旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用

尹祥

摘 要：在關(guān)于圖形旋轉(zhuǎn)的教學(xué)中，找準(zhǔn)對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)邊及對應(yīng)角，可使很多難題迎刃而解。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)；對應(yīng)；本質(zhì)

一、緊扣對應(yīng)元素，確定旋轉(zhuǎn)角

圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角為旋轉(zhuǎn)角，并且對應(yīng)線段相等。因此，在觀察旋轉(zhuǎn)變換圖形時(shí)，關(guān)鍵是要找出對應(yīng)元素（對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)邊及對應(yīng)角），確定旋轉(zhuǎn)角，這樣，我們就掌握了圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，從而可以利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出某些線段的長度及角的度數(shù).

例1：如圖，將正方形ABCD中的△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與△CBP′重合.若BP=4，求PP′的長.

分析：圖中的BP與BP′是對應(yīng)邊，旋轉(zhuǎn)角有

∠ABC與∠PBP′，由此可知△PBP′是等腰直角三角形，從而可根據(jù)勾股定理求出PP′的長.

解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.

∵△CBP′是由△ABP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到的，

∴PB=P′B，∠PBP′=∠ABC=90°.

∴PP′===4.

例2：如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，

∠AOB=100°，∠BOC=140°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，求∠AOD的度數(shù).

分析：圖中的CO與CD是對應(yīng)邊，旋轉(zhuǎn)角有∠ACB與∠OCD，由此可知△COD是等邊三角形，從而可知∠COD為60°，然后可求出∠AOD的度數(shù).

解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°.

∵△ADC是由△BOC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到的，

∴CO=CD，∠OCD=∠ACB=60°，

∴△COD是等邊三角形，∴∠COD=60°.

∵∠AOB=100°，∠BOC=140°，

∴∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=120°，

∴∠AOD=∠AOC-∠COD=60°.

二、利用旋轉(zhuǎn)求面積

例1：如圖，圖案由三個(gè)葉片組成，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°后可以與自身重合.若每個(gè)葉片的面積為4 cm2，∠AOB=120°，求圖中陰影部分的面積.

分析：圖中兩個(gè)分散的陰影是無法直接求面積的，只需將其中一個(gè)陰影部分繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，兩個(gè)陰影即可拼成一個(gè)完整的葉片，故其面積為4 cm2.

例2：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，將腰DC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至DM，連接AM，則△ADM的面積是（ ）

分析：如圖，過D作BC的垂線，垂足為E，延長AD至F，使DF=DE.

∵DF=DE，∠EDF=90°，DC=DM，∠CDM=90°，

∴△DFM可視為△DEC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

∴MF=CE=BC-AD=2，∠DFM=∠DEC=90°.

∴S△ADM=AD·FM=3×2=3.

三、巧借旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形

例：如圖，點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度數(shù).

分析：PA，PB，PC不在同一個(gè)三角形內(nèi)，且與∠APB無直接關(guān)系，因此，我們應(yīng)設(shè)法將這三條線段置于同一個(gè)三角形內(nèi)，從而找到它們與∠APB的關(guān)系.

解：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△CBQ，連接PQ.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

PA=QC，BP=BQ，∠BQC=∠APB，∠PBQ=60°.

∴△PBQ是等邊三角形，∴PQ=PB，∠PQB=60°.

在△PQC中，PQ=4，CQ=3，PC=5，因而有

PC2=PQ2+CQ2，∴∠PQC=90°，

∴∠BQC=150°=∠APB.

（作者單位 內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第四中學(xué)）