勤提煉 活運(yùn)用 促提高——“雙A”字基本圖形在解題中的應(yīng)用

☉湖北省陽(yáng)新縣白沙中學(xué) 羅 峻

☉湖北省陽(yáng)新縣白沙中心校 馬先明

相似是初中幾何的核心模塊，是中考中的重要考點(diǎn)，也是考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題及綜合能力的重要載體．相似往往與三角形、四邊形、圓等幾何圖形結(jié)合，使問(wèn)題的難度加大．要突破這一難點(diǎn)，不僅要牢固掌握三角形相似的基本判定、性質(zhì)和相關(guān)定理，還需要借助豐富的圖形識(shí)別經(jīng)驗(yàn)．為此在平時(shí)教學(xué)中，我們要適當(dāng)提煉一些基本圖形，并有意識(shí)地進(jìn)行基本圖形專(zhuān)題方面的訓(xùn)練，進(jìn)行幾何基本圖形的識(shí)別和運(yùn)用．下面結(jié)合近年的中考、競(jìng)賽試題，提煉出相似問(wèn)題中常見(jiàn)的“雙A”字圖形，讓我們體會(huì)基本圖形在解題中化隱為顯、化難為易的作用．

一、“雙A”字圖形及其基本結(jié)論

圖1

從上面基本圖形（圖1）的結(jié)構(gòu)看，像兩個(gè)并排著的背靠背的英文字母“A”，我們暫且稱(chēng)之為“雙A”字圖形.若熟悉上面基本圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在平時(shí)學(xué)習(xí)中，對(duì)于幾何圖形比較復(fù)雜的試題，便能較快地分離出隱藏于其中的基本圖形，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，從而快速解決問(wèn)題.

二、直接運(yùn)用基本圖形解題

圖2

解析：所證的四條線(xiàn)段都在同一條直線(xiàn)上，無(wú)法直接運(yùn)用相似的性質(zhì)證明，可嘗試尋求過(guò)渡比實(shí)現(xiàn)解題．找出這四條線(xiàn)段所在的三角形，很快發(fā)現(xiàn)DM、ME與所證結(jié)論有關(guān)聯(lián)，且這六條線(xiàn)段存在于兩個(gè)“雙A”字圖形中，其中一個(gè)“雙A”字圖形是倒放著的．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)所證結(jié)論并結(jié)合題設(shè)圖形的鮮明特征，找出其中隱藏著的“雙A”字圖形，運(yùn)用該圖形的結(jié)論，得出比例式，利用過(guò)渡比便可快速證題.

例2（濟(jì)寧中考題）在一次數(shù)學(xué)課上，一位同學(xué)提出：“誰(shuí)能幫我用一副沒(méi)有刻度的三角板找出線(xiàn)段AB的中點(diǎn)？”小華說(shuō)：“我能做到，我的做法是，用這副三角板任作一條直線(xiàn)MN∥AB；在直線(xiàn)AB、MN的同側(cè)任取一點(diǎn)P，連接PA、PB，分別交直線(xiàn)MN于C、D；再連接AD、BC，相交于點(diǎn)E；畫(huà)射線(xiàn)PE交線(xiàn)段AB于點(diǎn)O，點(diǎn)O就是線(xiàn)段AB的中點(diǎn).”你認(rèn)為O是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)嗎？說(shuō)明理由.

解析：先按照題意畫(huà)出如圖3所示的圖形.

因?yàn)镃D∥AB，結(jié)合“雙A”字圖形和結(jié)論（1），知：

圖3

點(diǎn)評(píng)：由兩條直線(xiàn)平行的條件可看出題設(shè)圖形中隱藏著的“雙A”字圖形，同時(shí)還隱藏著“8”字型的對(duì)頂三角形，這樣得出相關(guān)的比例線(xiàn)段，用過(guò)渡比實(shí)現(xiàn)證題．

例3 （武漢中考題）在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG、AF，分別交DE于M、N兩點(diǎn).

（1）如圖4，若AB=AC=1，直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)；

圖4

（2）如圖5，求證：MN2=DM·EN.

圖5

又GF=DG=EF，即GF2=CF·BG.①

由DE∥BC，利用“雙A字”圖形及結(jié)論（1），知：

結(jié)合①和②，得MN2=DM·EN.

點(diǎn)評(píng)：本題是相似與三角形、四邊形相結(jié)合的綜合題，要運(yùn)用相似的性質(zhì)進(jìn)行解題，而解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用基本圖形快速得出相關(guān)線(xiàn)段成比例.其中，第一問(wèn)是“雙A”字基本圖形的直接應(yīng)用；第二問(wèn)除了“雙A”字圖形外，還蘊(yùn)含有“兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似”的基本圖形，由相似的性質(zhì)得出比例式，兩者有機(jī)結(jié)合，使問(wèn)題易于解決.

從幾何圖形中直接分離出基本圖形，運(yùn)用圖形的性質(zhì)相對(duì)容易，而如何從幾何圖形中構(gòu)造出基本圖形進(jìn)行運(yùn)用，是解題的難點(diǎn)所在.為此必須仔細(xì)觀察題目給予的圖形并研究圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合已知條件或所求、所證內(nèi)容，產(chǎn)生豐富聯(lián)想，構(gòu)造出能解決問(wèn)題的基本圖形.

三、構(gòu)造基本圖形解題

圖6

圖7

解析：（1）圖6中，由AB為直徑，AP為切線(xiàn)，易知AF⊥AB.又CD⊥AB，則CD∥AF.

在“8字”型的對(duì)頂三角形中，△ECF≌△EOB（SAS），因此∠FCE=∠EOB=90°，則直線(xiàn)CF是半圓O的切線(xiàn).

（2）連接BC并延長(zhǎng)交AP于點(diǎn)G，連接AC、CO（如圖7）.

由第一問(wèn)的CD∥AF，CE=DE，利用“雙A”字圖形的結(jié)論（3），知FG=FA.

在Rt△ACG中，F(xiàn)C為斜邊AG的中線(xiàn)，因此FC=FA，則∠FCA=∠FAC.

又∠OCA=∠OAC，則∠FCO=∠FCA+∠OCA=∠FAC+∠OAC=∠FAO=90°，故FC是半圓O的切線(xiàn).

點(diǎn)評(píng)：本題是一道探索性問(wèn)題，第一問(wèn)通過(guò)問(wèn)題的特殊情形探究圖形的本質(zhì)屬性，第二問(wèn)從特殊化向一般情形拓廣，進(jìn)一步探索結(jié)論的“不變性”．雖然能猜測(cè)結(jié)論不變，但求證它較難．此處由“CD∥AF”和“E為CD的中點(diǎn)”這兩個(gè)條件，聯(lián)想到構(gòu)造出“雙A”字圖形，運(yùn)用基本圖形的結(jié)論得出點(diǎn)F為AG的中點(diǎn)，再運(yùn)用圓、直角三角形、等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行綜合運(yùn)用．

例5 如圖8，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，P是AD的中點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于E，EF⊥BC于F.求證：EF2=AE·EC．

解析：由已知條件AD⊥BC、EF⊥BC，知AD∥EF，延長(zhǎng)FE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，就可以構(gòu)造出“雙A”字圖形．

由AD∥EF和AP=DP，利用結(jié)論（3），知EG=EF.

圖8

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件“P是AD的中點(diǎn)”和AD∥EF，將圖形補(bǔ)全，便構(gòu)造出“雙A”字圖形，再運(yùn)用其性質(zhì)可快速解題．可見(jiàn)，熟悉基本圖形的特征，是正確作出輔助線(xiàn)的前提．

例6（2003年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）如圖9，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線(xiàn)，OC平行于弦AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，連接AC，與DE交于點(diǎn)P，問(wèn)：EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論．

解析：由已知條件“AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線(xiàn)”，易知：BC⊥AB.又DE⊥AB，所以DE∥BC．根據(jù)已有結(jié)果DE∥BC，以及圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，還有猜想的結(jié)論EP=PD，易聯(lián)想到“雙A”字基本圖形，由此延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F．

圖9

說(shuō)明：本題是一道結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題，需用到兩個(gè)基本圖形：“雙A”字基本圖形和“單A”字基本圖形進(jìn)行解題，難點(diǎn)在于作出合適的輔助線(xiàn)，這需要根據(jù)已知條件和所證結(jié)論逆向思考，產(chǎn)生聯(lián)想，讓看似并不存在的基本圖形顯露出來(lái)，產(chǎn)生作用．

四、綜合運(yùn)用基本圖形解題

例7 如圖10，在△ABC中，BD=DC，O是AD上一點(diǎn)，BO、CO的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AC、AB于F、E.求證：AD平分EF．

圖10

簡(jiǎn)解：設(shè)AD與EF交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)，與CE、BF的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于M、N．

點(diǎn)評(píng)：由已知條件和所證結(jié)論，猜測(cè)可能要用到本文中的基本圖形，但缺少平行線(xiàn)這個(gè)條件，故突破問(wèn)題的關(guān)鍵在于證EF∥BC，為此過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)，再運(yùn)用相似的性質(zhì)綜合解題．本題難度大，原因有三：一是構(gòu)造“8”字型基本圖形；二是利用“雙A”字基本圖形的性質(zhì)解題；三是圖10中出現(xiàn)多個(gè)基本圖形的疊加和隱藏.

在“雙A”字基本圖形中，由EF∥BC，BD=CD，運(yùn)用結(jié)論（3），得EG=FG，即AD平分EF．

圖11

簡(jiǎn)證：過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)，交PA、PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F、G．

PA為⊙O的切線(xiàn)，由弦切角定理，知∠FAC＝∠ABC.

由AB∥CG，得∠BCG＝∠ABC.

因此∠FAC＝∠BCG.①

由切線(xiàn)長(zhǎng)定理，知PA＝PB.又AB∥FG，則△PFG為等腰三角形，所以∠F＝∠G.②

點(diǎn)評(píng)：此題是一道頗有難度的競(jìng)賽題，原解法運(yùn)用相似三角形得出多個(gè)比例式，再將它們乘除運(yùn)算，曲折迂回，不易思考．這里結(jié)合題設(shè)的圖形，構(gòu)造出“雙A”字基本圖形，并利用結(jié)論（1）、相似三角形的性質(zhì)和面積比進(jìn)行證明，直觀明了，簡(jiǎn)捷易懂．

例9（全國(guó)初中聯(lián)賽）如圖12，設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作AD的平行線(xiàn)分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)O，P是以O(shè)為圓心、OM為半徑的圓上一點(diǎn).求證：∠OPF=∠OEP.

圖12

圖13

證明：如圖13，延長(zhǎng)BC、AD交于點(diǎn)H.

又∠FOP=∠POE，利用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似”，得△OFP∽△OPE，因此對(duì)應(yīng)角∠OPF=∠OEP．

五、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)與形的科學(xué)，形是數(shù)學(xué)的重要表現(xiàn)形式，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)對(duì)幾何圖形的研究．《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面的學(xué)習(xí)要求是“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”．可見(jiàn)從復(fù)雜圖形中“離析”出基本圖形，是解決圖形問(wèn)題必須具備的重要能力之一，也是解決幾何問(wèn)題的重要方法．同時(shí)數(shù)學(xué)也是關(guān)于模式的科學(xué)，這反映在數(shù)學(xué)解題時(shí)，需要進(jìn)行模式識(shí)別，需要構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)的模型．當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)陌生的、看似復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)，往往都可以將它轉(zhuǎn)化為已解決過(guò)的、較熟悉的、簡(jiǎn)單的幾何圖形，這里用到的基本圖形就是解決問(wèn)題的一個(gè)模式．用基本圖形來(lái)分析、解決問(wèn)題，是解題的常用方法、通用方法，可以發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的長(zhǎng)期效益．因此，必須重視基本圖形在解題中的作用．

總體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)中的基本圖形分為兩種：一種是教材中的定義、定理和性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的圖形——單一型基本圖形，這些圖形一般都有與概念或定理的條件及結(jié)論的外形相呼應(yīng)的結(jié)構(gòu)特征，像直線(xiàn)、平行線(xiàn)、相交線(xiàn)、三角形、四邊形、點(diǎn)與圓、圓的切線(xiàn)、弦切角等都屬于單一型基本圖形；另一種基本圖形是例題和習(xí)題所對(duì)應(yīng)的圖形——復(fù)合型基本圖形，它是單一型基本圖形內(nèi)容的擴(kuò)展與延伸，它常常把一些重要的、常用圖形加入到單一型基本圖形成為復(fù)合型基本圖形的一部分，一般而言復(fù)合型基本圖形都由兩個(gè)或兩個(gè)以上的單一型基本圖形組合而成，所蘊(yùn)含的結(jié)論更豐富、實(shí)用性也比較強(qiáng)．比如：角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)組合成為等腰三角形，一線(xiàn)三垂直（即在同一直線(xiàn)上，有三個(gè)直角）圖形可產(chǎn)生三角形全等或相似，圓的切線(xiàn)長(zhǎng)基本圖形中蘊(yùn)含有多對(duì)三角形全等、多對(duì)線(xiàn)段相等、多對(duì)角相等……復(fù)合型基本圖形在課本中以例題、習(xí)題的形式零散出現(xiàn)，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生收集與歸納．

學(xué)生對(duì)于單一型基本圖形一般較熟悉，用的比較得心應(yīng)手；而對(duì)于復(fù)合型基本圖形，雖然知道圖形與結(jié)論，但在解題時(shí)卻常常忽略它的存在，導(dǎo)致解題困難或失敗.為什么單獨(dú)把這些復(fù)合型基本圖形提出來(lái)，學(xué)生馬上就知道其結(jié)論，而解題時(shí)卻熟視無(wú)睹？這就要求我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，一方面應(yīng)重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的教學(xué)，注重對(duì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的揭示，因?yàn)槎ɡ?、公式推證的過(guò)程就蘊(yùn)含著重要的解題方法和規(guī)律，教師應(yīng)該充分暴露思維過(guò)程，發(fā)掘其內(nèi)在的規(guī)律.長(zhǎng)此以往，學(xué)生便可以潛移默化，學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的思考方法.另一方面，注重對(duì)這些基本圖形的提煉并會(huì)靈活運(yùn)用.要引導(dǎo)學(xué)生研究這些看似不起眼的復(fù)合型基本圖形，分析基本圖形的特征，歸納基本圖形的性質(zhì)，深刻掌握基本圖形，理解基本圖形的性質(zhì)都是以怎樣的方式發(fā)揮作用.

為此，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生對(duì)一些基本題型和基本圖形的敏銳觀察力，借給學(xué)生一雙“數(shù)學(xué)慧眼”.在每學(xué)習(xí)一部分課本內(nèi)容后，可以嘗試以“專(zhuān)題講座”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、自我總結(jié)、逐步提高，對(duì)課本的這部分例題、習(xí)題加以提煉并深刻研究，形成結(jié)論儲(chǔ)備起來(lái)，達(dá)到“見(jiàn)到圖形，想到性質(zhì)；想到性質(zhì)，想全圖形”的要求，在頭腦中形成系統(tǒng)完備的待用基本圖形庫(kù)，最終把基本圖形當(dāng)作利刃，用到解題中去.

總之，引導(dǎo)學(xué)生提煉總結(jié)課本中的基本圖形，并運(yùn)用基本圖形解題，不僅有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高解題效率，而且對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.