幾何畫(huà)板：“折線上的動(dòng)點(diǎn)”制作方法

☉江蘇省海安縣胡集初級(jí)中學(xué) 夏宏運(yùn)

動(dòng)態(tài)探究性試題是近幾年中考的熱點(diǎn)題型，這類(lèi)試題往往以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為載體，對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高.在這類(lèi)試題的教學(xué)中，完全依賴于教師抽象的描述和學(xué)生的想象往往難以達(dá)到理想的教學(xué)效果.如果教學(xué)中能夠利用幾何畫(huà)板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示的話，可以將抽象問(wèn)題變得直觀而形象，在降低問(wèn)題的抽象度的同時(shí)，有利于學(xué)生分解運(yùn)動(dòng)過(guò)程，在直觀與抽象的反復(fù)對(duì)比中提高空間想象能力.

在教研活動(dòng)中，筆者發(fā)現(xiàn)很多老師在制作“折線上的動(dòng)點(diǎn)”時(shí)存在困難.筆者在此以一道中考題的具體情境為例，談一談此類(lèi)課件的制作方法，希望能對(duì)大家有所幫助.

例題 （2010年湖北咸寧）如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6.動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q.點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

圖1

（1）當(dāng)t=0.5時(shí)，求線段QM的長(zhǎng).

（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值.

（3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R，請(qǐng)?zhí)骄緾Q RQ是否為定值.若是，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

一、制作分析

本題是一個(gè)典型的動(dòng)態(tài)探究性試題.題中M點(diǎn)與P點(diǎn)同時(shí)同速運(yùn)動(dòng)，教學(xué)中教師往往希望演示課件能實(shí)現(xiàn)M點(diǎn)任意位置的情景呈現(xiàn).這時(shí)，可以將M點(diǎn)作為一個(gè)可拖動(dòng)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)然，在拖動(dòng)M點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)的位置也應(yīng)當(dāng)具有相應(yīng)的變化.也就是說(shuō)，我們就可以將M點(diǎn)當(dāng)作“主動(dòng)點(diǎn)”，P點(diǎn)作為它的“從動(dòng)點(diǎn)”在折線C—D—A上運(yùn)動(dòng).一旦兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)置完成，本題的其他點(diǎn)與線的構(gòu)造就不存在難度了.因此，筆者在此重點(diǎn)介紹M點(diǎn)及其從動(dòng)點(diǎn)P的制作過(guò)程.

二、具體制作

先按題中數(shù)據(jù)與數(shù)量關(guān)系制作直角梯形.因?yàn)樘菪蔚母黜旤c(diǎn)固定不變，因此制作直角梯形時(shí)，僅以A作為原始對(duì)象（父對(duì)象），其余各頂點(diǎn)通過(guò)平移來(lái)獲得（即為A點(diǎn)的子對(duì)象）.

步驟1：選擇“點(diǎn)工具”，在平面內(nèi)任意構(gòu)造一點(diǎn)A，選中，用“變換”菜單下的“平移”工具將A點(diǎn)向上平移4cm得到D點(diǎn)；向右“平移”6cm得到B點(diǎn)；選中D點(diǎn)，向右“平移”2cm得到C點(diǎn).

步驟2：依次選中上述四個(gè)點(diǎn)，用“構(gòu)造”菜單下的“線段”工具構(gòu)造線段AD、AB、BC、CD，這時(shí)，直角梯形完成.

步驟3：選中線段AB，用“構(gòu)造”菜單下的“線段上的點(diǎn)”的工具構(gòu)造線段AB上的一個(gè)點(diǎn)M.這樣，鼠標(biāo)選中并按住點(diǎn)M是可以在線段AB上實(shí)現(xiàn)隨意拖動(dòng)的.“主動(dòng)點(diǎn)”設(shè)置完成.

步驟 4：選中M點(diǎn)與A點(diǎn)，“構(gòu)造”線段AM，選中線段AM，用“度量”菜單下的“長(zhǎng)度”度量工具，度量線段AM的長(zhǎng)度備用，如圖2.

圖2

說(shuō)明：構(gòu)造并度量線段AM的長(zhǎng)度是為“從動(dòng)點(diǎn)”P(pán)的運(yùn)動(dòng)提供運(yùn)動(dòng)參數(shù).

接下來(lái)，就是在折線C-D-A上設(shè)置“從動(dòng)點(diǎn)”P(pán)了.由題意可知，P點(diǎn)在折線上離開(kāi)C點(diǎn)的速度與M點(diǎn)的速度相同，而題中的折線C-D-A的長(zhǎng)度等于線段AB的長(zhǎng)，這說(shuō)明，當(dāng)M點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)應(yīng)當(dāng)恰好沿折線到達(dá)A點(diǎn).

步驟5：選擇“多邊形工具”，依次點(diǎn)取C、D、A點(diǎn)和梯形內(nèi)任意一點(diǎn)T，收于C點(diǎn).這樣，就構(gòu)造了四邊形CDAT（如圖3）.

說(shuō)明：在幾何畫(huà)板中，直角梯形中的折線C-D-A是兩條線段，無(wú)法實(shí)現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)在折線上連續(xù)運(yùn)動(dòng).然而，用“多邊形工具”制作的四邊形CDAT可以通過(guò)“構(gòu)造”“邊界上的點(diǎn)”的方法構(gòu)造一個(gè)可以在邊界上連續(xù)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn).也就是說(shuō)，我們最終是將折線轉(zhuǎn)化為多邊形的“邊界”.

圖3

圖4

步驟7：在四邊形CDAT內(nèi)部任意位置點(diǎn)擊鼠標(biāo)以選中四邊形，然后選擇“繪圖”菜單下的“在四邊形上繪制點(diǎn)”工具，在其中點(diǎn)參數(shù)欄中選擇第6步中計(jì)算的值（如圖5）.

圖5

圖6

這時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)在四邊形的邊界上出現(xiàn)了一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的位置會(huì)隨著M點(diǎn)的位置變化而變化，它就是我們所需要的P點(diǎn)（如圖6）.

說(shuō)明：在第6步中，我們計(jì)算0.5×AM/6cm，其中AM/6cm是線段AM長(zhǎng)度與線段AB長(zhǎng)度的比值.第7步中，“在四邊形上繪制點(diǎn)”工具，是在選中的四邊形的邊界上，按給定的“點(diǎn)值”繪點(diǎn).需要進(jìn)一步說(shuō)明的是，在幾何畫(huà)板中，四邊形上的“點(diǎn)值”是將四邊形整個(gè)周長(zhǎng)作為單位1，然后從起始點(diǎn)開(kāi)始按四邊形構(gòu)造順序計(jì)量而得.比如，圖5中我們的“點(diǎn)值”為0.25，那么，繪制的點(diǎn)就會(huì)在四邊形CDAT周長(zhǎng)上的四分之一處（按C-D-A-T的順序）.顯然，隨著M點(diǎn)位置的移動(dòng)，“點(diǎn)值”會(huì)變化，那么生成的P點(diǎn)在四邊形邊界上的位置必定也會(huì)隨之變化.由題意知，我們不需要這個(gè)P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)繞四邊形CDAT一周回到C點(diǎn)，我們只需它在M點(diǎn)的控制下從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)即可，所以，我們?cè)贏M/6cm這個(gè)比值的基礎(chǔ)上乘以0.5.這樣，當(dāng)M點(diǎn)被我們拖動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，這個(gè)P點(diǎn)也只能到達(dá)四邊形周長(zhǎng)的一半處（不一定是A點(diǎn)處）.

步驟8：選中D點(diǎn)和T點(diǎn)，選擇“編輯”菜單下的“合并點(diǎn)”工具，這時(shí)，圖6中的D點(diǎn)與T點(diǎn)合并到了一起，到此，動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)全部構(gòu)造完成.

說(shuō)明：第8步合并D和T，實(shí)質(zhì)上是讓四邊形變成了兩條重合的折線.這樣，不管之前構(gòu)造四邊形是什么形狀（A點(diǎn)的“點(diǎn)值”可能不是0.5），但是D、T兩點(diǎn)合并之后A點(diǎn)的位置一定是周長(zhǎng)的一半（即“點(diǎn)值”為0.5）；除此以外，第8步帶來(lái)的另一個(gè)好處是，原先的那個(gè)四邊形不可見(jiàn)了（其實(shí)還是存在的）.

這時(shí)，我們拖動(dòng)AB上的M點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)，在折線CD-A上有一個(gè)P點(diǎn)跟隨它運(yùn)動(dòng).并且，當(dāng)M點(diǎn)處于A點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)位于C點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)被拖動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)也沿折線運(yùn)動(dòng)到了A點(diǎn).（圖7）

圖7

本例中接下來(lái)的構(gòu)圖工作相對(duì)簡(jiǎn)單，讀者可自行完成，在此不再贅述.