線性代數(shù)教學(xué)中兩個(gè)問(wèn)題的幾何解釋

李麗

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030）

線性代數(shù)教學(xué)中兩個(gè)問(wèn)題的幾何解釋

李麗

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030）

解析幾何除自身的知識(shí)體系之外，還為微積分，線性代數(shù)等多門課程中許多抽象的問(wèn)題提供了形象的幾何解釋.本文就兩個(gè)具體的線性代數(shù)問(wèn)題，進(jìn)一步說(shuō)明在線性代數(shù)教學(xué)中滲透幾何直觀的必要性.

解析幾何;線性代數(shù);線性相關(guān);施密特正交化

微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，是高等院校大部分專業(yè)必修的公共基礎(chǔ)課.線性代數(shù)是研究線性空間及其上的線性變換的學(xué)科.它廣泛應(yīng)用于微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、離散數(shù)學(xué)、現(xiàn)代控制理論等數(shù)學(xué)分支，它的知識(shí)已經(jīng)滲透到自然科學(xué)的其它學(xué)科、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)與社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域.由于該課程具有高度的抽象性和邏輯性，學(xué)生在學(xué)習(xí)該課程時(shí)往往很難深刻理解線性代數(shù)中抽象的概念和結(jié)論，這是由于在實(shí)際教學(xué)中，教師往往重理論而輕實(shí)踐，剝離了概念、原理和范例的幾何背景與現(xiàn)實(shí)意義，導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容過(guò)于抽象，較難理解，也不利于與其它課程及學(xué)生自身專業(yè)的銜接，進(jìn)而造成了學(xué)生學(xué)不會(huì)，用不了的尷尬局面.

實(shí)際上線性代數(shù)與幾何緊密相關(guān)，線性代數(shù)中許多問(wèn)題都有形象的幾何解釋，在線性代數(shù)教學(xué)中有效的融合幾何背景，可以幫助學(xué)生更好的理解線性代數(shù)中較為抽象的問(wèn)題.

在許多教材和文獻(xiàn)中我們都可以看到一些線性代數(shù)問(wèn)題的幾何解釋.如行列式是大部分線性代數(shù)教材中首先介紹的，如果只是機(jī)械的介紹二、三階行列式乃至n階行列式計(jì)算，學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往會(huì)問(wèn)為什么行列式要這樣定義，對(duì)于他們理解和應(yīng)用行列式都是非常不利的.此時(shí)我們可以借助平面兩個(gè)向量的有向面積，空間三個(gè)向量的有向體積，以及n維平行多面體的有向體積來(lái)理解行列式的定義，這樣不僅可以幫助他們理解行列式的由來(lái)，還可以激發(fā)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣；再比如線性代數(shù)中n維向量空間中基本上所有的內(nèi)容：向量的內(nèi)積、模長(zhǎng)、夾角，向量空間的基，維數(shù)，向量的坐標(biāo)等都可以從三維歐式空間中找到幾何直觀.下面根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就線性代數(shù)中兩個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)普遍反映比較抽象的問(wèn)題詳細(xì)的給予幾何解釋，進(jìn)一步說(shuō)明線性代數(shù)教學(xué)中滲透幾何解釋的重要性.

1 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

線性代數(shù)中線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義如下：

定義給定向量組A：α1，α2，…,αs，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使

則稱向量組A線性相關(guān),否則稱為線性無(wú)關(guān)，即當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=…=ks=0時(shí)，(1)式成立,向量組α1，α2，…,αs線性無(wú)關(guān).

線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義給出之后，接著又給出了若干判斷線性相關(guān)的定理與推理，如：當(dāng)向量組中所含向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí),此向量組必線性相關(guān).

學(xué)生每次學(xué)到這里就開始混亂，一方面是因?yàn)榻Y(jié)論較多，難以一下子就記下來(lái)，另一方面是對(duì)概念的理解不夠透徹.如果結(jié)合幾何背景來(lái)理解定義和判定定理就可以達(dá)到事半功倍的效果.在解析幾何中，也有線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義，并有著形象的幾何解釋.

兩個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩個(gè)向量共線；三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這三個(gè)向量共面，可以用來(lái)理解線性相關(guān)這個(gè)抽象的定義.三維歐式空間中任何四個(gè)或四個(gè)以上向量總是線性相關(guān)的，可以用來(lái)理解向量組中所含向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)，此向量組必線性相關(guān).

2 施密特正交化

當(dāng)向量空間中的基取做標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí)，可以通過(guò)向量的內(nèi)積運(yùn)算快速求出某個(gè)向量在此基下的坐標(biāo)，因此在給出向量空間的基時(shí)常常取標(biāo)準(zhǔn)正交基.在實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化問(wèn)題上，我們需要求正交矩陣使得實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化.這兩方面的問(wèn)題都需要對(duì)向量組正交化，而用到的方法即為施密特正交化，具體過(guò)程如下：

設(shè)α1，…,αr是向量空間V的一個(gè)基,

在此處的教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的要求是記憶并應(yīng)用公式，但學(xué)生不理解這個(gè)公式是怎么來(lái)的，此時(shí)可以以三個(gè)向量為例，利用幾何背景來(lái)形象的理解此公式：（2）—（5）式是解析幾何中將仿射標(biāo)架變?yōu)橹苯菢?biāo)架的過(guò)程：

線性代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止于此，解析幾何除了可以為線性代數(shù)中抽象問(wèn)題提供幾何直觀外，線性代數(shù)也為解析幾何提供了代數(shù)工具，兩者相互滲透，因此教學(xué)中充分重視兩者的結(jié)合教學(xué)是非常必要的.

〔1〕呂林根，許子道．解析幾何[M].北京：高等教育出版社,2001.

〔2〕吳贛昌．線性代數(shù)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社,1999.

〔3〕建華，蔡傳仁．幾何直觀在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．工科數(shù)學(xué)，2002，(18)1：87—90.

〔4〕許定亮．在線性代數(shù)教學(xué)中融入幾何解釋[J]．常州工學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，(19)2：72—75.

O151.2

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1673-260X（2013）11-0003-02