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      疏散規(guī)劃的一種優(yōu)化算法

      2013-08-08 01:21:28尹大朏方裕
      地理與地理信息科學(xué) 2013年2期
      關(guān)鍵詞:源點(diǎn)路網(wǎng)復(fù)雜性

      尹大朏,方裕

      (1.清華大學(xué)地球系統(tǒng)科學(xué)中心,北京 100871;2.北京大學(xué)遙感應(yīng)用研究所,北京 100871)

      0 引言

      隨著全球氣候變化的加劇,大規(guī)模極端自然災(zāi)害的發(fā)生頻率越來越高,地震、火山爆發(fā)、泥石流、海嘯、臺風(fēng)、洪水等突發(fā)性自然災(zāi)害直接危害著居民安全;與此同時,人為造成的災(zāi)難事故如油氣泄漏、火災(zāi)、恐怖襲擊等對社會經(jīng)濟(jì)的影響也越來越大。這些災(zāi)害發(fā)生突然,影響范圍極大,需要疏散的群眾眾多,如果缺乏有效的疏散策略和最佳的避險(xiǎn)路徑,極有可能在逃逸過程中造成不必要的擁堵,甚至造成二次傷害。為此有必要快速生成疏散規(guī)劃(Evacuation Planning),盡快為處于危險(xiǎn)地點(diǎn)的人群指派合理的路徑,最大限度地利用路網(wǎng)的容量,同時盡可能減少擁堵,使居民盡早抵達(dá)安全地點(diǎn)。

      疏散規(guī)劃不僅需要為每個待疏散者找到快速抵達(dá)安全目的地的路徑,還要保證這些路徑不相互沖突。疏散規(guī)劃方案的實(shí)質(zhì)在于處理大量疏散人群和有限路網(wǎng)容量之間的矛盾,而疏散算法的難點(diǎn)在于如何盡快地得到合理的疏散規(guī)劃方案。因?yàn)槭枭⑺惴ㄐ枰獜亩鄠€源點(diǎn)、多個時間點(diǎn)出發(fā)的路徑組合中尋找最優(yōu),而且疏散算法允許逃生者在任意節(jié)點(diǎn)停留任意時間,這樣問題尋優(yōu)搜索的空間極大。

      前人的探討集中在疏散規(guī)劃問題最優(yōu)解的算法,其主要思路是將疏散規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為時變路網(wǎng)上的線性規(guī)劃或者最小代價流問題求解[1,2],最好的算法其時間復(fù)雜度為O(N6(T+1)6)[3]。由于最優(yōu)化解法需要在時間片上對路網(wǎng)進(jìn)行復(fù)制,占用大量內(nèi)存,導(dǎo)致算法很難擴(kuò)展到大路網(wǎng)上,近年來許多研究者轉(zhuǎn)向計(jì)算速度較快的次優(yōu)解的研究。目前已知求解速度最快的次優(yōu)解算法是由Shekhar研究組提出的啟發(fā)式算法CCRP(Capacity Constrained Route Planning),其時間復(fù)雜度為O(P(E+N)logN)[4-6]。然而,文獻(xiàn)[7]使用小型城鎮(zhèn)的路網(wǎng)對CCRP進(jìn)行測試,發(fā)現(xiàn)計(jì)算時間超過1天,這顯然無法達(dá)到應(yīng)急指揮的要求。為此本文提出一種新型的啟發(fā)式算法CCRP++,進(jìn)一步加速計(jì)算。其主要原理是引入一個雙優(yōu)先隊(duì)列(Double Priority Queue),保存歷史迭代計(jì)算的中間結(jié)果并啟發(fā)當(dāng)次迭代的搜索,以便刪減CCRP中大量不必要的最短路徑計(jì)算,達(dá)到大幅加速疏散規(guī)劃計(jì)算的目的。雖然還有不少文獻(xiàn)[8-20]對相關(guān)的問題進(jìn)行了探討,但至今還沒有適用于大規(guī)模路網(wǎng)的高效算法。

      1 問題定義與假設(shè)

      在本文的算法探討中,把問題抽象到一個時變的容量受限圖G(N,E,S,D,P,T)中進(jìn)行討論。其中,N表示圖節(jié)點(diǎn)(Node)的集合,E表示邊(Edge)集合,S表示源點(diǎn)(Source)的集合,D 表示目標(biāo)點(diǎn)(Destination)集合,P 表示疏散者(evacuees)的集合,T表示疏散過程經(jīng)歷的時間(Time)。每個源點(diǎn)表示危險(xiǎn)地點(diǎn),里面有數(shù)量不等的待疏散者,需要將其疏散到若干安全的目標(biāo)點(diǎn)。路網(wǎng)由邊及節(jié)點(diǎn)構(gòu)成:邊有通過時間(Travel Time)和邊容限(Edge Capacity)兩個屬性,分別表示通過此邊的時間和同時進(jìn)入某一個邊的最大人數(shù);節(jié)點(diǎn)有節(jié)點(diǎn)容限(Node Capacity),表示同時刻不能有更多的人進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)。在疏散過程中,會有一定的人流(flow)通過特定的路徑從某源點(diǎn)出發(fā)到達(dá)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。

      如圖1的疏散網(wǎng)絡(luò)示例中,3個源節(jié)點(diǎn)N1、N2、N8分別有10人、5人、15人,需要將這些人通過如下的網(wǎng)絡(luò)盡快疏散到N13和N14。對應(yīng)的疏散方案之一是表1展示的A-I共9組疏散流。以A組為例,在T0時刻從源點(diǎn)N8出發(fā),經(jīng)過(N8,N10)邊于T3時刻到達(dá)N10,不做停留繼續(xù)沿(N10,N13)邊于T4到達(dá)安全目標(biāo)點(diǎn)N13。疏散規(guī)劃的目的是對網(wǎng)絡(luò)中的路徑進(jìn)行合理配置(表1),分批次將人流疏導(dǎo)到不同目的地。

      圖1 疏散網(wǎng)絡(luò)示例Fig.1 Evacuation network example

      表1 疏散路徑示例Table 1 Example of evacuation route

      問題的定義如下:

      給定:擁有如下性質(zhì)的交通路網(wǎng)G(N,E,S,D,P,T),包含:1)1個源點(diǎn)(Sources)集合S,每個源點(diǎn)上有若干待疏散人;2)1個目標(biāo)點(diǎn)(Destination)集合D;3)每條邊的長度(Length)是其通過時間(Travel time);4)邊和節(jié)點(diǎn)都有其最大容限(Capacity)。

      輸出:1個“疏散流”集合,每個疏散流包括流量大小、通過的路網(wǎng)節(jié)點(diǎn)、從每個路網(wǎng)節(jié)點(diǎn)開始的出發(fā)時間(Depart Time)和抵達(dá)時間(Arrival Time)。

      約束:主要的約束有:1)路網(wǎng)的容限限制,即同時進(jìn)入一條邊的人數(shù)不能超過路網(wǎng)的最大容限Capacity;2)先入先出準(zhǔn)則FIFO,即進(jìn)入同一條路段的人流,先進(jìn)入該路段首節(jié)點(diǎn)的人抵達(dá)該路段末節(jié)點(diǎn)的時間必定不慢于后進(jìn)入的人。

      目標(biāo):優(yōu)化的目標(biāo)主要取決于:最小化總體逃逸時間(Egress Time)和最小化疏散規(guī)劃生成所需的計(jì)算時間(Computational Time)。

      值得注意的是,兩個目標(biāo)是對問題兩個方面的優(yōu)化目標(biāo)。一般而言,無法同時達(dá)到最優(yōu),即在縮短的計(jì)算時間和求得問題的最優(yōu)解之間存在一個制衡(Tradeoff)。在解決實(shí)際問題中,如果求得最優(yōu)解的運(yùn)行時間太長,可以選擇計(jì)算速度較快的啟發(fā)式算法求得問題的次優(yōu)解(sub-optimal solution)。

      2 疏散問題的CCRP算法

      CCRP算法的核心思想是將疏散問題從網(wǎng)絡(luò)流問題轉(zhuǎn)換為迭代最短路徑的計(jì)算問題。如圖2所示,它添加一個虛擬的超級源點(diǎn),每次計(jì)算當(dāng)前系統(tǒng)中的一條“最早抵達(dá)路徑”,即所有源點(diǎn)的最短路徑的最小者,并將該路徑上相應(yīng)時刻的邊容限預(yù)留給通過的人流。其主要計(jì)算思路可以概括為:如果在任一源節(jié)點(diǎn)上還有人,那么循環(huán)執(zhí)行如下步驟:1)計(jì)算“最早抵達(dá)路徑”(Earliest Arrival Path);2)確定最早抵達(dá)路徑上的流量(flow);3)預(yù)約(Reserve)最短路徑上面的邊,轉(zhuǎn)步驟1繼續(xù)。

      圖2 CCRP將疏散問題轉(zhuǎn)化為最短路徑計(jì)算Fig.2 Converting the evacuation to shortest path calculation by CCRP

      CCRP算法的時間復(fù)雜性:算法需要在每次迭代中為每個源節(jié)點(diǎn)計(jì)算一次最短路徑,然后進(jìn)行預(yù)留;尋找流量flow和reserve分別需要O(E)的時間,主要的時間消耗在最短路徑搜索上。如果加入一個超級節(jié)點(diǎn)S0,可以把多源的最短路徑轉(zhuǎn)換為從S0出發(fā)的單源最短路徑,則采用Dijkstra算法計(jì)算單源最短路徑的時間復(fù)雜性為O((E+N)logN);而在最壞情況下,每次迭代只能疏散一個人。所有源點(diǎn)的疏散者總和為P,因此CCRP算法的時間復(fù)雜性為O(P(E+N)logN)。

      其中,第一步使用Dijkstra算法對所有S個源點(diǎn)分別求解其到任意一個目標(biāo)點(diǎn)的最短路徑,取其中最短的一條作為“最早抵達(dá)路徑”;在實(shí)現(xiàn)中,還可以加入一個超級源點(diǎn)(Super Source)來降低搜索的復(fù)雜性。第二步確定路徑流量,需要比較最早抵達(dá)路徑對應(yīng)的源點(diǎn)中剩余疏散者人數(shù)和路徑中各個路段的最小可用容限(Available Capacity),取較小者作為flow值;第三步預(yù)約(Reserve)路徑,對找到的“最早抵達(dá)路徑”的每個節(jié)點(diǎn)和每條路段的“邊/節(jié)點(diǎn)可用容限表”的相應(yīng)時刻減去flow值。

      3 新型算法CCRP++

      3.1 CCRP算法的缺陷

      CCRP算法的一個主要問題是為了獲得當(dāng)前的“最短的最短路徑”需要在每次迭代中重復(fù)對所有源點(diǎn)求解其最短路徑,計(jì)算的時間復(fù)雜性為O(P(E+N)logN)。值得注意的是,CCRP采用了圖2所示的一般圖論模型進(jìn)行分析,然而它忽略了路網(wǎng)的空間鄰近性和迭代計(jì)算間的時間相關(guān)性。事實(shí)上,道路網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn),無論是源點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)還是中間節(jié)點(diǎn),都有其空間位置屬性。CCRP采用適用于一般網(wǎng)的模型研究路網(wǎng)問題,而沒有考慮路網(wǎng)的空間特性和疏散問題的時間特性。

      如果對相鄰兩次迭代間源點(diǎn)的擴(kuò)張過程進(jìn)行“空間分析”,就可以更加直觀地發(fā)現(xiàn)這些沒有結(jié)束的“冗余擴(kuò)張”較多(S-1個),以至于占據(jù)了單次迭代中大部分的運(yùn)算時間(有用的擴(kuò)張只有一個);而且這些沒有完成的擴(kuò)張還會不斷地重復(fù),直到其中的某一個變成有用的擴(kuò)張為止。在此把這些看似無用的最短路徑計(jì)算稱為“冗余重復(fù)”擴(kuò)張。在圖3所示的網(wǎng)絡(luò)中有3個源點(diǎn)S1、S2、S3和3個目的節(jié)點(diǎn)D1、D2、D3。第一次迭代中,只有S1-D1(源-目標(biāo))節(jié)點(diǎn)對完成了擴(kuò)張,第二次迭代中只有S2-D2完成了擴(kuò)張。兩次相鄰迭代中,S3的擴(kuò)張是冗余且重復(fù)的。

      圖3 兩次相鄰迭代 “冗余重復(fù)”擴(kuò)張F(tuán)ig.3 The redundant expansion in adjacent iterations

      倘若能夠消除這些冗余重復(fù)擴(kuò)張,將大大提升算法效率,但是難點(diǎn)在于:雖然在所有的S個源點(diǎn)的最短路徑搜索擴(kuò)張中,有用的擴(kuò)張只有一個,可是如果不對所有的源點(diǎn)進(jìn)行最短路徑計(jì)算,則無法知道哪一個是有用的擴(kuò)張。雖然無法在每次迭代中不經(jīng)過計(jì)算就確定當(dāng)前迭代的有效擴(kuò)張?jiān)袋c(diǎn),但是通過觀察多次迭代的擴(kuò)張過程,可以獲得一部分各源點(diǎn)距離其較近的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的路徑長度信息,利用這些歷史迭代累計(jì)信息有望減少未來迭代中冗余擴(kuò)張的次數(shù)。

      3.2 CCRP++ 算法

      根據(jù)以上觀察和分析,本文給出一種新的啟發(fā)式算法CCRP++。算法的核心思想與CCRP略有不同,使用歷史上計(jì)算的最短路徑長度啟發(fā)搜索當(dāng)前迭代中有可能是“最短的最短路徑”的源點(diǎn)。為了保存歷史上的最短路徑信息,算法采用一種排序數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——優(yōu)先隊(duì)列(Priority Queue),保存每個源節(jié)點(diǎn)已經(jīng)預(yù)留的路徑長度,即從該源點(diǎn)到達(dá)最近目標(biāo)點(diǎn)的最早抵達(dá)時間Earliest Arrival Time(縮寫為EA)。每次迭代,只需提取優(yōu)先隊(duì)列最頂端的源點(diǎn)并進(jìn)行最短路徑計(jì)算,然后再放回隊(duì)列中。

      在實(shí)現(xiàn)中,首先對所有源點(diǎn)進(jìn)行最短路徑計(jì)算,以<源點(diǎn)號,路徑長度>作為優(yōu)先隊(duì)列的<Key,Value>。為了保證每個源點(diǎn)在放入優(yōu)先隊(duì)列之前,不會因?yàn)槠渌?jié)點(diǎn)的路徑預(yù)訂使得自身的最短路徑失效,算法采用了雙優(yōu)先隊(duì)列(Double Queue)設(shè)計(jì),設(shè)置PreRQ(Pre-enter Reserved Queue)和 RQ(Reserved Queue)兩個隊(duì)列,將尚未進(jìn)入正式預(yù)訂隊(duì)列RQ的源點(diǎn),依照其“可用”路徑的長度置于PreRQ中。每次迭代中,算法同時取出PreRQ和RQ的頂端源點(diǎn),比較其路徑長度。如果PreRQ頂端源點(diǎn)的路徑長度較小,說明此時其為“最短的最短路徑”,將其路徑“預(yù)留”并置入RQ中;若RQ頂端源點(diǎn)的路徑長度較小,則說明其為當(dāng)前“最短的最短路徑”,對其路徑進(jìn)行“Update”更新操作,將更新后的路徑重新置入RQ中。這種通過取PreRQ和RQ的頂端元素進(jìn)行比較的方法,可以迅速找到需要進(jìn)行單源最短路徑計(jì)算的源點(diǎn),避免了每次迭代進(jìn)行冗余重復(fù)的最短路徑計(jì)算,大大提高了運(yùn)算速度。算法的偽代碼如下:

      3.3 算法的復(fù)雜性分析

      相對于CCRP,CCRP++算法每次迭代只進(jìn)行一次最短路徑計(jì)算,但是多了兩個從PreRQ和RQ取頂端源點(diǎn)和放回的操作,其復(fù)雜性分別為O(1)和O(logS),所以CCRP++的復(fù)雜性為O(P(E+N)logNlogS)。由于一般路網(wǎng)為稀疏圖,E是N 的常數(shù),復(fù)雜性可以簡化為O(PNlogNlogS)??紤]到實(shí)際路網(wǎng)上從單個源點(diǎn)出發(fā)的最短路徑的擴(kuò)張是圍繞源點(diǎn)的小網(wǎng)絡(luò),CCRP++ 單次迭代的時間遠(yuǎn)小于CCRP。假設(shè)源點(diǎn)均勻分布在網(wǎng)絡(luò)中,每個源點(diǎn)周圍有N/S個節(jié)點(diǎn),則CCRP的復(fù)雜性為O(PS(N/S)log(N/S)),即O(PNlog(N/S)),而 CCRP++的復(fù)雜性為O(P(N/S)log(N/S)log(S)),即理論上CCRP++是CCRP運(yùn)算時間的log(S)/S。

      4 實(shí)驗(yàn)分析

      對算法CCRP++和CCRP使用不同規(guī)模的路網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行測試。實(shí)驗(yàn)平臺操作系統(tǒng)使用Windows XP 32bit SP3,配置CPU:Intel Core Duo T5500@1.66GHz,內(nèi)存1.5GB,編程語言使用C?。實(shí)驗(yàn)采用了3組規(guī)模不同的路網(wǎng)數(shù)據(jù):第一組是由CCRP項(xiàng)目參與者Dr.Sangho Kim提供的CCRP實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)SM,第二、三組數(shù)據(jù)是USGS發(fā)布的兩個城市Oldenburg(OL)和San Joaquin(TG)的路網(wǎng)數(shù)據(jù)。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模,隨機(jī)生成了疏散者人數(shù)、源點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)數(shù)。測試數(shù)據(jù)的屬性如表2。

      表2 不同網(wǎng)絡(luò)下的測試數(shù)據(jù)Table 2 Test data in different network

      實(shí)驗(yàn)主要檢測兩種算法的效率和隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的可擴(kuò)展性。以整體運(yùn)算時間和單次迭代運(yùn)算時間進(jìn)行測算。在整體運(yùn)算時間上,CCRP++相對于CCRP分別取得了2、28、100倍的加速(圖4);對比兩種算法的單次迭代運(yùn)算時間,CCRP的運(yùn)算時間隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增大、源節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增多而明顯增加,而CCRP++的單次迭代運(yùn)算時間幾乎沒有增長(圖5)。這是因?yàn)闊o論有多少源點(diǎn),每次都只進(jìn)行一個源點(diǎn)的最短路徑計(jì)算,少許的增量來自于進(jìn)出兩個優(yōu)先隊(duì)列PreRQ和RQ的代價,大小為O(logS)(S為源點(diǎn)數(shù)量)。實(shí)驗(yàn)表明CCRP++在效率和可擴(kuò)展性方面都優(yōu)于CCRP。

      5 結(jié)語

      針對傳統(tǒng)疏散算法CCRP的不足,提出了一種新型的啟發(fā)式疏散算法CCRP++,采用雙優(yōu)先隊(duì)列結(jié)構(gòu),每次只更新一個源點(diǎn)的最短路徑樹,避免了CCRP每次迭代時進(jìn)行所有源點(diǎn)的最短路徑樹更新,顯著降低了算法的時間復(fù)雜度。真實(shí)路網(wǎng)的模擬實(shí)驗(yàn)表明,CCRP++ 相比CCRP在算法效率和可擴(kuò)展性上都有明顯提升,這一改進(jìn)有助于疏散算法在實(shí)際應(yīng)急指揮系統(tǒng)的應(yīng)用。

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