基于測(cè)量點(diǎn)自適應(yīng)搜尋的法矢求解算法

余劍峰，辛 博，鄭堂介

（1．西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072；2．江西洪都航空工業(yè)股份有限公司 飛機(jī)總裝廠，江西 南昌 330024）

0 引言

目前，世界各航空工業(yè)發(fā)達(dá)國(guó)家都已廣泛采用自動(dòng)鉆鉚技術(shù)［1］，主要應(yīng)用于飛機(jī)壁板類(lèi)部件的加工。其中，壁板鉆孔法向精度直接影響飛機(jī)的氣動(dòng)外形乃至部件結(jié)構(gòu)的安全性能［2］，其技術(shù)關(guān)鍵在于如何利用壁板上有限個(gè)測(cè)量點(diǎn)求解鉆孔點(diǎn)處的法矢?，F(xiàn)有的法矢求解算法一般是在鉆孔點(diǎn)周?chē)x擇一些臨近測(cè)量點(diǎn)，再根據(jù)這些點(diǎn)的測(cè)量值在其附近的拓?fù)湫螤?，采用平面、曲線(xiàn)或曲面擬合來(lái)計(jì)算，如秦現(xiàn)生［3］提出的 3 點(diǎn)快速調(diào)平法；Ruey－Tsung Lee［4］提出的9點(diǎn)3×3非標(biāo)準(zhǔn)2次貝齊爾曲面網(wǎng)格法及5點(diǎn)［5］、9點(diǎn)非標(biāo)準(zhǔn)2次貝齊爾曲線(xiàn)插值法；OUYANG Daoshan［6］提出的點(diǎn)云估算法；謝友金［7］提出的球面逼近法；易傳云［8］提出的累加弦長(zhǎng)3次參數(shù)樣條法等。求解精度方面，文獻(xiàn)［4，6－8］提出的曲線(xiàn)、曲面擬合法均可獲得較好的擬合效果，對(duì)任意空間曲面法矢求解精度高，普適性較強(qiáng)，但對(duì)壁板類(lèi)曲面法矢的求解存在局限性，如數(shù)據(jù)采集量大、對(duì)數(shù)據(jù)的后處理復(fù)雜、耗時(shí)長(zhǎng)、成本高等，無(wú)法滿(mǎn)足某些曲面加工過(guò)程中對(duì)曲面點(diǎn)法矢實(shí)時(shí)檢測(cè)的需要［5］。求解效率方面，文獻(xiàn)［3，5］的數(shù)據(jù)采集量小、計(jì)算效率高，適用于求解大尺寸、小曲度的曲面法矢，但對(duì)于大曲度壁板，文獻(xiàn)［3］的求解精度偏低，文獻(xiàn)［5］的精度下降。此外，上述算法測(cè)量點(diǎn)的選取規(guī)則固定，測(cè)量點(diǎn)的間距不隨壁板曲面的變化而改變，與壁板曲面理論數(shù)模脫離聯(lián)系，使理論數(shù)模在引導(dǎo)測(cè)量曲面法矢方面失去作用。雖然在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中壁板變形導(dǎo)致其實(shí)際外形與理論數(shù)模存在偏差，但仍可將理論數(shù)模包含的相關(guān)數(shù)學(xué)特征信息作為搜尋測(cè)量點(diǎn)的依據(jù)，提高法矢求解的精度。

基于以上討論，本文提出一種基于測(cè)量點(diǎn)自適應(yīng)搜尋的法矢求解算法，依據(jù)壁板理論數(shù)模利用等曲率積分法自適應(yīng)搜尋6個(gè)變間距測(cè)量點(diǎn)，再利用三次B樣條曲線(xiàn)對(duì)測(cè)量值插值求解曲面法矢，通過(guò)優(yōu)化測(cè)量點(diǎn)位分布提高求解精度。結(jié)果表明，該算法是一種較為理想的求解飛機(jī)壁板類(lèi)部件法矢算法。

1 算法流程

在航空領(lǐng)域，飛機(jī)壁板曲面有其特有的幾何特性，多為直紋面、旋轉(zhuǎn)面和馬鞍面［9］等，且大部分為大尺寸、單曲度曲面，曲度變化平緩，如機(jī)身類(lèi)壁板曲面多為圓柱面，機(jī)翼類(lèi)壁板曲面沿展向曲率較小，局部可近似為直線(xiàn)段，沿弦向曲率較大。在此基礎(chǔ)上對(duì)測(cè)量點(diǎn)分布進(jìn)行合理優(yōu)化，對(duì)小曲率方向疏化測(cè)量點(diǎn)和大曲率方向密化測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，并獲得較高的計(jì)算精度。

1．1 參數(shù)曲線(xiàn)的提取及采樣

以機(jī)翼壁板曲面的法矢求解為例，將壁板理論數(shù)模導(dǎo)入加工坐標(biāo)系，任取一鉆孔點(diǎn)P0作為待測(cè)點(diǎn)，如圖1所示。根據(jù)壁板曲面展、弦方向分布明顯的幾何特征，可從壁板曲面參數(shù)方程中獲取過(guò)P0點(diǎn)的兩條展、弦向參數(shù)曲線(xiàn)方程，設(shè)展向曲線(xiàn)方程為rp（w）、弦向?yàn)閞p（u）。然后將參數(shù)曲線(xiàn)rp（u）和rp（w）離散為等距有序點(diǎn)集，進(jìn)行均勻弧長(zhǎng)采樣［10］，即以P0為起點(diǎn)，按步長(zhǎng)（弦長(zhǎng)）h分別沿M，N，E和F四個(gè)方向擴(kuò)散采樣，并設(shè)定累加弦長(zhǎng)l≤L＝100mm作為采樣邊界，減少冗余計(jì)算。設(shè)點(diǎn)集為采樣后的有序點(diǎn)列，以 ｛Mi｝ni＝0為例，滿(mǎn)足：

1．2 有序點(diǎn)集的曲率求解

由式（1）解得采樣點(diǎn)數(shù)n，則曲線(xiàn)rp（u）上MnP0Nn段的平均曲率，當(dāng)i＝0時(shí)，M－1，N－1代表P0），同理解得曲線(xiàn)段EnP0Fn的平均曲率

1．3 等曲率積分法搜尋測(cè)量點(diǎn)

測(cè)量點(diǎn)間距的大小直接影響曲線(xiàn)插值的效果。如果測(cè)量點(diǎn)的間距過(guò)大，則插值點(diǎn)的稀疏將導(dǎo)致法矢求解的局部精度降低；如果間距過(guò)小，則插值點(diǎn)的密集又將導(dǎo)致插值曲線(xiàn)易受測(cè)量點(diǎn)實(shí)際測(cè)量值的偏差擾動(dòng)，降低計(jì)算穩(wěn)定性，同時(shí)也不利于測(cè)量傳感器的布置。因此，合理選取測(cè)量點(diǎn)間距是該算法的關(guān)鍵。為合理控制測(cè)量點(diǎn)間距，確保所搜尋測(cè)量點(diǎn)P1～P6自適應(yīng)參數(shù)曲線(xiàn)的曲率特征，引入曲率積分表達(dá)式，即

以參數(shù)曲線(xiàn)rp（u）為例，等曲率積分法的求解步驟如下：

步驟1 以P0為起始點(diǎn)，沿M和N 方向分別對(duì)點(diǎn)集上每點(diǎn)曲率按步長(zhǎng)h 累加求和，等價(jià)于對(duì)參數(shù)曲線(xiàn)rp（u）上曲線(xiàn)段MnP0Nn的曲率求積分。

步驟2 根據(jù)理論計(jì)算及實(shí)際經(jīng)驗(yàn)選取某一曲率積分單元ΔA，將曲線(xiàn)段MnP0Nn的曲率積分區(qū)以P0為起點(diǎn)、ΔA為區(qū)間面積單位向兩側(cè)等分，測(cè)量點(diǎn)取在分界點(diǎn)處。為使ΔA的選取適應(yīng)壁板不同區(qū)域曲面曲率的變化，此處賦初值ΔS＝0．1（無(wú)量綱），并引入?yún)^(qū)域影響因子ω控制ΔA，

可構(gòu)建如表1所示的分段插值表，利用插值法反解出影響因子ω。

表1 影響因子插值表

步驟3 求解有序點(diǎn)集中每塊積分單元ΔA區(qū)域內(nèi)包含的采樣點(diǎn)數(shù)，設(shè)每段ΔA對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)為In（n＝1，2，…，6），則

In可以通過(guò)編程迭代運(yùn)算解得。由式（3）可知，此處假設(shè)ku＞kw，則在曲線(xiàn)段MnP0Nn上提取除P0外的4個(gè)測(cè)量點(diǎn)P1～P4，在rp（w）的曲線(xiàn)段EnP0Fn上提取2個(gè)測(cè)量點(diǎn)P5和P6，且 滿(mǎn) 足，如圖2所示。由In可以確定6個(gè)測(cè)量點(diǎn)Pn的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位，即

設(shè)兩相鄰測(cè)量點(diǎn)間的弧長(zhǎng)（累加弦長(zhǎng)）為sn，

由式（7）和式（9）可知，在給定ΔA條件下，測(cè)量點(diǎn)間弧長(zhǎng)sn隨參數(shù)曲線(xiàn)局部曲率的增加而減小，使大曲率方向的測(cè)量點(diǎn)分布密化，保證了測(cè)量點(diǎn)的變間距分布。

1．4 三次B樣條的插值求解

有理B樣條具有表示與設(shè)計(jì)自由型曲線(xiàn)的強(qiáng)大功能，已成為關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品幾何定義國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)中唯一的形狀數(shù)學(xué)描述方法［12］。實(shí)踐中廣泛采用C2連續(xù)的三次B樣條曲線(xiàn)作為插值曲線(xiàn)。根據(jù)微分幾何知識(shí)［13］，曲面一點(diǎn)的單位法向量等于曲面一點(diǎn)沿兩個(gè)方向的切矢（P′（u），P′（w））的叉乘，即

實(shí)踐中應(yīng)用測(cè)量設(shè)備測(cè)量提取出點(diǎn)集｛Pn｝后得到其測(cè)量值｛P′n｝，由P′1，P′2，P′0，P′3和P′4共5點(diǎn)插值出一條三次B樣條曲線(xiàn)r′p（u），由P′5，P′0和P′6共3點(diǎn)插值出另一條三次B樣條曲線(xiàn)r′p（w）。求解三次B樣條曲線(xiàn)需給出曲線(xiàn)端點(diǎn)處的邊界條件，此處取首末點(diǎn)切矢r′0和r′1作為邊界條件。以r′p（u）為例，切矢r′0和r′1取自壁板理論數(shù)模上的參數(shù)曲線(xiàn)rp（u）在P′2和P′4處的切矢，如圖3所示。

2 實(shí)例分析驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文算法中優(yōu)化測(cè)量點(diǎn)位的分布對(duì)法矢求解精度的影響及對(duì)大曲度壁板法矢求解的適應(yīng)性，取某型飛機(jī)機(jī)翼前緣襟翼壁板曲面作為分析對(duì)象。在曲面數(shù)模上選取15個(gè)待測(cè)鉆孔點(diǎn)，其中點(diǎn)1～9位于較平緩區(qū)域，點(diǎn)10～15位于大曲率部位。采用本文算法搜尋出每個(gè)鉆孔點(diǎn)周?chē)耐負(fù)錅y(cè)量點(diǎn)位后，利用激光跟蹤儀在線(xiàn)測(cè)量壁板測(cè)量點(diǎn)（包括鉆孔點(diǎn)及周?chē)耐負(fù)錅y(cè)量點(diǎn)）的實(shí)際坐標(biāo)，插值B樣條后求解出法矢，并與實(shí)測(cè)法矢作對(duì)比求出角度偏差，結(jié)果如圖4所示。將計(jì)算值導(dǎo)入CATIA V5中以顯示解出法矢的空間位置，如圖5所示。為保證裝配連接質(zhì)量，航空制造企業(yè)一般要求壁板類(lèi)部件的鉚釘孔法向極限偏差不超過(guò)±0．5°［7］，因此將±0．5°作為檢驗(yàn)算法求解精度是否滿(mǎn)足要求的判斷依據(jù)。

為驗(yàn)證不同算法的實(shí)際法矢求解精度及效率，再取某型飛機(jī)機(jī)身及機(jī)翼兩種常見(jiàn)壁板作為分析對(duì)象，機(jī)身及機(jī)翼上不同區(qū)域各取10個(gè)待測(cè)鉆孔點(diǎn)，其中點(diǎn)1～10位于機(jī)身壁板，點(diǎn)11～20位于機(jī)翼壁板。測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)值同樣由激光跟蹤儀在線(xiàn)測(cè)量獲得，在配置Intel（R）Core（TM）2處理器2．93GHz、內(nèi)存2GB的PC機(jī)上運(yùn)用MATLAB，對(duì)不同算法編程進(jìn)行仿真，求解出與實(shí)測(cè)法矢的角度偏差并記錄各算法的運(yùn)算時(shí)間，計(jì)算結(jié)果如圖6和表2所示。

表2 各算法求解時(shí)間對(duì)比

由上述圖表可知：

（1）選取相同的測(cè)量點(diǎn)數(shù)時(shí)，采用本文算法優(yōu)化測(cè)量點(diǎn)分布后，在平緩區(qū)域角度偏差平均下降0．053°～0．121°，大曲度區(qū)域平均下降 0．112°～0．145°，以±0．5°為基準(zhǔn)精度提高10．6%～29．0%，可明顯提供法矢求解精度。

（2）使用不同算法求解法矢，三點(diǎn)平面法處理小曲率機(jī)身壁板精度基本滿(mǎn)足要求，但隨曲率的增大，求解機(jī)翼壁板的精度明顯降低。隨著測(cè)量點(diǎn)數(shù)的增加，五點(diǎn)、本文算法至九點(diǎn)B樣條法求解精度逐漸提高，平均角度偏差均小于±0．5°。對(duì)比五點(diǎn)B樣條法，本文算法計(jì)算大曲率曲面法矢精度降低的幅度小，且求解穩(wěn)定性較高、抗擾動(dòng)性強(qiáng)。九點(diǎn)B樣條及二次曲面逼近法求解精度較高，但對(duì)比本文算法增幅為3．5%～7．8%，精度提高不明顯。

（3）新算法的平均計(jì)算時(shí)間僅為0．828s。由于新算法需要對(duì)壁板理論數(shù)模上提取的參數(shù)曲線(xiàn)進(jìn)行采樣，采樣點(diǎn)密度的變化將影響求解時(shí)間，在保證求解精度的前提下，最大處理時(shí)間不超過(guò)0．887s，滿(mǎn)足實(shí)際使用要求。雖然二次曲面逼近法的求解精度最高，但計(jì)算量大、求解效率降低。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文以飛機(jī)壁板曲面為研究對(duì)象，提出一種基于測(cè)量點(diǎn)自適應(yīng)搜尋的法矢求解算法。與現(xiàn)有方法相比，該算法通過(guò)優(yōu)化測(cè)量點(diǎn)位的分布來(lái)提高求解精度，求解結(jié)果可用于引導(dǎo)自動(dòng)鉆鉚設(shè)備對(duì)壁板進(jìn)行制孔，并可用于分析估計(jì)壁板變形，作為檢測(cè)壁板外形的依據(jù)，對(duì)于保障飛機(jī)壁板加工質(zhì)量具有重要的意義。算法中測(cè)量點(diǎn)的變間距分布對(duì)現(xiàn)有測(cè)量設(shè)備提出了新的要求，該問(wèn)題仍需日后解決并進(jìn)行完善。

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