀具半徑，ρ為刀觸點(diǎn)在網(wǎng)格曲面上沿行距方向d′的曲率半徑，由單元頂點(diǎn)的主曲率和主方向結(jié)合歐拉公式通過二次加權(quán)方法計(jì)算[5，7]，當(dāng)曲面是凸曲面時(shí)ρ為正，凹曲面時(shí)ρ為負(fù).

設(shè)點(diǎn)CCP′i＋1，j是刀觸點(diǎn)CCPi＋1，j沿Z軸方向的空間投影點(diǎn).如圖4所示，CCP′i＋1，j可表示為：

將CCP′i＋1，j投 影 到 網(wǎng) 格 曲 面上可求出刀觸 點(diǎn)CCPi＋1，j.

刀位點(diǎn)CLPi＋1，j可由式（8）計(jì)算：

3.2 基于包絡(luò)面規(guī)劃等殘留高度刀具路徑

若曲面的加工精度要求為δ，則加工表面殘留高度h應(yīng)該滿足式（9）：

理想的等殘留刀具路徑要求h≡δ，本文根據(jù)實(shí)際加工需要，定義了如下等殘留條件：

在確定第一條刀具路徑后，可以以殘留高度為約束條件逐條遞推求出全部的等殘留高度刀具路徑.已知前一刀位點(diǎn)軌跡CLi的所有刀位點(diǎn)CLPi，j（j＝0，1，…，m）和當(dāng)前刀位點(diǎn)軌跡CLi＋1的前j個(gè)刀位點(diǎn)，計(jì)算當(dāng)前刀位點(diǎn)CLPi＋1，j＋1的示意圖如圖5所示.

圖4 切削寬度與刀位點(diǎn)計(jì)算示意圖Fig.4 cutting width and CL point calculation

圖5 等殘留高度刀具路徑規(guī)劃示意圖Fig.5 Schematic diagram of constant scallop－h(huán)eight tool path generation

首先根據(jù)式（5）～式（8）求出初始的刀觸點(diǎn)CCP0i＋1，j＋1和刀位點(diǎn)CLP0i＋1，j＋1；然后計(jì)算CLPi，j和CLPi，j＋1的包絡(luò)面S1以及CLPi＋1，j和CLP0i＋1，j＋1的包絡(luò)面S2，并求出殘留高度h，若h滿足式（10）所示條 件，則CLP0i＋1，j＋1就是要求的等殘留刀位點(diǎn)CLPi＋1，j＋1，否則將CCP0i＋1，j＋1沿著行距方向向前或向后平移一個(gè)Δ，搜索新的刀觸點(diǎn)CCP1i＋1，j＋1和刀位點(diǎn)CLP1i＋1，j＋1，如此迭代，直到求出滿足精度要求的等殘留刀位點(diǎn)CLPi＋1，j＋1.

本文定義由初始的刀觸點(diǎn)和刀位點(diǎn)生成的刀具路徑為一般刀具路徑，作為基于包絡(luò)面的等殘留高度刀具路徑的比較對象.

3.3 加工干涉檢查與處理

刀具切削過程中網(wǎng)格曲面上曲率半徑小于刀具半徑的凹曲面區(qū)域可能存在過切干涉.由網(wǎng)格頂點(diǎn)的曲率，可以檢測到可能存在干涉的區(qū)域.當(dāng)?shù)队|點(diǎn)位于潛在的干涉區(qū)域時(shí)，進(jìn)行干涉檢查.將刀具向網(wǎng)格曲面上投影，形成一個(gè)圓形的投影區(qū)域，利用刀具投影區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)格單元與刀具的位置關(guān)系來判斷是否存在干涉.干涉點(diǎn)的檢查和處理示意圖如圖6所示，干涉判斷標(biāo)準(zhǔn)為：

式中：CLP為當(dāng)前的刀位點(diǎn)；P0為干涉特征點(diǎn)，設(shè)定為刀具投影區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格單元的節(jié)點(diǎn)；R為刀具半徑.

圖6 加工干涉檢測及處理示意圖Fig.6 Interference detection and processing schematic diagram

干涉避免主要通過抬刀實(shí)現(xiàn)，即將刀具沿刀軸方向上提一個(gè)高度Δ′以消除加工干涉.新的刀位點(diǎn)CLP′是以P0點(diǎn)為球心，以R為半徑的球面與刀軸中心線交點(diǎn)，如圖6所示，利用幾何關(guān)系即可求出CLP′和Δ′.

基于包絡(luò)面的等殘留高度刀具路徑規(guī)劃算法流程圖如圖7所示.

4 算例分析

本文采用圖8所示的三角網(wǎng)格曲面模型對基于包絡(luò)面的等殘留刀具路徑從加工精度和加工效率兩個(gè)方面進(jìn)行驗(yàn)證和分析.網(wǎng)格曲面的STL數(shù)據(jù)由有限元軟件Hypermesh生成，模型的包圍盒尺寸為100mm×100mm×12mm.刀具路徑規(guī)劃算法在Matlab平臺實(shí)現(xiàn)，許可殘留高度為0.05mm，刀具半徑為5mm.

4.1 加工精度分析

分別計(jì)算一般刀具路徑和本文的等殘留高度刀具路徑的殘留高度，兩種路徑的殘留高度大小及分布情況對比如圖9所示.橫坐標(biāo)表示殘留高度，縱坐標(biāo)表示小于對應(yīng)殘留高度值的殘留高度所占的比例.

圖7 等殘留高度刀具路徑規(guī)劃流程圖Fig.7 Flowchart of constant scallop－h(huán)eight tool path generation

圖8 算例模型Fig.8 The example model

圖9 兩種刀具路徑的殘留高度值分布對比Fig.9 Comparison of scallop－h(huán)eight distribution

由圖9可見，在本例中，一般刀具路徑的加工表面有約24.5%的殘留高度值超過許可殘留高度δ，約11.3%的殘留高度值小于0.9δ.而基于包絡(luò)面的等殘留高度刀具路徑的加工表面殘留高度值集中分布在0.9δ～δ的區(qū)間內(nèi).兩種路徑的殘留高度最大值、最小值及平均值如表1所示.

表1 兩種路徑的殘留高度綜合比較Tab.1 Comprehensive comparison of scallop－h(huán)eight

以上分析和對比的結(jié)果表明：基于包絡(luò)面的等殘留刀具路徑能夠保證加工表面的殘留高度在許可誤差的90%范圍內(nèi)，平均殘留高度達(dá)到許可誤差的96.8%，提高了網(wǎng)格曲面的加工精度.

4.2 加工效率分析

采用目前網(wǎng)格曲面刀具路徑規(guī)劃常用的截平面法作為分析和比較的對象.截平面法的刀具路徑和本文算法生成的等殘留高度刀具路徑如圖10所示.在Vericut軟件中進(jìn)行加工仿真，設(shè)主軸轉(zhuǎn)速為1 000r／min，進(jìn)給速度為800mm／min，記錄兩種路徑的加工時(shí)間.

圖10 截平面法和本文算法生成的刀具路徑對比Fig.10 Tool paths generated by iso－planar method and the present method

從刀具路徑整體分布上看，本文算法生成的刀具路徑分布與曲面的曲率相匹配，較截平面法生成的刀具路徑分布更加合理.

表2為兩種刀具路徑的加工時(shí)間、刀軌長度和殘留高度的比較.結(jié)果表明：在保證曲面加工精度的前提下，基于包絡(luò)面的等殘留高度刀具路徑比截平面法刀具路徑加工效率更高，刀軌長度減少了約7.4%，加工效率提高了約10.5%.

基于包絡(luò)面的等殘留高度刀具路徑的生成比較耗時(shí)，需要的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一般刀具路徑和截平面法刀具路徑，但是由于軌跡計(jì)算及G代碼生成通常都是離線進(jìn)行的，因此軌跡計(jì)算的耗時(shí)不會給實(shí)際加工帶來不利影響.

表2 截平面法與本文算法的綜合比較Tab.2 Comprehensive comparison of iso－planar method and the present method

5 結(jié) 論

提出了一種基于刀具包絡(luò)面的三角網(wǎng)格曲面等殘留高度刀具路徑規(guī)劃方法.首先建立刀具運(yùn)動刃口回轉(zhuǎn)面的包絡(luò)面方程，然后通過相鄰軌跡刀具包絡(luò)面求交得到精確的殘留高度值，據(jù)此搜索等殘留刀位點(diǎn)；由計(jì)算的網(wǎng)格曲率信息，及時(shí)檢測和排除加工干涉.算例分析結(jié)果表明本文的算法在保證加工精度的前提下，提高了加工效率，該方法適用于網(wǎng)格曲面的刀具路徑規(guī)劃.

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