牛頓運(yùn)動定律在直線運(yùn)動中的應(yīng)用

高霞

一、勻變速直線運(yùn)動規(guī)律的應(yīng)用

例1 動車從[A]站以[a1=0.5]m/s2的加速度勻加速啟動，當(dāng)速度達(dá)到180 km/h時(shí)開始做勻速行駛，接近[B]站以大小為[a2=0.5] m/s2的加速度勻減速剎車，靜止時(shí)恰好正點(diǎn)到達(dá)[B]站. 某次，動車在[A]站因故晚出發(fā)了3 min，以[a1=0.5] m/s2勻加速啟動后，當(dāng)速度達(dá)到216 km/h開始勻速運(yùn)動，接近[B]站以大小為[a2=0.5] m/s2的加速度勻減速剎車，靜止時(shí)也恰好正點(diǎn)到達(dá)[B]站. 求[A、B]兩站間的距離.

解析 解答本題時(shí)注意：①兩次動車運(yùn)動的總位移關(guān)系；②兩次動車運(yùn)動的總時(shí)間關(guān)系；③將速度的單位轉(zhuǎn)化為國際單位制單位.

設(shè)動車勻速行駛時(shí)間為[t1]，勻加速行駛時(shí)間為[t1′]，由于加速時(shí)的加速度與減速時(shí)的加速度大小相等，故加速時(shí)間與減速時(shí)間相等，加速位移與減速位移也相等. 故有

[v1=at1′]

[sAB=2×12at1′2+v1t1]

第二次啟動的最大速度[v2]=216 km/h=60 m/s

設(shè)勻速行駛時(shí)間為[t2]，加速時(shí)間為[t2′]，則

[v2=at2′]

[sAB=2×12at2′2+v2t2]

因兩次均正點(diǎn)到達(dá)，則有

[2t1′+t1=2t2′+t2+180]

以上各式聯(lián)立解得

[sAB]=60 km.

點(diǎn)評 在勻變速直線運(yùn)動中，一般規(guī)定初速度的方向?yàn)檎较颍ǖ唤^對，也可規(guī)定為負(fù)方向），凡與正方向相同的矢量為正值，相反的矢量為負(fù)值，這樣就把公式中的矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)換成了代數(shù)運(yùn)算. 物體做勻減速直線運(yùn)動，減速為零后再反向運(yùn)動，如果整個(gè)過程加速度恒定，則可對整個(gè)過程直接應(yīng)用矢量式. 物體做加速運(yùn)動還是減速運(yùn)動只取決于速度與加速度方向間的關(guān)系，與加速度的增大或減小無關(guān).

二、動力學(xué)的兩類基本問題[圖1]

例2 為了研究魚所受水的阻力與其形狀的關(guān)系，小明同學(xué)用石蠟做成兩條質(zhì)量均為[m]、形狀不同的“[A]魚”和“[B]魚”，如圖1. 在高出水面[H]處分別靜止釋放“[A]魚”和“[B]魚”，“[A]魚”豎直下潛[hA]后速度減小為零，“[B]魚”豎直下潛[hB]后速度減小為零. “魚”在水中運(yùn)動時(shí)，除受重力外，還受到浮力和水的阻力. 已知“魚”在水中所受浮力是其重力的倍，重力加速度為[g]，“魚”運(yùn)動的位移值遠(yuǎn)大于“魚”的長度. 假設(shè)“魚”運(yùn)動時(shí)所受水的阻力恒定，空氣阻力不計(jì). 求：

（1）“[A]魚”入水瞬間的速度[vA1]；

（2）“[A]魚”在水中運(yùn)動時(shí)所受阻力[fA]；

（3）“[A]魚”和“[B]魚”在水中運(yùn)動時(shí)所受阻力之比[fA∶fB].

解析 兩“魚”入水前做什么規(guī)律的運(yùn)動？兩“魚”入水后豎直下潛過程中，受哪些力作用？做什么規(guī)律的直線運(yùn)動？

（1）“[A]魚”在入水前做自由落體運(yùn)動，有

[vA12-0=2gH] ①

得[vA1=2gH] ②

（2）“[A]魚”在水中運(yùn)動時(shí)受重力、浮力和阻力的作用，做勻減速運(yùn)動，設(shè)加速度為[aA]，有

[F合=F浮+fA-mg] ③

[F合=maA] ④

[0-vA12=-2aAhA] ⑤

由題意[F浮=910mg]

綜合上述各式，得

[fA=mg（hhA-19）] ⑥

（3）考慮到“[B]魚”的受力、運(yùn)動情況與“[A]魚”相似，有

[fB=mg（hhB-19）] ⑦

綜合⑥、⑦兩式，得

[fAfB=hB 9H-hAhA 9H-hB]

點(diǎn)評 常用方法：（1）整體法、隔離法. （2）正交分解法. 一般取加速度方向和垂直于加速度方向進(jìn)行分解，為減少分解的矢量的個(gè)數(shù)，有時(shí)也根據(jù)情況分解加速度. 應(yīng)用牛頓第二定律列式時(shí)，一般以加速度方向?yàn)檎较?，而?yīng)用運(yùn)動學(xué)公式列式時(shí)，一般以初速度方向?yàn)檎较?，在處理具體問題時(shí)加速度與初速度的方向不一定一致，因此要注意[v0]和[a]的符號.

三、牛頓運(yùn)動定律與圖象的綜合應(yīng)用

例3 如圖2甲，質(zhì)量為[M]的長木板，靜止放置在粗糙水平地面上，有一個(gè)質(zhì)量為[m]、可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊，以某一水平初速度從左端沖上木板. 從物塊沖上木板到物塊和木板達(dá)到共同速度的過程中，物塊和木板的[v-t]圖象分別是圖2乙中的折線[acd]和[bcd]，[a、b、c、d]點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[a（0，10）、b（0，0）、][c（4，4）、d（12，0）]. 根據(jù)[v-t]圖象，求：

[10

8

6

4

2][2 4 6 8 10 12]

甲 乙

圖2

（1）物塊沖上木板做勻減速直線運(yùn)動的加速度大小[a1]，木板開始做勻加速直線運(yùn)動的加速度大小[a2]，達(dá)到共同速度后一起做勻減速直線運(yùn)動的加速度大小[a3]；

（2）物塊質(zhì)量[m]與長木板質(zhì)量[M]之比；

（3）物塊相對長木板滑行的距離[Δs].

解析 解答本題時(shí)注意：①[v-t]圖象斜率大小表示物體運(yùn)動的加速度大??；②不同物體或不同時(shí)間階段受力情況分析；③物塊與木板同速后不再發(fā)生相對滑動.

（1）由[v-t]圖象可求出物塊沖上木板做勻減速直線運(yùn)動的加速度大小

[a1=10-44]m/s2=1.5m/s2

木板開始做勻加速直線運(yùn)動的加速度大小

[a2=4-04]m/s2=1m/s2

達(dá)到共同速度后一起做勻減速直線運(yùn)動的加速度大小

[a2=4-08]m/s2=0.5m/s2.

（2）對物塊沖上木板勻減速運(yùn)動階段，有

[μ1mg=ma1]

對木板向前勻加速階段，有

[μ1mg-μ2（m+M）g=Ma2]

物塊和木板達(dá)到共同速度后向前勻減速階段，有

[μ2（m+M）g=（M+m）a3]

以上三式聯(lián)立可得[mM=32].

（3）由[v-t]圖象可以看出，物塊相對于長木板滑行的距離[Δs]對應(yīng)圖中[△abc]的面積，故

[Δs=10×4×12m=20m].

點(diǎn)評 （1）首先弄清圖象縱、橫坐標(biāo)的含義（位移、速度、加速度等）. （2）利用圖象分析動力學(xué)問題時(shí)，關(guān)鍵要將題目中的物理情境與圖象結(jié)合起來分析，利用物理規(guī)律或公式求解或作出判斷. （3）弄清圖象中斜率、截距、交點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、面積等的物理意義，從而充分利用圖象提供的信息來解決問題.