2013年北京中考試題第25題的幾種解法及一點(diǎn)教學(xué)建議與反思

☉北京師范大學(xué)附屬中學(xué) 毛玉忠

2012年及2013年北京市中考試題最后一道都是具有“初高中銜接功能”的創(chuàng)新試題.從試題上看，具有從“新定義入手”來考查學(xué)生再學(xué)習(xí)的能力，試題設(shè)計(jì)體現(xiàn)層層誘導(dǎo)，從認(rèn)識到再認(rèn)識到應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程，這也給北京市的初中教學(xué)工作提出了更高的思考與要求，教學(xué)中是重視“題海”還是重視“數(shù)學(xué)概念”來提升學(xué)生認(rèn)知過程的教學(xué)，同時(shí)對初高中教師互通教材的“大循環(huán)”教學(xué)提出了一些思考.下面試題的解法是筆者在多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行“初高中大循環(huán)”數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些體會和想法.

一、試題的幾種解法

題目1（2013年北京市中考數(shù)學(xué)試題第25題）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，如圖1，給出如下定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

圖1

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí).

①在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是________；

②過點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍.

（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍.

解析：（1）①點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，滿足；點(diǎn)E在圓外，向圓引切線，切線夾角恰好滿足；點(diǎn)F也在圓外，但不滿足，故答案是點(diǎn)D、E.

②方法1：當(dāng)OP=2時(shí)，過點(diǎn)P向⊙O作兩條切線PA，PB（A，B為切點(diǎn)），則∠APB=60°，所以點(diǎn)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

事實(shí)上，當(dāng)0≤OP≤2時(shí)，點(diǎn)P是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；當(dāng)OP＞2時(shí)，點(diǎn)P不是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

如圖2，以O(shè)為圓心，OG為半徑作圓，設(shè)該圓與l的另一個(gè)交點(diǎn)為P1.

當(dāng)點(diǎn)P在線段GP1上時(shí)，OP≤2，點(diǎn)P是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)P在線段GP1的延長線或反向延長線上時(shí)，OP＞2，點(diǎn)P不是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

連接OP1，可知△GOP1為等邊三角形.

圖2

圖3

方法2：若點(diǎn)P是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，過P向圓引切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，則有∠MPN≥∠APB=60°，連接OP，OM.

因?yàn)樵赗t△PMO中，∠MPO≥30°，

因?yàn)镚（0，2），所以O(shè)G=2，所以G是關(guān)聯(lián)點(diǎn).

方法3：若點(diǎn)P是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，過P向圓引切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，則有∠MPN≥∠APB=60°，連接OP，OM.

化簡，得m（m-）≤0.

（2）方法1：設(shè)該圓圓心為C.

根據(jù)②可得，若點(diǎn)P是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則0≤PC≤2r.

由題意，點(diǎn)E，F(xiàn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，所以EC≤2r，F(xiàn)C≤2r，所以EC+FC≤4r.

又因?yàn)镋C+FC≥EF（當(dāng)點(diǎn)C在線段EF上時(shí)，等號成立），所以4r≥EF.

事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)時(shí)，對所有r≥1的⊙C，線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，綜上所述，r≥1.

方法2：根據(jù)題意，設(shè)所求⊙C的半徑為r，則⊙C內(nèi)及圓上的點(diǎn)都是關(guān)聯(lián)點(diǎn).

若P是圓外的點(diǎn)，作切線PM，PN，則∠MPN≥60°.

所以在Rt△PCM中，∠MPC≥30°.

故若點(diǎn)P是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則CP≤2r.

因?yàn)榫€段EF上所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則線段EF在以C為圓心、2r為半徑的圓及內(nèi)部，所以只有EF為該圓直徑時(shí)，半徑最小.

因?yàn)镋F=4，所以4r≥4，即r≥1.

方法3：設(shè)該圓圓心為C.

根據(jù)②可得，若點(diǎn)P是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則PC≤2r.

由題意，點(diǎn)E，F(xiàn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，所以EC≤2r，F(xiàn)C≤2r.

所以半徑取最小時(shí)點(diǎn)C在EF的垂直平分線上.

因?yàn)榫€段EF上所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，所以當(dāng)r最小時(shí)，點(diǎn)C就是垂直平分線與EF的交點(diǎn)，即EF的中點(diǎn)為C.

因?yàn)镋F=4，所以2rmin=2，即rmin=1，所以r≥1.

方法4：設(shè)該圓圓心為C.

根據(jù)②可得，若點(diǎn)P是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則PC≤2r.

設(shè)圓心C（x，y），半徑為r，則CE≤2r，CF≤2r.

二、由試題看設(shè)計(jì)思路

本題考查學(xué)生對“新定義”的理解及圓與直線、平面直角坐標(biāo)系等相關(guān)知識的掌握情況.

第一步：初步了解“新定義”.

通過對特殊點(diǎn)D、E、F的判斷，來理解“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，在判斷三個(gè)點(diǎn)是否是關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)：

（1）圓內(nèi)的點(diǎn)一定是“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；

（2）圓上的點(diǎn)一定是“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；

（3）圓外的點(diǎn)到圓心在一定距離范圍內(nèi)的點(diǎn)是“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

第二步：進(jìn)一步理解“新定義”.

（1）圓內(nèi)及圓上的點(diǎn)是圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，向圓作“切線”，切點(diǎn)分別為M、N時(shí)，發(fā)現(xiàn)“若圓上存在兩點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°存在，必須滿足∠MPN≥60°；根據(jù)圓的切線的特點(diǎn)，若點(diǎn)P是最遠(yuǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則OP=2，故“以O(shè)為原點(diǎn)，2為半徑的圓及內(nèi)部都是關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

第三步：應(yīng)用形成性的結(jié)論解決問題.

由于線段EF上的所有點(diǎn)都是圓的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，故點(diǎn)E、F也是關(guān)聯(lián)點(diǎn).

設(shè)圓心為C，半徑為r，則CE≤2r，CF≤2r，所以CE+CF≤4r.

又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)任意三點(diǎn)滿足CE+CF≥EF，所以4r≥EF，且點(diǎn)C在線段EF上時(shí)，這些圓滿足“線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的所求圓.

三、教學(xué)建議與反思

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，此類題目是創(chuàng)新試題，單靠“題?！睂W(xué)生是得不到的，在教學(xué)中要注重“數(shù)學(xué)概念”的深度教學(xué)，如在《圓與直線》的教學(xué)中，讓學(xué)生完全理解直線與圓的相關(guān)概念（如位置關(guān)系的判斷、距離問題，弦長問題、切線夾角問題等概念）及直線上動點(diǎn)與圓上點(diǎn)連線產(chǎn)生的各類相關(guān)問題深入探究一些，那么這類試題學(xué)生自然就不難解決了.比如具有高中知識特征的有：

題目2：已知點(diǎn)P是直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓作切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N，連接CM、CN.

（1）求四邊形CMPN面積的最小值.

（2）求∠MPN的最大值.

（3）求∠MPN=α的點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.

（4）設(shè)圓心C到直線l的距離為d.

①d與r滿足什么條件時(shí)，存在∠MPN=90°、60°？

②d與r滿足什么條件時(shí)，圓上存在到直線距離為2的點(diǎn)有1個(gè)？2個(gè)？3個(gè)？4個(gè)？

在設(shè)計(jì)問題時(shí)，取一些特殊的圓及特殊的直線，對于初中學(xué)生而言就可以解決了.