壓軸題的解題利器——談旋轉(zhuǎn)在幾何中的應(yīng)用

☉廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 胡潔慧

初中幾何中的三大圖形變換：平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn).其中，旋轉(zhuǎn)是非常重要的輔助線作圖技巧，在很多幾何壓軸題中多次出現(xiàn)，方法獨(dú)特，不可忽視.旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)很明顯，經(jīng)常用在等腰三角形或正方形中，條件明顯，思路單一.在學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的過程中，首先，要掌握旋轉(zhuǎn)的基本感念和基本性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前后的結(jié)構(gòu)變化；其次，要掌握旋轉(zhuǎn)應(yīng)用的環(huán)境，什么情況下使用旋轉(zhuǎn)，如何旋轉(zhuǎn)，如何判斷旋轉(zhuǎn)后的結(jié)構(gòu)是否是我們需要的結(jié)構(gòu).

下面是旋轉(zhuǎn)的基本概念和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：

圖1

旋轉(zhuǎn)的基本概念：如圖1，把一個(gè)圖形繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.如果圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)E，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線段OA經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)榫€段OE，那么這兩條線段叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)邊.

旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：

①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

在幾何壓軸題中，旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用非常重要，下面就常見的幾種類型問題來說明旋轉(zhuǎn)的重要性.

一、求角度問題

例1 如圖2，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3，求∠APB的度數(shù).

分析：首先判斷出∠APB一定是一個(gè)特殊鈍角，根據(jù)鈍角的特點(diǎn)，要么求它的補(bǔ)角，要么將鈍角進(jìn)行分割.不管是哪種情況，要把該角放在一個(gè)特殊的圖形結(jié)構(gòu)當(dāng)中去.觀察發(fā)現(xiàn)，題設(shè)中的條件是一個(gè)等腰直角三角形，因此，可以考慮旋轉(zhuǎn)的變換.

圖2

圖3

解：如圖3，過B作BM⊥BP，且BM=BP，連接MP，MA.

所以AM2=MP2＋AP2.

所以∠MPA=90°.

所以∠APB=135°.

總結(jié)：求角度的問題一般是要轉(zhuǎn)化為特殊的三角形結(jié)構(gòu)，而出現(xiàn)三角形的變換借助于旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)應(yīng)用的環(huán)境是等腰直角三角形，在這種環(huán)境中經(jīng)常使用旋轉(zhuǎn)，注意掌握.

二、求線段長(zhǎng)度問題

（1）求線段BD的長(zhǎng)度；

（2）求四邊形ABCD的面積.

圖4

分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，題設(shè)中有線段長(zhǎng)度，角度，線段相等.其中，線段長(zhǎng)度不是一個(gè)重要條件，往往用在計(jì)算過程當(dāng)中，角度條件是個(gè)特殊條件，不過，通過嘗試發(fā)現(xiàn)，不是突破口，最后，線段相等是個(gè)關(guān)鍵，常用于旋轉(zhuǎn)，可以嘗試一下.

解：（1）如圖5，將△BAD繞著D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ECD，連接BE.

由圖可知，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C點(diǎn)，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E點(diǎn)，

所以CE=AB=2，∠A=∠DCE.

因?yàn)镈B=DE，∠BDE=60°，

所以△BDE為等邊三角形.

在四邊形ABCD中，∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA=360°，

又因?yàn)椤螧CD＋∠BCE＋∠ECD=360°，

所以∠BCE=∠ABC＋∠ADC=75°＋60°=135°.

圖5

圖6

如圖6，∠BCE=135°，過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，所以在Rt△CED中，EC=2.

（2）由圖5可知，S四邊形ABCD=S△BED.

總結(jié)：當(dāng)出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的兩條線段相等的條件時(shí)，這時(shí)，要注意旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用.求圖形的面積的時(shí)候，對(duì)于不規(guī)則四邊形情況，往往變換圖形，使得變換為規(guī)則圖形或規(guī)則三角形，進(jìn)而求解其面積.

三、求長(zhǎng)度最小值問題

圖7

分析：旋轉(zhuǎn)的一個(gè)重要用法，就是解決三條線段和的最小值問題.目的是把有公共端點(diǎn)的三條線段轉(zhuǎn)化到一條折線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短的理論來處理.

解：如圖8，將△APB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AED，連接EF，DB.

由旋轉(zhuǎn)可知，AD=AB，∠DAB=60°，

所以△ADB為等邊三角形.

同理，△AEP也為等邊三角形.

所以DE=BP，EP=AP.

所以AP＋BP＋CP=DE＋EP＋PC.

當(dāng)D、E、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，DE＋EP＋PC取得最小值.

圖8

圖9

如圖9，過點(diǎn)D作DF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，

所以DC=

總結(jié)：此類問題的突破點(diǎn)在于結(jié)論，三條線段之和的最小值.通過旋轉(zhuǎn)的變換，圖形中出現(xiàn)了兩個(gè)等邊三角形的結(jié)構(gòu)，將有公共端點(diǎn)的三條線段轉(zhuǎn)換為在一條折線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)來判定.最后出現(xiàn)了一個(gè)特殊角的三角形，利用勾股定理來求線段的長(zhǎng)度.

以上是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的幾種常見題型，進(jìn)而出現(xiàn)了特殊的圖形結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生新的等量關(guān)系，把條件和結(jié)論有效地結(jié)合起來，從而達(dá)到解決問題的目的.