Mathematica 軟件在示波器實驗中的應用

熊青玲，潘林峰，程衍富

(中南民族大學 電子信息工程學院，武漢 430074)

Mathematica 軟件是美國Wolfram Research 公司開發(fā)的數(shù)學軟件，主要可以做數(shù)值運算、符號運算和圖像處理。Mathematica 以其簡單的語法和強大的功能，成為理工科學生學習數(shù)學和物理的重要工具［1］。在Mathematica 新版本中出現(xiàn)的Manipulate命令只用少數(shù)的幾行輸入就能創(chuàng)造出范圍極其廣泛的人機互動的應用。運用Manipulate 命令不需要學習任何復雜的新概念，也不需要了解任何用戶界面的編程思想，只要會使用Mathematica 的基本命令。計算Manipulate 之后得到的輸出是一個人機互動的對象，它包含一個或多個控件，使用這些控件能改變一個或多個參數(shù)的數(shù)值。這個輸出很像一個小型應用程序，它不是一個靜止的結(jié)果，它是一個能和用戶互相作用的運行程序。用戶可以通過點擊和拖拉滑塊來觀看參數(shù)數(shù)值和圖形的實時變化，也即拖拉滑塊的同時數(shù)值在變化。本文將Mathematica 的Manipulate 命令用于示波器實驗的仿真和研究，具體分析了拍現(xiàn)象和李薩如圖［2］。

1 Mathematica 在拍現(xiàn)象中的應用

得到如圖1 所示的交互界面，滑動條可以在給定的范圍內(nèi)改變兩個信號的頻率、振幅和初相。點擊滑動條右邊的“+”號可以看到滑動條實時的數(shù)據(jù)。在改變各個參量的過程中，可以看到當兩個信號的頻率差值遠小于頻率之和時典型的拍現(xiàn)象。

如果是聲振動，當兩個頻率相近的音叉同時振動時，就可聽到時強時弱的“嗡、嗡……”的拍音［3］。在Mathematica 中可以用Play 函數(shù)播放聲音，輸入如下程序:

圖1 拍現(xiàn)象

圖2 拍音

得到如圖2 所示的交互界面，已經(jīng)根據(jù)需要將兩個頻率給定幾組值，任取一組頻率可以播放拍音。圖2 所示當兩個頻率分別取為1 000π 和1 006π時，得到拍頻為3，在給定的3 s 時間里能聽到9 次強音。

2 Mathematica 在李薩如圖中的應用與研究

在示波器的X 軸和Y 軸輸入頻率成簡單整數(shù)比的兩個正弦電壓，則將看到特殊形狀的軌跡，這就是李薩如圖。在Mathematica 中，兩個垂直方向的諧振動的合成軌跡就是一個簡單的參數(shù)函數(shù)作圖，同樣利用Manipulate 命令可以極其方便地作出交互界面。為了進一步研究李薩如圖，我們另外采用了一個Point 函數(shù)，動態(tài)地給出了李薩如圖的形成過程。在Mathematica 中輸入:

只要我們將兩個頻率調(diào)成不同的整數(shù)比，就可以看到穩(wěn)定的典型的李薩如圖，改變兩個相位可以看到相位差取不同值時動態(tài)的李薩如圖。

在實際的示波器實驗中，當我們把兩個信號發(fā)生器的頻率調(diào)到整數(shù)比時，看到的李薩如圖往往也是連續(xù)變化的。例如:采用數(shù)字信號發(fā)生器，當X、Y 分別輸入ν1=1.000 00 kHz、ν2=3.000 00 kHz的信號時，看到的李薩如圖是不穩(wěn)定的。在變化的過程中，以變化到如圖3 所示的形狀時為起點，看到中間上面的峰是右移的。

為了找到這種圖形移動的原因，在Mathematica 中將ω2的值從3 增大一個小量，ω2的值取為3.04，動畫顯示出來的軌跡圖不再重合。當完成一次完整的圖形后，接下來第二次動畫完成的圖形其中間的峰明顯地往右偏移，如圖3 所示。當ω2增加的值越大時，這種偏移越明顯。反之將ω2從3減小，則情況正好相反，如圖4 所示。

這就提示我們，當信號發(fā)生器顯示的頻率為1.000 00 kHz 和3.000 00 kHz 時，實際的頻率比不是1 比3，而是與圖3 的情況一致。要想讓實際信號真正的是1 比3，要么減小頻率ν2，要么增加頻率ν1。

圖3 頻率比為1∶3.04 時的圖形

圖4 頻率比為1∶2.96 時的圖形

在示波器上實際操作，首先固定X 輸入信號不變，微調(diào)Y 輸入信號，當ν2=2.99 997 kHz 時圖像達到最穩(wěn)定的狀態(tài)，幾乎是不動的。在此基礎上把頻率朝著減小的方向微調(diào)時，發(fā)現(xiàn)圖像又動起來了，看到中間上面的峰朝左邊移動，調(diào)得越多，移動速度越快;而把此頻率朝著增加的方向微調(diào)時，看到的移動方向正好相反。接下來將Y 輸入信號固定在ν2=3.000 00 kHz，微調(diào)X 輸入到ν1=1.000 01 kHz 正好是最穩(wěn)定的狀態(tài);然后分別朝增加和減小的方向調(diào)節(jié)頻率，也同樣可以看到圖像分別朝不同的方向移動以及移動速度的變化。前后兩組數(shù)據(jù)之比可以寫成等式:

1.000 00/2.999 97 =1.000 01/3.000 00

這說明兩個信號發(fā)生器產(chǎn)生的頻率與實際顯示的數(shù)值存在微小差異。

文獻［4］利用MATLAB 軟件進行作圖，解釋了圖形的移動變化是由頻率與理想頻率存在差異引起的。現(xiàn)在利用Mathematica 的動態(tài)作圖，更加形象直觀地顯示:當兩個分振動的頻率比接近簡單的整數(shù)比時，合振動的軌跡將按照相位差連續(xù)變化所得的圖形順序連續(xù)地過渡重復變化。在實際的實驗操作中，無論是模擬信號發(fā)生器還是數(shù)字信號發(fā)生器，在調(diào)節(jié)李薩如圖的過程中，可以根據(jù)圖形的移動情況對頻率進行微調(diào)。在對應圖像左移和右移的轉(zhuǎn)折點處所對應的頻率，就是圖形最穩(wěn)定的頻率。只要仔細地調(diào)節(jié)，可以將李薩如圖調(diào)到最穩(wěn)定的狀態(tài)。

3 結(jié)束語

利用Mathematica 的Manipulate 命令作圖，只要掌握Mathematica 的幾個簡單的函數(shù)就可以了，其語法格式與數(shù)學書寫習慣幾乎一樣，對于初學者也是淺顯易懂的。在Mathematica 的界面中，我們能同時看到源代碼和運算輸出的交互界面，可以隨時修改源代碼，隨時輸出動態(tài)交互結(jié)果，這給研究問題帶來極大的方便。

［1］董鍵.Mathematica 與大學物理計算［M］. 北京:清華大學出版社，2010.

［2］程衍富. 大學物理實驗［M］. 北京:北京郵電大學出版社，2010.

［3］趙近芳. 大學物理學［M］. 北京:北京郵電大學出版社，2008.

［4］張世功，劉大衛(wèi)，邰貴江. 振動疊加的理論、實驗及其數(shù)值計算［J］. 實驗科學與技術(shù)，2011，9(4):61－62.