一種認(rèn)知跟蹤雷達(dá)LFM波形庫(kù)建立方法*

俞道濱，吳彥鴻，朱衛(wèi)綱

(1.裝備學(xué)院信息裝備系，北京 101416;2.裝備學(xué)院光電裝備系，北京 101416)

1 引言

2006年，國(guó)際著名信號(hào)處理專家Simon Haykin首次提出了認(rèn)知雷達(dá)的概念［1］，并在隨后發(fā)表的多篇文章［2－4］中對(duì)認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)各部分的實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了說(shuō)明。認(rèn)知雷達(dá)將跟蹤系統(tǒng)、波形發(fā)射系統(tǒng)以及目標(biāo)場(chǎng)景視為一個(gè)閉環(huán)的整體，通過(guò)對(duì)波形的實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的有效跟蹤，提高了雷達(dá)的跟蹤性能。認(rèn)知雷達(dá)基本結(jié)構(gòu)中，通過(guò)感知－行動(dòng)環(huán)路對(duì)目標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)跟蹤是其工作的基本形式，在接收端對(duì)環(huán)境的“感知”引導(dǎo)發(fā)射端采取相應(yīng)的“行動(dòng)”。

當(dāng)前，在認(rèn)知雷達(dá)的行動(dòng)執(zhí)行器部分中，研究的重點(diǎn)集中于對(duì)認(rèn)知雷達(dá)的發(fā)射波形優(yōu)化?；谛旁氡?、信息論等準(zhǔn)則的波形優(yōu)化是認(rèn)知雷達(dá)首選的波形優(yōu)化方案。然而，在波形優(yōu)化的過(guò)程中，求解最優(yōu)解過(guò)程往往比較復(fù)雜，而且計(jì)算量比較大，可能導(dǎo)致觀測(cè)間隔內(nèi)雷達(dá)發(fā)射機(jī)無(wú)法及時(shí)地發(fā)出設(shè)計(jì)好的波形。因此文獻(xiàn)［5－10］提出用建立波形庫(kù)的方法來(lái)優(yōu)化雷達(dá)的發(fā)射波形，其基本思想是在跟蹤系統(tǒng)中添加一個(gè)波形庫(kù)，最優(yōu)化選擇時(shí)跟蹤濾波器遍歷波形庫(kù)中的每個(gè)波形，并從中選擇下一個(gè)時(shí)刻的發(fā)射波形。

A.W.Rihaczek［5］指出了一個(gè)比較簡(jiǎn)單的波形庫(kù)選擇策略，根據(jù)模糊函數(shù)不同將波形分為4類并對(duì)每種信號(hào)舉例進(jìn)行了理論研究，指出了不同的表現(xiàn)性。Cochran［6］著重研究了波形庫(kù)的建立和波形調(diào)度算法，對(duì)于波形庫(kù)的建立從信息論的角度提出了由6種波形建立的波形庫(kù)并分別采用單步調(diào)用、多步調(diào)用和無(wú)調(diào)度算法對(duì)跟蹤性能進(jìn)行了比對(duì)。Savage［7］對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤采用了 IMM的算法通過(guò)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換來(lái)旋轉(zhuǎn)測(cè)量誤差橢圓以得到最優(yōu)波形，考慮了追蹤加速目標(biāo)的波形選擇算法，提高了跟蹤性能。檀甲甲［8］提出對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)采用多項(xiàng)式預(yù)測(cè)模型建模的思想方法，對(duì)最優(yōu)波形的獲得也采用了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換旋轉(zhuǎn)測(cè)量誤差橢圓的方法。Suvorova［9－10］提出了波形庫(kù)的優(yōu)化準(zhǔn)則，并從信息論的角度出發(fā)，得出LFM波形庫(kù)和LFM－Rotation波形庫(kù)在其準(zhǔn)則下只需保留最大和最小調(diào)頻率的結(jié)論。

本文綜合以上研究成果，提出在認(rèn)知跟蹤的框架內(nèi)，應(yīng)用交互多模型(IMM)作為機(jī)動(dòng)目標(biāo)的模型，綜合考慮了目標(biāo)的多種機(jī)動(dòng)狀態(tài)，采用線性高斯條件下的最優(yōu)貝葉斯濾波——卡爾曼濾波的原理，對(duì)多次機(jī)動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證建立LFM波形庫(kù)對(duì)跟蹤性能提升的影響。

2 信號(hào)模型

首先建立認(rèn)知雷達(dá)的信號(hào)模型，明確雷達(dá)信號(hào)與目標(biāo)跟蹤算法之間的關(guān)系。在接收端應(yīng)用目前使用較為廣泛的匹配濾波器，通過(guò)計(jì)算最大似然函數(shù)從而進(jìn)行最佳信號(hào)檢測(cè)和最優(yōu)參數(shù)估計(jì)。此處假設(shè)信噪比足夠大，估計(jì)誤差足夠小，那么似然函數(shù)的峰值為最大似然估計(jì)值，估計(jì)誤差達(dá)到測(cè)量噪聲的克拉美勞下限(CRLB)，并隨著發(fā)射信號(hào)波形的變化而變化。

假設(shè)發(fā)射的基帶信號(hào)為s(t)，則雷達(dá)發(fā)射的窄帶脈沖sT(t)可以表述為

式中，ωc為載波頻率，ET為發(fā)射脈沖的能量，Re{·}表示取實(shí)部。雷達(dá)接收信號(hào)可以表述為

式中，φ是隨機(jī)的相移，ER是接收信號(hào)的能量，n(t)為基帶上零均值的高斯白噪聲。參數(shù)τ和v分別為目標(biāo)的時(shí)延和Doppler頻移。根據(jù)雷達(dá)測(cè)距測(cè)速的原理，目標(biāo)的位移和速度與其時(shí)延τ和Doppler頻移v存在如下關(guān)系

對(duì)于接收到的信號(hào)，sR(t)通過(guò)下變頻之后得到基帶信號(hào)。將此基帶信號(hào)通過(guò)對(duì)應(yīng)的雷達(dá)接收匹配濾波器，可以得到其模糊函數(shù)

可以看到，模糊函數(shù)是有關(guān)時(shí)延τ和Doppler頻移v的二維函數(shù)。模糊度函數(shù)A(τ，v)最大的值對(duì)應(yīng)的變量(τ，v)，即為理想情況下雷達(dá)的接收傳感器部分對(duì)目標(biāo)的時(shí)延τ和Doppler頻移v的測(cè)量，根據(jù)式(4)求得對(duì)目標(biāo)位移r和速度的測(cè)量。

帶有波形參數(shù)的測(cè)量噪聲協(xié)方差陣設(shè)為N(θk)，其與模糊度函數(shù)A(τ，v)存在如下關(guān)系:

式中，θk為波形參數(shù)向量;J為A(τ，v)關(guān)于時(shí)延τ和Doppler頻移v的fisher信息矩陣;J－1即為對(duì)時(shí)延τ和Doppler頻移v無(wú)偏估計(jì)的CRLB。式(5)建立了雷達(dá)信號(hào)與目標(biāo)跟蹤之間的聯(lián)系，為變波形條件下的目標(biāo)跟蹤奠定了基礎(chǔ)。

3 交互多模型(IMM)跟蹤

目標(biāo)跟蹤濾波算法是認(rèn)知跟蹤的核心部分之一。本文就目標(biāo)的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行相應(yīng)的分析和討論，此時(shí)交互多模型跟蹤是一種較優(yōu)的跟蹤算法。IMM算法考慮了運(yùn)動(dòng)模型的特點(diǎn)，對(duì)多個(gè)單獨(dú)模型跟蹤的估計(jì)值加權(quán)求和，得到組合狀態(tài)估計(jì)，其原理如圖1所示。

圖1 IMM工作原理結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Operating principle for IMM structure

交互式多模型算法是一種遞歸算法，算法的每一個(gè)循環(huán)過(guò)程包括以下幾步:輸入交互、濾波、模型概率更新和輸出綜合。設(shè)IMM模型轉(zhuǎn)移矩陣為Π，模型i初始模型概率μi(k－1|k－1)，則IMM算法一個(gè)采樣周期記為 IMM［Mk，Mk－1］，其中 Mk為 k 時(shí)刻模型集，Mk－1為k－1時(shí)刻的模型集。對(duì)任意模型mj∈Mk，具體循環(huán)步驟如下。

(1)模型條件初始化

計(jì)算預(yù)測(cè)模型概率μj(k－1|k－1)、混合權(quán)重μij、混合估計(jì) Xj、混合協(xié)方差 P(k|k)。

(2)模型條件濾波

把上兩式得到的濾波結(jié)果作為下一時(shí)刻與模型mj相匹配的輸入變量，然后每個(gè)濾波器按照各自的算法進(jìn)行狀態(tài)濾波得到各自的狀態(tài)估計(jì)Xj(k|k)及協(xié)方差Pj(k|k)。

(3)模型概率更新

似然函數(shù):

概率模型:

(4)組合

計(jì)算總體估計(jì)X(k|k)和總體協(xié)方差P(k|k)。

IMM算法由初始化到最終的組合是一個(gè)不斷循環(huán)的過(guò)程，雷達(dá)發(fā)射信號(hào)模型與每個(gè)跟蹤器建立聯(lián)系，在波形實(shí)時(shí)變化過(guò)程中對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。由于波形變化的多樣性，通過(guò)確定一定數(shù)量的波形并建立波形庫(kù)的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)波形的調(diào)用，達(dá)到跟蹤誤差減小的目的。

4 LFM波形庫(kù)的建立

4.1 波形庫(kù)構(gòu)建策略

本文研究的重點(diǎn)是引入認(rèn)知環(huán)路對(duì)跟蹤性能的提升，波形庫(kù)作為行動(dòng)執(zhí)行器的組成部分，提供優(yōu)化的發(fā)射波形。因此，制定適合發(fā)射端的波形選擇策略是構(gòu)建波形庫(kù)的基礎(chǔ)。

假設(shè)z0是感知－行動(dòng)環(huán)路的初始條件，認(rèn)知從這個(gè)最初的觀測(cè)值開(kāi)始。發(fā)射端通過(guò)計(jì)算代價(jià)函數(shù)(由接收端輸出計(jì)算得到)產(chǎn)生下一時(shí)刻發(fā)射的最優(yōu)波形參數(shù)向量，并隨后獲得了新的觀測(cè)值z(mì)1，得到該循環(huán)環(huán)路為 z0→θ0→…→zk→θk。

如果按照上述的行動(dòng)－反應(yīng)環(huán)路來(lái)設(shè)計(jì)，其初始條件就應(yīng)該是波形參數(shù)θ0，而不是z0。認(rèn)知雷達(dá)在發(fā)射單一波形后，通過(guò)處理回波得到新的觀測(cè)值z(mì)k，發(fā)射端仍通過(guò)計(jì)算代價(jià)函數(shù)來(lái)獲得下一時(shí)刻發(fā)射的波形參數(shù)向量θk，其循環(huán)環(huán)路為θ0→z1→…→θk－1→zk。

起始點(diǎn)的設(shè)定對(duì)于波形庫(kù)的構(gòu)建策略具有一定的影響，下文中采用第一種循環(huán)方式作為發(fā)射波形的選擇策略，即假設(shè)目標(biāo)的初始狀態(tài)已知，在獲得目標(biāo)的量測(cè)值z(mì)1后對(duì)波形進(jìn)行優(yōu)化。

就目標(biāo)跟蹤而言，最優(yōu)的波形選擇為使得測(cè)量誤差橢圓與估計(jì)誤差的先驗(yàn)誤差橢圓正交的波形，然而接收到的測(cè)量誤差橢圓對(duì)于多個(gè)模型而言，所得到的波形參數(shù)是不同的。對(duì)于應(yīng)用波形庫(kù)的情況下，設(shè)定一定間距的旋轉(zhuǎn)角度取一組LFM信號(hào)，通過(guò)選擇設(shè)定不同的先驗(yàn)估計(jì)誤差，在多模型交互時(shí)對(duì)各模型下選擇的優(yōu)化波形進(jìn)行融合，在波形選擇準(zhǔn)則下確定最終的優(yōu)化波形。波形優(yōu)化及波形庫(kù)的構(gòu)建如圖2所示。

圖2 波形優(yōu)化及波形庫(kù)的構(gòu)建示意圖Fig.2 Waveform optimizing and waveforms library's construction

考慮與先驗(yàn)誤差相關(guān)的LFM調(diào)頻率參數(shù)，取s(t)=s0(t)exp( jbt2)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fr-FT)調(diào)整設(shè)定調(diào)頻率參數(shù)下的旋轉(zhuǎn)角度，即可建立一個(gè)LFM波形庫(kù)。

滿足|S|=1的歸一化條件下，不同的調(diào)頻參數(shù)b和不同的FrFT旋轉(zhuǎn)角度對(duì)應(yīng)的變換矩陣為

4.2 波形選擇準(zhǔn)則

波形選擇準(zhǔn)則是在跟蹤過(guò)程中選擇波形的依據(jù)，文獻(xiàn)［8］重點(diǎn)研究了這一問(wèn)題，對(duì)IMM框架下的多種波形選擇準(zhǔn)則展開(kāi)討論。在認(rèn)知跟蹤雷達(dá)中，我們從信息論的角度描述其每一個(gè)反饋環(huán)路，選擇使目標(biāo)動(dòng)態(tài)模型不確定性最小的波形。對(duì)于單步調(diào)用的策略，該準(zhǔn)則可以定義為最小化模型概率分布熵的波形選擇準(zhǔn)則，即最大化各模型與觀測(cè)值之間的互信息，兩者的差值表達(dá)式為

其中:

其中，f(z|n(k)=j，Zk－1，θ)為第 k 次的預(yù)測(cè)概率密度，在式(14)中給出。且考慮到pj(k|k)與波形相關(guān)，同時(shí)將 f(z(k)|Zk－1，θ)近似為高斯分布，與預(yù)測(cè)概率密度相同，進(jìn)一步運(yùn)算得

為獲得最大信息量，可令熵值表達(dá)式最小，即波形選擇準(zhǔn)則表達(dá)式為

5 仿真驗(yàn)證與分析

對(duì)于真實(shí)目標(biāo)，其在實(shí)施機(jī)動(dòng)前會(huì)有一定的緩沖，并在一次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)動(dòng)次數(shù)較少。此處考慮一個(gè)距離雷達(dá)1.5 km處以初速度350 km/h運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)目標(biāo)，其在雷達(dá)的觀測(cè)范圍內(nèi)作多次機(jī)動(dòng)，這樣可以較為明顯地體現(xiàn)出引入波形庫(kù)的優(yōu)勢(shì)。

目標(biāo)跟蹤的距離－速度變化如圖3所示。

圖3 機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)變化示意圖Fig.3 Variation of maneuvering target in motion

在由單個(gè)觀測(cè)站對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離和速度進(jìn)行觀測(cè)，觀測(cè)間隔Δt=2，相應(yīng)的跟蹤方程參數(shù)為

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最大的加速度amax=50，設(shè)定在各模型中，ai為 50、20、0、－20、－50，i=1，2，…，5，模型的初始概率均為0.2，控制模型轉(zhuǎn)化的馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

根據(jù)以上波形庫(kù)構(gòu)建原則，得到了具有不同數(shù)量波形數(shù)的波形庫(kù)，并在此條件下進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

為了便于對(duì)各種情況進(jìn)行對(duì)比，采用濾波的積累誤差:

按照上述設(shè)定進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真，獲得了對(duì)目標(biāo)距離和速度跟蹤誤差的結(jié)果如圖4所示。對(duì)仿真結(jié)果分析可知，單波形和雙波形在距離方向上的跟蹤誤差相近，而雙波形由于在調(diào)頻率上具有可選擇性，在多普勒速度估計(jì)上具有優(yōu)勢(shì)，可以在速度估計(jì)上獲得相對(duì)較小的誤差。對(duì)于六波形和十波形的波形庫(kù)，其在距離和速度上的誤差較無(wú)波形庫(kù)的情況均明顯減小，波形庫(kù)在跟蹤中實(shí)時(shí)調(diào)用波形發(fā)揮了一定的作用。而在六波形的基礎(chǔ)上為了增加精度而加入的波形并未體現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)，六波形與十波形在距離跟蹤精度上的差別相對(duì)較小，在速度跟蹤中兩者的誤差近乎相等。

圖4 距離與速度跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.4 Comparison of range and speed tracking errors

仿真中，根據(jù)波形選擇準(zhǔn)則，在所建立的波形庫(kù)內(nèi)對(duì)LFM波形執(zhí)行的選擇策略及仿真中平均每次所用的時(shí)間如圖5所示。不同類波形庫(kù)下調(diào)時(shí)間對(duì)比如表1所示。

圖5 波形選擇策略Fig.5 Waveform selection strategy

表1 不同類波形庫(kù)下調(diào)用時(shí)間對(duì)比(平均)Table 1 Comparison of time cost in four libraries(average)

分析圖5波形庫(kù)自適應(yīng)的調(diào)用過(guò)程可知，在目標(biāo)與雷達(dá)之間的距離相對(duì)較遠(yuǎn)且速度增加時(shí)，雙波形的變化相對(duì)密集，在第150 s左右雙波形波形庫(kù)不斷變換選擇波形，使速度跟蹤誤差維持在一個(gè)小范圍的同時(shí)，其在距離向上的跟蹤誤差有所增大，甚至在末段其距離跟蹤精度明顯變差，這說(shuō)明波形數(shù)量過(guò)少時(shí)，其在距離和速度上的跟蹤誤差無(wú)法同時(shí)降低。文獻(xiàn)［9］也分析了單就對(duì)脈沖信號(hào)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換角度的優(yōu)化時(shí)對(duì)于降低跟蹤距離和速度上的誤差存在矛盾。因此，應(yīng)用雙參數(shù)的調(diào)節(jié)以及對(duì)波形庫(kù)的引入對(duì)兩個(gè)參數(shù)的優(yōu)化均具有一定的優(yōu)勢(shì)。

綜合以上圖表可以看出，對(duì)于具有一定數(shù)量的波形庫(kù)，在發(fā)射信號(hào)帶寬限制下，增加波形數(shù)量對(duì)于提高跟蹤精度的影響不大，而由圖5和表1可以看出，十波形在調(diào)用時(shí)不斷變化占用了一定的時(shí)間和系統(tǒng)資源，使得系統(tǒng)負(fù)載加大。因此，此處選用六波形的波形庫(kù)具有最優(yōu)的跟蹤性能。

6 結(jié)語(yǔ)

本文在認(rèn)知跟蹤雷達(dá)的背景下，提出了建立LFM波形庫(kù)實(shí)現(xiàn)對(duì)發(fā)射波形實(shí)時(shí)調(diào)用的方法。首先，明確了雷達(dá)的信號(hào)模型，應(yīng)用交互多模型算法實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤;其次，闡述了認(rèn)知跟蹤中波形庫(kù)的構(gòu)建策略，根據(jù)信息論設(shè)計(jì)波形選擇準(zhǔn)則，以最小化模型選擇不確定性為目標(biāo)推導(dǎo)了準(zhǔn)則函數(shù);最后，通過(guò)選擇不同的調(diào)頻率參數(shù)和分?jǐn)?shù)階傅里葉旋轉(zhuǎn)角度的組合構(gòu)成的波形庫(kù)，對(duì)結(jié)論進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。在文獻(xiàn)［9］研究的基礎(chǔ)上，本文考慮了更多機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且仿真了較多數(shù)量波形構(gòu)成的波形庫(kù)對(duì)目標(biāo)跟蹤的影響，而在不同運(yùn)動(dòng)模型及不同機(jī)動(dòng)狀態(tài)下，如何選擇一定數(shù)量的波形以平衡系統(tǒng)負(fù)荷與跟蹤精度之間的關(guān)系，是下一步研究的重點(diǎn)之一。本文仿真結(jié)果表明，通過(guò)建立一定數(shù)量的LFM波形庫(kù)，可以達(dá)到減小距離和速度的跟蹤誤差的目的，提高了對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤性能。

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