“分析法”下解題思路的尋找

☉江蘇省徐州市第一中學(xué) 馬 芹

分析法是高中數(shù)學(xué)中常用的證明方法之一，從推理的程序上來講，它是一種“執(zhí)果索因”的邏輯推理方法.具體說，從求證的結(jié)論出發(fā)，“由果索因”，利用公理、定理、公式和定義，經(jīng)過正確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚匪輰?dǎo)致結(jié)論成立的充分條件，直到找到使結(jié)論成立的條件和已知條件或者已知的事實(shí)相符即一個(gè)顯然成立的關(guān)系為止，從而判定問題的結(jié)論成立.分析法在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，涉及幾何、三角、不等式的證明等，本文筆者就通過幾道試題的解析來說明分析法在數(shù)學(xué)解題中的重要應(yīng)用.

分析法的思維全貌可以概括出其基本步驟：“未知→需知→已知”，在操作中“要證”、“只需證”、“即證”這類詞語是不可缺少的.

典例1已知ai（i=1，2，…，n）都是正數(shù)

分析點(diǎn)撥：從結(jié)論的結(jié)構(gòu)出發(fā)，尋找條件與結(jié)論之間的聯(lián)結(jié)“橋梁”：ai（i=1，2，…，n）均為正數(shù)，可將待證結(jié)論兩邊平方，得

證明賞析：構(gòu)造函數(shù)

即f（x）≥0在x∈R恒成立，又a12+a22+…+an2＞0，此時(shí)，得滿足Δ≤0，即

反思總結(jié)：本題若直接從已知條件出發(fā)進(jìn)行證明，容易迷失方向，使解題無法進(jìn)行下去，在這種情況下，嘗試運(yùn)用分析法，執(zhí)果索因、逆向思考問題，在分析的過程中不斷地尋求使結(jié)論成立的一些條件（隱含條件、過渡條件等），從而尋找到聯(lián)結(jié)條件與結(jié)論之間需要的“橋梁”.本題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的二次函數(shù)來求解，為什么會(huì)想到構(gòu)造二次函數(shù)，如何構(gòu)建才合適呢？這正是“分析點(diǎn)撥”中分析出來的，這也是解綜合題必須經(jīng)歷的一個(gè)過程，也許當(dāng)看到用綜合法書寫出來的證明過程時(shí)讓人一目了然，但是分析法在尋找思路上卻起了不可缺少的至關(guān)重要的作用.

分析點(diǎn)撥：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)θ，因此第一步嘗試從已知條件中消去θ，觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)， 發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系：（sin θ+cos θ）2-2sin θ·cos θ=1，于是①2-2×②得4sin2α-2sin2β=1，把它與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，均含有α，β，但函數(shù)名不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論，統(tǒng)一函數(shù)名，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)來求證.

證明賞析：因?yàn)椋╯in θ+cos θ）2-2sin θ·cos θ=1.

只要證4sin2α-2sin2β=1與③相同，所以問題得證.

反思總結(jié)：在解決問題時(shí)，經(jīng)常需將分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即常常采取同時(shí)從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個(gè)中間目標(biāo)，從已知到中間目標(biāo)運(yùn)用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標(biāo)則運(yùn)用分析法思索，以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效途徑.本題證明的前半段運(yùn)用的是綜合法，后半段用的是分析法.由此可見，在解決實(shí)際問題的時(shí)候，方法的運(yùn)用上不能死板教條，要懂得靈活機(jī)動(dòng)，以便于快捷、正確的處理問題.

總之，在解決很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，在由因?qū)ЧM(jìn)行不下去時(shí)，可執(zhí)果索因進(jìn)行思考，這樣由欲知確定需知，求需知利用已知，往往會(huì)擺脫“山重水復(fù)疑無路”的困境，從而達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果.