基于“閱讀·引導(dǎo)·提煉·探究”的教學(xué)設(shè)計(jì)：空間幾何體的表面積

☉江蘇省南通市小海中學(xué) 顧藝瑋

一、教材分析

空間幾何體的表面積是必修2立體幾何初步這章最后一節(jié)的內(nèi)容.此部分內(nèi)容在高考中不屬于重點(diǎn)考查內(nèi)容，但知識的形成過程中卻滲透著數(shù)形結(jié)合的思想、運(yùn)動的觀點(diǎn).在本章第一節(jié)“空間幾何體”中教材從整體觀察入手，通過運(yùn)動的過程引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征，這種運(yùn)動觀點(diǎn)正與它們表面積公式之間的關(guān)系相對應(yīng)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.柱、錐、臺的表面積公式推導(dǎo)不難，重點(diǎn)是體會圖和表面積的關(guān)系.而且教材中建議聯(lián)系平面圖形的知識，利用類比等方法，理解兩者的異同以及內(nèi)在聯(lián)系，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解柱、錐、臺表面積計(jì)算公式，并能計(jì)算一些簡單幾何體的表面積.

2.（1）由部分到整體，由個(gè)別到一般，通過“閱讀·引導(dǎo)·提煉·探究”掌握柱、錐、臺的表面積之間的關(guān)系，體會“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.（2）通過平面幾何和立體幾何進(jìn)行類比，認(rèn)識類比法，并學(xué)會把它用于對問題的發(fā)現(xiàn)中，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

3.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識間的神奇聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.讓學(xué)生在問題生成和解決的過程中體驗(yàn)類比、化歸等思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

三、教學(xué)重點(diǎn)

平面幾何和立體幾何的類比過程，空間幾何體表面積的計(jì)算.

四、教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)用類比進(jìn)行猜想.

五、教學(xué)方法

閱讀·引導(dǎo)·提煉·探究.

六、教學(xué)過程

（一）自主閱讀，提出問題

閱讀材料：平面幾何與立體幾何的類比.

類比是根據(jù)兩個(gè)對象在某些方面的相同或相似，推出它們在其他方面的相同或相似點(diǎn)的一種推理方法.

由于類比推理所得的結(jié)論的真實(shí)性并不可靠，因此它不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理方法，但是它是提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉.

平面幾何和立體幾何在研究對象和方法、構(gòu)成圖形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在兩者之間進(jìn)行類比是研究它們性質(zhì)的一種非常有效的方法.［1］

下面就平面幾何中三角形、平行四邊形、梯形之間的關(guān)系與棱錐、棱柱、棱臺的關(guān)系進(jìn)行比較.

類比案例1：

方式1：（如圖1）

圖1

方式2：（如圖2）

圖2

類比案例2：（如圖3）

圖3

問題1：閱讀類比案例1，請?jiān)诳瞻滋幃嬌虾线m的立體圖形；

問題2：根據(jù)類比案例2中平面幾何的三個(gè)公式的關(guān)系，你能提出怎樣的猜想？試在立體幾何的方框中寫下你的猜想，并嘗試進(jìn)行自主探究.

設(shè)計(jì)意圖說明：閱讀材料介紹了類比法這種新的學(xué)習(xí)方法，讓課堂的引入別致新穎.材料用運(yùn)動的思想闡述了三角形、梯形、平行四邊形之間的關(guān)系，對學(xué)生已有的知識進(jìn)行有意義的改組，為立體幾何的研究作好鋪墊.案例1從“形”的角度對平面幾何與立體幾何進(jìn)行類比，其中兩種方式的圖形位置進(jìn)行了調(diào)整，其目的是方式1溫習(xí)這章第一節(jié)中柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征，方式2為下面的研究做好準(zhǔn)備.案例2是從“數(shù)”的角度對立體幾何和平面幾何的關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步的詮釋和說明，體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合.這一切給學(xué)生很大的沖擊力，激發(fā)了他們想繼續(xù)探索的熱情.本堂課選擇以閱讀材料的形式創(chuàng)設(shè)問題情境，充分顯示了它的獨(dú)特性.一方面給學(xué)生不一樣的視覺感覺，調(diào)動了上課氣氛，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀習(xí)慣，以及歸納概括、自主發(fā)現(xiàn)的意識.

（二）引導(dǎo)交流，數(shù)學(xué)活動

通過閱讀，學(xué)生了解了有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，在此基礎(chǔ)上教師引導(dǎo)他們共同解決前面的兩個(gè)問題.通過對問題1的思考，復(fù)習(xí)空間幾何體的形成過程，感受運(yùn)動觀點(diǎn)的合理遷移.問題2的思考則讓學(xué)生的思維得到發(fā)散，他們情緒飽滿、各抒己見，使學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.

設(shè)計(jì)意圖說明：通過學(xué)生積極主動的討論及教師適時(shí)點(diǎn)撥讓學(xué)生對平面幾何和立體幾何的關(guān)系有深刻的認(rèn)識，并積極地猜想結(jié)論，為知識的建構(gòu)做好充分的準(zhǔn)備.

（三）自主提煉，數(shù)學(xué)建構(gòu)

（1）直棱柱、正棱柱、正棱錐、正棱臺的概念.

直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱.

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱.

正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心的棱錐.

正棱臺：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分.

設(shè)計(jì)意圖說明：遵循從特殊到一般原則，從特殊的柱、錐、臺入手進(jìn)行研究.簡單介紹有關(guān)概念，歸納其圖形的特征，為下面分析它們的側(cè)面積做好鋪墊.

圖4

（2）正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面展開圖（如圖4）.問題：正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面展開圖是什么？設(shè)計(jì)意圖說明：問題的提出有助于理解它們的概念，并培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力.教師可用事先準(zhǔn)備好的紙質(zhì)模型或多媒體課件演示，驗(yàn)證圖形的變化，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、想象、驗(yàn)證的過程.

（3）正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式.

①正棱柱的側(cè)面積：S正棱柱側(cè)=ch；

直棱柱的側(cè)面積：S直棱柱側(cè)=ch.

思考：正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式間的聯(lián)系與區(qū)別（如圖5）.

圖5

設(shè)計(jì)意圖說明：通過分析討論柱、錐、臺的側(cè)面積之間的關(guān)系，體會“數(shù)”與“形”的相互交融，提高學(xué)生分析、歸納的能力，并且將這種關(guān)系與閱讀材料上平面幾何中的公式進(jìn)行比較，前后呼應(yīng)，體現(xiàn)了平面圖形和立體圖形的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)了學(xué)生對類比法的認(rèn)識.

（四）實(shí)踐探究，數(shù)學(xué)應(yīng)用

（1）初步應(yīng)用.

圖6

思考：圖6中，若連接OB，則在三棱錐S－OBE的表面三角形中，直角三角形共有______個(gè).

設(shè)計(jì)意圖說明：例1的設(shè)置是為了鞏固空間幾何體的表面積公式，注意棱錐的高和斜高的區(qū)別與聯(lián)系.題后的思考則讓學(xué)生更深入地探究立體幾何圖形，幫助學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間想象能力.

（2）深入探究.

圓柱的側(cè)面積：S圓柱側(cè)=2πrl.

問題：你能根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式猜想圓錐、圓臺的側(cè)面積公式嗎？

思考：S圓柱側(cè)=2πrl=πl(wèi)·2r=πl(wèi)·（r+r），S圓臺側(cè)、S圓錐側(cè)（如圖7）.

設(shè)計(jì)意圖說明：教材中要求不必討論圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式推導(dǎo).結(jié)合前面的棱柱、棱錐、棱臺的內(nèi)在關(guān)系，這里讓學(xué)生再次經(jīng)歷猜想，用已學(xué)過的知識進(jìn)行歸納和類比，感受知識間的神奇聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的奧秘所在.

（3）深入演練.

圖8

設(shè)計(jì)意圖說明：例2的設(shè)置是掌握對旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算，進(jìn)一步鞏固上面研究的結(jié)論，讓學(xué)生提高運(yùn)用知識解決問題的能力.

（五）回顧反思，總結(jié)提升

（1）數(shù)學(xué)知識：

①空間幾何體的側(cè)面展開圖；

②空間幾何體的側(cè)面積的計(jì)算公式（如圖9）.

圖9

（2）數(shù)學(xué)方法：閱讀、觀察、類比、探究.

（3）數(shù)學(xué)思想：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.

設(shè)計(jì)意圖說明：從知識、方法、思想三個(gè)角度進(jìn)行總結(jié)，幫助學(xué)生進(jìn)一步建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，提煉探究方法，提出新的探究方向，將探究活動延伸到課外.

1.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修2）［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.■