肖千里
摘 要:利用均值不等式可以求解函數(shù)最值問題。有些題目可以觀察出能直接運(yùn)用公式求解,但是有些題目必須通過必要的變形才能利用均值不等式求解。此外,還得要注意均值不等式的重要條件:一正二定三等。
關(guān)鍵詞:均值不等式;最值;變形
利用均值不等式 ≥ (a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)求最值問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。它不僅要考查學(xué)生的邏輯思維能力,還要考查學(xué)生的運(yùn)算能力,加之它運(yùn)用的廣泛性,如在解析幾何中求有關(guān)的最值問題就可以將其轉(zhuǎn)化為“用均值不等式求最值問題”。如:題“經(jīng)過點(diǎn)P(1,4)的直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值,且截距之和最小,則直線l的方程為
________”本題就是利用直線方程形式,把本問題轉(zhuǎn)化為“若 + =1(a>0,b>0),則a、b取何值時(shí)a+b有最小值?”來解決即可。由此可見,“利用均值不等式求最值”也將成為高考運(yùn)用的熱點(diǎn)。
“利用均值不等式求最值問題”主要的解答途徑是:
一、觀察所求函數(shù)式是否具有“和、積”的形式;
二、進(jìn)一步確定是否具備均值不等式的條件“正、定、等”;
三、通過對所求函數(shù)式進(jìn)行變形構(gòu)造均值不等式的結(jié)構(gòu)形式(“和或積”的形式),再利用其條件進(jìn)行判斷求值。
當(dāng)然第一個(gè)條件尤其重要,我今天在這里要說明的不是第一步,直接能運(yùn)用均值不等式求解的問題,而是我們不能直接運(yùn)用均值不等式時(shí),可以通過將解析式變形后且滿足均值不等式的條件時(shí)的問題。下面我就談?wù)劇袄镁挡坏仁角笞钪怠睍r(shí)常用的一些變形方法。
一、配湊
(一)湊系數(shù)
例1.若0 解析:由0 y=x(6-3x)= [3x·(6-3x)]≤ 2=3 所以,當(dāng)且僅當(dāng)3x=6-3x,即x=1時(shí)取等號(hào)。y=x(6-3x)的最大值為3。 點(diǎn)評:當(dāng)然,本題從解析式可知它是二次函數(shù),也可以用二次函數(shù)求最值來解決,其條件也是非常重要的。 例2.若正數(shù)x,y滿足2x+y=8,求xy的最大值。 解析:由x>0,y>0,利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,已知2x+y=8即和為定值,但不直接是變量x和y的形式,故只需將目標(biāo)式xy湊上一個(gè)系數(shù)后變形即可。 即,xy= ·2x·y≤ 2= ·16=8 點(diǎn)評:本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可以利用均值不等式求最大值。 (二)湊項(xiàng) 例3.已知x< ,求函數(shù)f(x)=2x-1+ 的最大值。 解析:由題意知2x-5<0,首先要調(diào)整符號(hào),又(2x-1)· 不是定值,故對2x-1進(jìn)行湊項(xiàng)才能得到定值。 ∵x< ,5-2x>0 ∴f(x)=2x-1+ =-(5-2x+ )+6≤-2 +6=-2+6=4 當(dāng)且僅當(dāng)5-2x= ,即x=2時(shí)等號(hào)成立。 點(diǎn)評:本題既要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值。分式求最值,通?;蓎=Ag(x)+ +C,(A>0,B>0),g(x)恒正或恒負(fù)的形式,然后運(yùn)用均值不等式來求最值。 例4.當(dāng)x>3時(shí),求 的最小值。 解析:本題看似無法運(yùn)用均值不等式,其實(shí)只需將分子配方湊出含有(x-3)的項(xiàng),再將含(x-3)的項(xiàng)分離。 = =2(x-3)+ +12≥2 +12=24 ∴當(dāng)2(x-3)= 時(shí),即x=6時(shí),有最小值24。 例4推廣:當(dāng)x>3時(shí),求f(x)= 的最大值。 解析:本題和上例一樣,只是直接不好變形,可設(shè)g(x)= ,由上例可知:當(dāng)x=6時(shí),g(x)有最小值24,而f(x)= 在定義上是減函數(shù)。所以,當(dāng)x=6時(shí),f(x)有最大值 。 點(diǎn)評:本題是典型的分式求最值(或求值域)的問題,且這種分式結(jié)構(gòu)均能用多項(xiàng)式的除法,分離其整式部分后,再如例3配湊項(xiàng)化成y=Ag(x)+ +C(A>0,B>0),g(x)恒正或恒負(fù)的形式,然后運(yùn)用均值不等式來求最值。當(dāng)不能分離整式項(xiàng)時(shí)(這時(shí)分子的最高項(xiàng)次數(shù)小于分母最高項(xiàng)次數(shù)),可先求其倒數(shù)的最值,再求所求式子的最值。 二、整體代換 例5.已知x>0,y>0,2x+y=1求 + 的最小值。 解析:不妨將 + 乘以1,而1用2x+y代換。 ( + )·1=( + )·(2x+y)=2+ + +1=3+ + ≥3+2 =3+2 當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)取等號(hào),由 = 2x+y=1得y= -1 x=1- ∴當(dāng)y= -1 x=1- 時(shí), + 的最小值為3+2 。 點(diǎn)評:本題巧妙運(yùn)用“1”的代換,得到 + =3+ + ,而 與 的積為定值,即可用均值不等式求得 + 的最小值。 當(dāng)然,“代換”也是“換元法”之說,在求函數(shù)的最值、值域等相關(guān)問題時(shí)常用到,特別是在一些與解析幾何相關(guān)的問題當(dāng)中用得到,與這里的“整體代換”是將特別的“1”用“式”進(jìn)行代換,它們有異曲同工之用處。 三、消元 例6.已知x>0,y>0,2x+y=1求 + 的最小值。 解析:由2x+y=1得y=1-2x ∴ + = 又∵ = =2(x-1)+ +3 由2x+y=1可知x<1 ∴ =2(x-1)+ +3≤-2 +3=3-2 ∴ + = ≥ =3+2 點(diǎn)評:此類問題可由已知條件消元代入拼湊成y=ax+ (a>0,b>0)求最值。當(dāng)然,這類變形相對來說比較復(fù)雜,但它的實(shí)用性是比較強(qiáng)的。比較此題和例5,方法上看,例5要簡單,例6要復(fù)雜,但對于大多數(shù)學(xué)生來說有一定的難度。如:把本題條件“x>0,y>0,2x+y=1,”變?yōu)椤皒>0,y>0,2x+y=2”就難以想到用“1”進(jìn)行“整體代換”了,那這時(shí)采用“消元法”相對來說是可以行得通的。當(dāng)然,若真融會(huì)貫通當(dāng)然是可以解決的,只需把“x>0,y>0,2x+y=2”轉(zhuǎn)化為“x>0,y>0,x+ =1”來解決問題。 再如以上的例2,“若正數(shù)x,y滿足2x+y=8,求xy的最大值”也可用此“消元法”來解。 解析:由2x+y=8得y=8-2x xy=x(8-2x)=-2(x-2)2+8 因?yàn)閤>0,所以xy在x=2時(shí)有最大值8。 總之,我們利用均值不等式求最值時(shí),大家都注意到它滿足的三點(diǎn):(1)“正”即兩項(xiàng)必須都是正數(shù);(2)“定”即求兩項(xiàng)和的最小值,它們的積應(yīng)為定值;求兩項(xiàng)積的最大值,它們的和應(yīng)為定值;(3)“等”即用均值不等式求最值時(shí),一定要使和(或積)的各項(xiàng)相等且等號(hào)成立的條件必須存在。但是我們的問題并不是能直接運(yùn)用得上“均值不等式”,它都需要我們進(jìn)行分析后才能考慮在什么情況下能用,所以我們在解決此類問題時(shí)還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。因此,我們要想掌握好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,只要多加觀察、靈活變通,我們就能做到“事半功倍”。 (作者單位 甘肅省甘南州合作藏族中學(xué))