多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)工作性能及其狀態(tài)概率分析

古瑩奎， 邱光琦， 儲 茜

（江西理工大學機電工程學院，江西贛州341000）

0 前 言

大多數(shù)情況下， 系統(tǒng)是由多個具有多種狀態(tài)的且功能各異的組件構成. 各組件之間關系復雜，對系統(tǒng)性能的影響也不盡相同. 由于組件性能退化的機理存在差異性， 使系統(tǒng)及其組件都可能呈現(xiàn)出多種工作狀態(tài)和多個失效模式. 因而，系統(tǒng)的性能及狀態(tài)取決于其組成部件的結(jié)構關系、性能及狀態(tài)[1-3]. 傳統(tǒng)的二態(tài)系統(tǒng)僅考慮系統(tǒng)和組件的兩種可能狀態(tài)：最佳狀態(tài)和完全失效，顯然不能適應對這種含有多狀態(tài)組件的多狀態(tài)系統(tǒng)進行性能分析[4-5]. 多狀態(tài)系統(tǒng)理論的發(fā)展為解決此類問題提供了有力的支持[6]. 串并聯(lián)系統(tǒng)是一種常見的典型系統(tǒng)結(jié)構，目前對多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的分析研究主要集中在系統(tǒng)的可靠性評估和結(jié)構優(yōu)化方面，如Agarwal 和Sharma 等都對多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的同質(zhì)冗余分配問題進行了研究， 分別采用啟發(fā)式算法和螞蟻克隆算法來求解優(yōu)化問題[7-8]；Li 和Tian等基于物理規(guī)劃和遺傳算法對多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性評估以及組件設計優(yōu)化進行了研究[9-10]；Nourelfath 等研究了在維修方針下的多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)優(yōu)化設計方法[11]；Levitin 應用通用產(chǎn)生函數(shù)法對多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)化進行了系統(tǒng)的研究[5].以上研究著重于對系統(tǒng)可靠度和狀態(tài)概率的分析計算，而較少對系統(tǒng)在各個不同狀態(tài)下的性能水平進行分析. 文中綜合考慮多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)和該狀態(tài)下的性能水平，應用等同集的概念探討其不同狀態(tài)組合下的發(fā)生概率和性能水平以及系統(tǒng)整體性能水平的計算方法，以求為系統(tǒng)的風險評價、可靠性評估和預防維修提供理論支持.

1 多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構函數(shù)和等同集

對于含有n 個多狀態(tài)組件的多狀態(tài)系統(tǒng)，系統(tǒng)可以有M+1 個狀態(tài)：[0，1，2，…，M]，其中狀態(tài)0 代表完全失效狀態(tài)，狀態(tài)M 代表完好狀態(tài)，其余代表中間狀態(tài). xi（i=1，2，…，n）代表第i 個組件的狀態(tài)，每個組件可以有mi+1 個狀態(tài)：[0，1，2，…，mi]，其中狀態(tài)0 代表完全失效狀態(tài)，狀態(tài)mi代表完好狀態(tài).系統(tǒng)狀態(tài)與組件狀態(tài)之間的映射關系可以用結(jié)構函數(shù)φ（x）來描述， x=（x1，x2，…，xn）為組件狀態(tài)向量[4,12].

由此可見，多狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)包含大量的組件狀態(tài)集合. 對于含有不同組件狀態(tài)向量的系統(tǒng)狀態(tài)，如果其中某個或某幾個組件狀態(tài)的變化并未使系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化，則認為包含這個或這幾個組件狀態(tài)的集合屬于同一等同集，隸屬于同一狀態(tài).

2 多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)性能與狀態(tài)概率分析

2.1 多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構分析

圖1 多狀態(tài)串并系統(tǒng)結(jié)構圖

系統(tǒng)的可靠性水平可以用組件概率分布矩陣P 來描述為：

式（2）中，pij（i=1，2，…，ns，j=0，1，2，…，M）表示第i個組件在第j 個狀態(tài)的概率.

系統(tǒng)的性能水平可以用組件性能分布矩陣U來描述為：

式（3）中，uij（i=1，2，…，ns，j=0，1，2，…，M）表示第i個組件在第j 個狀態(tài)下的性能水平.

2.2 多狀態(tài)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性及性能分析

若多狀態(tài)系統(tǒng)是串聯(lián)結(jié)構， 則系統(tǒng)處于第j 個狀態(tài)或者更高一級狀態(tài)的必要條件是當且僅當每一個組件的性能都等于或大于給定的性能值uj，uj+1≥uj（j=0，1，2，…，M-1），也就是說，多狀態(tài)串聯(lián)系統(tǒng)的性能即是系統(tǒng)中最差狀態(tài)組件的性能.

若以P （Sk） 表示系統(tǒng)在狀態(tài)k 時具有性能uk的整體概率，則有：

2.3 多狀態(tài)并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性及性能分析

若多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構是并聯(lián)的，則并聯(lián)系統(tǒng)處于第j 個狀態(tài)或更高狀態(tài)的充分條件是至少有一個組件的性能等于或大于給定的性能值uj，uj+1≥uj（j=0，1，2，…，M-1），也就是說，多狀態(tài)并聯(lián)系統(tǒng)的性能為系統(tǒng)中最佳狀態(tài)組件的性能.

設并聯(lián)結(jié)構由n 個組件構成，系統(tǒng)在第k 個狀態(tài)時的等同集為Sk. 給定并聯(lián)系統(tǒng)在第k 個狀態(tài)時的性能水平uk，由并聯(lián)系統(tǒng)的性質(zhì)可以知道，該狀態(tài)下系統(tǒng)可能具有多個性能水平uj，uj≥uk（j=1，2，…，J），則其等同集又可以據(jù)此劃分為J 個子集，表示為：

對每一個性能水平uj（j=1，2，…，J ）所對應的等同子集，設其含有j（n）個部件狀態(tài)組合，則在該性能水平下的系統(tǒng)狀態(tài)概率為：

由此， 可得系統(tǒng)在狀態(tài)k 下具有性能uk的整體概率為：

基于并聯(lián)系統(tǒng)的定義，同一狀態(tài)k 下系統(tǒng)可能具有多個不同的性能水平， 因而系統(tǒng)在該狀態(tài)下的總體性能應為各個不同性能的加權平均性能，以u（Sk）表示如下：

2.4 多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)可靠性及性能水平分析

對于如圖1 所示的多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)來說，系統(tǒng)處于第j 個狀態(tài)或者更高狀態(tài)的必要條件是在每個并聯(lián)子系統(tǒng)中至少有一個組件的性能等于或者大于給定的值uj，uj+1≥uj（j=0，1，2，…，M-1），也意味著每一個子系統(tǒng)必須是處于第j 個狀態(tài)或者更高的狀態(tài).

由于多狀態(tài)并聯(lián)系統(tǒng)的性能定義為系統(tǒng)中最佳狀態(tài)組件的性能，多狀態(tài)串聯(lián)系統(tǒng)的性能定義為系統(tǒng)中最差狀態(tài)組件的性能，因此多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)性能定義為[13]：

式（10）中，uij是第j 個組件在第i 個子系統(tǒng)中的性能，u 是一個在多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)中表示所有組件性能的矢量.

根據(jù)多狀態(tài)系統(tǒng)的定義， 系統(tǒng)在第j 個狀態(tài)（j=0，1，…，M）或者更高狀態(tài)的概率為：

式（11）中，u 是系統(tǒng)中表示所有組件性能的矢量，φ（x）是系統(tǒng)的結(jié)構函數(shù)，φ（x）＝0,1,2,…，M. γ（u）是系統(tǒng)性能函數(shù)，ui表示所有組件在第i 個并聯(lián)子系統(tǒng)中的性能，γi（ui）是第i 個并聯(lián)子系統(tǒng)的性能函數(shù)，uj是預先給定的性能值.

式（11）說明系統(tǒng)是存在第j 個狀態(tài)或更高狀態(tài)的，系統(tǒng)性能不應該低于額定值uj，所以每一個并聯(lián)子系統(tǒng)的性能都不應該低于uj. 式（11）同時也表明，多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性是其多狀態(tài)組件性能分布矩陣U 和可靠性分布矩陣P 的函數(shù)，表示為：

為了計算系統(tǒng)的可靠性，需要計算每一個并聯(lián)子系統(tǒng)的可靠性. 給定φi（xi）是第i 個并聯(lián)子系統(tǒng)的結(jié)構函數(shù)，子系統(tǒng)處于第j 個狀態(tài)或者更高狀態(tài)的可靠性表達為：

式（12）中，ni是第i 個并聯(lián)子系統(tǒng)的組件數(shù)，uir是第r 個組件在第i 個并聯(lián)子系統(tǒng)之中的性能.

基于以上分析，可以得到整個系統(tǒng)的性能水平Us，表示為：

式（14）中，Us為系統(tǒng)性能，Uj為系統(tǒng)處于第j 個狀態(tài)時的加權平均性能，Pr（φ（x）＝j）為系統(tǒng)處于第j個狀態(tài)時的概率.

3 多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)性能與狀態(tài)分析及其維修決策框架

基于以上方法對多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)進行分析，在獲取系統(tǒng)工作性能及其狀態(tài)概率后，可以為系統(tǒng)性能的動態(tài)評估以及維修決策提供理論支持，框架如圖2 所示.

圖2 多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)性能與狀態(tài)分析及其維修決策框架

（1）為系統(tǒng)性能的動態(tài)評估提供支持. 系統(tǒng)在運行過程中，性能處于逐步退化中，隨著性能的退化，其狀態(tài)也從高狀態(tài)向低狀態(tài)遷移，在這個過程中，系統(tǒng)并沒有發(fā)生失效，因而沒有可用的可靠性數(shù)據(jù)來對其運行可靠性做出動態(tài)的評估. 但可以通過對表征系統(tǒng)組件性能的主要特征參數(shù)進行監(jiān)控，獲取其動態(tài)性能值，通過定義組件性能區(qū)間與其狀態(tài)的對應關系可以確定其隸屬的狀態(tài)；由于系統(tǒng)組件性能的退化一般是遵循一定的分布規(guī)律，按照一定軌道進行的，通過分析可獲取該性能水平下的發(fā)生概率. 在獲取系統(tǒng)各個組件的性能以及工作狀態(tài)概率后可對系統(tǒng)的性能和狀態(tài)做出動態(tài)的評估.

（2）為系統(tǒng)的維修提供支持. 系統(tǒng)運行到一定的時間或性能退化接近或達到一定的閾值時，為保證系統(tǒng)運行的安全性，需要停機進行維修. 預設性能閾值，通過對系統(tǒng)狀態(tài)和性能的動態(tài)評估，可以找到最佳停機維修點，從而節(jié)約維修資源，減少停機成本和減少事故發(fā)生的幾率.

4 實例分析

以某鋼鐵集團煉鋼廠轉(zhuǎn)爐全懸掛傾動裝置二級減速機系統(tǒng)為研究對象，應用提出的方法分析其狀態(tài)和性能水平. 在實際工作過程中，二級減速機系統(tǒng)的失效是一個從完好狀態(tài)到完全失效狀態(tài)的時序過程，整個系統(tǒng)具有多狀態(tài)性，是一個典型的具有多狀態(tài)組件的多狀態(tài)系統(tǒng)，每臺減速機有自己不同的工作狀態(tài)和相應狀態(tài)下的性能水平. 為不失一般性，考慮設備由于維修維護狀況、工作位置和工作環(huán)境的不同，每臺減速機的狀態(tài)和工作性能各異. 轉(zhuǎn)爐傾動裝置傳動系統(tǒng)如圖3 所示，其中四臺二級減速機構成串并聯(lián)結(jié)構，如圖4 所示. 二級減速機的工作狀態(tài)對傾動系統(tǒng)的工作性能有著重要的影響，對傾動系統(tǒng)的安全性、平穩(wěn)性和可靠性有著重要的作用.

圖3 全懸掛轉(zhuǎn)爐傾動裝置圖

圖4 二級減速機配置示意圖

表1 各二級減速機性能及狀態(tài)分布

若給定系統(tǒng)3 個性能水平u0=0.1，u1=0.3，u3=0.5. 枚舉各個狀態(tài)下的等同集，并依據(jù)系統(tǒng)性能水平對等同集進行分組，計算各等同集及各狀態(tài)組合的等同概率和系統(tǒng)概率，如表2～表4 所示.

表2 二級減速機串并聯(lián)系統(tǒng)在0 狀態(tài)時的性能分布

由表2 可知，二級減速機串并聯(lián)系統(tǒng)在0 狀態(tài)時，等同集包含25 個狀態(tài)組合，系統(tǒng)性能可能為0或0.1，其概率為0.007 488+0.004 975=0.012 462 5，其中系統(tǒng)性能為0 的概率為0.007 488， 系統(tǒng)性能為0.1 的概率為0.004 975. 由式（9）可得系統(tǒng)平均加權性能為：

（0.007 488*0+0.004 975*0.1）/0.012 462 5=0.039 920

表3 二級減速機串并聯(lián)系統(tǒng)在1 狀態(tài)時的性能分布

從表3 可以知道，二級減速機串并聯(lián)系統(tǒng)在1狀態(tài)時， 等同集包含39 個狀態(tài)組合， 其概率為0.068 462 5+0.342 362 5=0.410 825. 在該狀態(tài)下，系統(tǒng)具有兩個性能水平，其中系統(tǒng)性能為0.3 的概率為0.068 462 5， 系統(tǒng)性能為0.4 的概率為0.342 362 5. 由式（9）可得系統(tǒng)的加權平均性能為：

（0.068 425*0.3+0.342 362 5*0.4）/0.410 825 =0.383 335

從表4 可以知道， 二級減速機多狀態(tài)系統(tǒng)在2狀態(tài)時， 等同集包含17 個狀態(tài)組合， 其概率為0.576 712 5，狀態(tài)性能為0.5.

基于以上分析，二級減速機串并聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)與性能分布如表5 所示. 系統(tǒng)處于狀態(tài)0 的概率為0.012 462 5，平均性能為0.039 920；處于狀態(tài)1 的概率為0.410 825 0，平均性能為0.383 335；處于狀態(tài)2 的概率為0.576 712 5，平均性能為0.5.

表5 二級減速機串并聯(lián)多狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)分布

由式（14），可以得到整個系統(tǒng)的性能水平為：

即在四臺二級減速機當前的狀態(tài)下，用傳動效率表征的二級減速機系統(tǒng)的總體性能為0.446 337.假若設定系統(tǒng)的性能應不低于0.5， 由于系統(tǒng)實際性能低于該設定值，必須對系統(tǒng)停機并實施維修.

5 結(jié) 語

文中在對多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構關系分析的基礎上，分析其工作狀態(tài)和性能水平. 由于多狀態(tài)系統(tǒng)性能與其組件的結(jié)構關系及狀態(tài)組合直接相關，探討了多狀態(tài)串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)及串并聯(lián)系統(tǒng)處于某個狀態(tài)或者更高狀態(tài)的充分必要條件，應用等同集的概念分析不同性能水平下系統(tǒng)組件狀態(tài)組合的概率和整體狀態(tài)概率，得到該狀態(tài)下系統(tǒng)的平均加權性能，并進一步計算整個系統(tǒng)的性能水平. 據(jù)此分析結(jié)果可以為系統(tǒng)的可靠性與性能評估以及維修決策提供理論支持.

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