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    利用幾何畫板分析平面幾何中的折疊問題

    2013-07-29 13:13:18李鳳娟
    新課程學習·中 2013年5期
    關鍵詞:幾何畫板

    李鳳娟

    摘 要:圖形折疊問題的解決在平面幾何研究中獨具一格,它深入淺出,涵蓋了圖形變換、數(shù)形結合等重要的思想與方法.就圖形折疊所具備的對稱性展開,對其所涉及的知識要點和研究方法進行了逐一剖析與探討.學生要經(jīng)歷由數(shù)到形的突變,往往會感到不適應,利用幾何畫板可以幫助學生有更直觀的感受,進而幫助解題.以2005年廣東高考最后一題為例,以兩種解法利用幾何畫板分析折痕在不同位置所形成的函數(shù)的分段討論,使學生的思路更為清晰,其中第二種方法以直線l在y軸上的截距b為參數(shù)進行討論,幾何意義更明確.此外還可以直接利用幾何畫板中的“度量”工具度量折痕的長度,使學生先對長度的最值有一個直觀的認識以后,再尋找嚴謹?shù)拇鷶?shù)解法,從而降低了試題的難度,更益于學生的理解和接受.

    關鍵詞:幾何畫板;折疊問題;平面幾何

    折疊問題是解析幾何中常見的問題之一,利用幾何畫板可以對折疊所形成的對稱關系進行分析與探索.

    類型一:已知點A與直線l,若以l為折痕,求折疊后A的位置A′,利用直線l與線段AA′的垂直平分關系可得如下作法:

    1.過點A作直線l的垂線,交l與點C.

    2.以C點為圓心,AC長為半徑作圓,

    交垂線于一點A′,則A′即為所要求的點A折后的位置.

    其中第二步也可由標記點C為中心,對點A進行旋轉完成.

    運動點A或直線l皆可觀察點A′的位置變化.

    類型二:已知點A關于直線l折疊后所對應的點為A′,此時確定折痕所在直線l的位置只需作線段AA′的垂直平分線即可。(圖略)

    下面以2005年廣東高考最后一題說明這個問題,題目如下:

    在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的長為2,寬為1,AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,A點與坐標原點重合(如圖5所示).將矩形折疊,使A點落在線段DC上.

    (Ⅰ)若折痕所在直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程;

    (Ⅱ)求折痕的長的最大值.

    利用幾何畫板可以幫助學生更好地理解此題的不同解法.

    解法一:設折疊后A點落在線段CD上的點為G(a,1),則該問題轉化為如何由點A、G尋找折痕l的位置。

    解題關鍵應為A、G關于l對稱,具體如下:

    第一步:構造線段DC上的G,并做線段AG的垂直平分線l,則l即為折痕所在的直線.

    第二步:做關于G點的動畫,觀察折痕的位置.

    易得到以下結論:

    (1)由圖1、圖2、圖3可知,折痕的長度會因l的位置不同而有三種不同的求法.

    (2)當l過點D、B為分界點(圖略).

    (3)當點G與D點重合時如圖4.

    (4)當點G與C點重合時,折痕為對角線BD(圖略).

    解法如下:

    解(I)(1)當k=0時,此時A點與D點重合,折痕所在的直線方程y= .

    (2)當k≠0時,將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G(a,1).

    所以,A與G關于折痕所在的直線對稱.

    有kOG·k=-1, k=-1?圯a=-k

    故G點坐標為G(-k,1)

    從而折痕所在的直線l與OG的交點坐標(線段OG的中點)為- ,

    折痕所在的直線方程y- =k(x+ ),即y=kx+ + .

    由(1)(2)得折痕所在的直線l方程為:y=kx+ + .

    解(II)若折痕所在的直線過點D(0,1)則k=-1;若折痕所在的直線過點B(2,0)則k=-2+ ;若點G與點D(0,1)重合,則k=0;若點G與C點重合,則k=-2.

    (1)當-2+ ≤k≤0時(如圖3),直線l交BC于N(2,2k+ + ).

    y=MN2=22+ -(2k+ + )2=4+4k2≤4+4(7-4 )=32-16 .

    (2)當-1≤k≤-2+ 時(如圖2),

    y=MN2=( )2+(- )2=

    y′=

    令y′=0,解得k=- ,此時y=MN2= .

    (3)當-2≤k≤-1時(如圖1),直線交DC于M( - ,1).

    y=MN2=12+ -(2k+ + )2=1+ ≤1+1=2.

    所以,折痕的長度的最大值為:MNmax= =2(

    - ).

    解法二:若設折痕所在直線l的方程為y=kx+b,則l與y軸的交點為P(0,b),該題解題關鍵轉化為利用AP=PG確定G點與折痕位置的問題.具體解法如下:

    第三步:運動點P,可以得到三類不同的折痕圖形,以l過點D、B為分界點(圖略).

    解題過程如下:

    I(1)由題知當b=0.5時,k=0,折痕所在的直線方程為y=0.5.

    (2)當0.5

    因為G為⊙P與DC的交點,易得G( ,1).

    由A與G關于折痕所在的直線對稱,

    有kOG·k=-1,得k=- .

    所以折痕所在的直線方程y=kx+b,即y=kx+ + .

    由(1)(2)得折痕所在的直線l方程為:

    y=kx+ + .

    II.k≠0時直線l在x軸上截距為- ,

    當直線l過點B時0=2k+b,解得b=4-2 .

    當直線l過點D時b=0.

    (1)0.5≤b≤4-2 時(如圖3(3)).

    直線l交BC于點N(2,2k+b);

    PN2=22+[b-(k+b)]2=8b≤8(4-2 );

    (2)4-2

    直線l交AB于點N(- ,0);

    y=PN2=b2+(- )2= ;

    y′= ,若y′=0則b= ;

    此時y=PN2= .

    (3)當1≤b≤2.5時(如圖3(2));

    直線l交AB于點N(- ,0);

    直線l交DC于點M( ,1);

    NM2=(- - )2+1=- +1≤2;

    所以折痕的長度的最大值為:

    PNmax= =2( - )

    這兩種解法利用幾何畫板分析折痕在不同位置所形成的函數(shù)的分段討論,使學生的思路更為清晰,其中第二種方法以直線l在y軸上的截距b為參數(shù)進行討論,幾何意義更明確.此外還可以直接利用幾何畫板中的“度量”工具度量折痕的長度,使學生先對長度的最值有一個直觀的認識后,再尋找嚴謹?shù)拇鷶?shù)解法,從而降低了試題的難度,更益于學生的理解和接受.

    我們還可以組織學生開展一次探討活動:利用前面所學知識,根據(jù)需要,選擇不同的圖形,結合不同的折疊方式,通過改變圖形在直角坐標系中的位置,進行編題解答、演算推導.通過集思廣益,發(fā)現(xiàn)問題并解決問題,從中體會自主學習的樂趣,提高自主學習的能力.

    總而言之,折疊問題的解決,必須基于對折疊方法、折疊圖形的特性的了解.我們在折疊時主要是按照“點重合”或“線重合”的要求來進行操作,通過變換重合的方式或折疊的角度來改變折疊的效果;折疊后最基本的特性是“全等”和“垂直”;折疊中最常添設的輔助線是“對稱點的連線”.

    另一方面,折疊的對象又不只局限于矩形、圓、正多邊形等簡單、規(guī)則的圖形;折疊的次數(shù)也不僅限于一次,可以是多次的.它在變化中存在許多不定因素,但在解答時常伴隨有三角形、四邊形及全等形、相似形等基礎知識.它需要我們靈活運用數(shù)形結合、方程、化歸等數(shù)學思想方法……所有這些,我們在研究過程中都應予以充分考慮.圖形的折疊問題將為我們留下無限的遐想、發(fā)展空間.

    參考文獻:

    湯瑩琪.運用《幾何畫板》研究三角形的重心.數(shù)學教學.華東師范大學,2004(7).

    (作者單位 浙江省溫州中學)

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